固體物理-04-02一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似

1、固體物理Solid State Physics,4.2 一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似,第四章 能帶理論,04_02 一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似, 模型和微擾計(jì)算,近自由電子近似模型, 假定勢(shì)場(chǎng)的起伏較小, 金屬中電子受到原子 實(shí)周期性勢(shì)場(chǎng)的作用,零級(jí)近似 用勢(shì)場(chǎng)平均值代替原子實(shí)產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng), 周期性勢(shì)場(chǎng)的起伏量 可以作為微擾來(lái)處理,一，零級(jí)近似下電子的能量和波函數(shù), 空格子中電子的能量和波函數(shù),金屬的線度,零級(jí)近似下：,薛定諤方程：,波函數(shù)和能量本征值,波函數(shù)和能量本征值,滿足正交歸一化, l 為整數(shù),周期邊界條件,電子的波矢取值, 能量,二，微擾下電子的能量本征值,哈密頓量,

2、 根據(jù)微擾理論，電子的能量本征值,一級(jí)能量修正,能量本征值,二級(jí)能量修正, 按原胞劃分, 引入積分變量 ,勢(shì)場(chǎng)為晶格周期性函數(shù),1),2), V(x)的第n個(gè) 傅里葉系數(shù),二級(jí)修正項(xiàng), 電子的能量本征值,三，微擾下電子的波函數(shù),電子的波函數(shù),波函數(shù)的一級(jí)修正, 計(jì)入微擾電子的波函數(shù),令,可以證明,電子波函數(shù), 布洛赫函數(shù)形式, 晶格周期性函數(shù), 電子波函數(shù)的意義,1) 電子波函數(shù)和散射波, 前進(jìn)的平面波, 勢(shì)場(chǎng)作用產(chǎn)生的散射波,散射波的波矢,相關(guān)散射波成份的振幅,散射波,電子入射波波長(zhǎng), 布拉格反射條件在正入射時(shí)的結(jié)果,如果相鄰原子的散射波有相同的相位,波函數(shù)一級(jí)修正項(xiàng),散射波成份的振幅, 微

3、擾法不再適用了,入射波波矢,2) 電子波函數(shù)和不同態(tài)之間的相互作用,在零級(jí)波函數(shù) 中摻入其它零級(jí)波函數(shù), 能量差越小摻入部分越大,當(dāng) 時(shí),兩個(gè)狀態(tài)具有相同的能量 導(dǎo)致了波函數(shù)的發(fā)散, 電子能量的意義,二級(jí)能量修正,當(dāng), 電子的能量是發(fā)散的, k和k兩個(gè)狀態(tài)具有相同的能量 _k和k態(tài)簡(jiǎn)并, 電子波矢在 附近的能量和波函數(shù),簡(jiǎn)并微擾 波函數(shù)由簡(jiǎn)并波函數(shù)線性組合構(gòu)成,狀態(tài), 是一個(gè)小量, 主要影響的狀態(tài), 只考慮影響最大的狀態(tài)，忽略其它狀態(tài)的影響,狀態(tài) 對(duì)狀態(tài) 的影響,簡(jiǎn)并波函數(shù),薛定諤方程,考慮到,分別以 和 從左邊乘方程，對(duì) x 積分,利用,線性代數(shù)方程,a, b有非零解,1),波矢k離 較遠(yuǎn)，

4、k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大,將 按 展開,能量本征值, k和k能級(jí)相互作用的結(jié)果 是原來(lái)能級(jí)較高的k提高;原來(lái)能級(jí)較低的k下壓, 量子力學(xué)中微擾作用下，兩個(gè)相互影響的能級(jí) 總是原來(lái)較高的能量提高了，原來(lái)較低的能量降低了, 能級(jí)間“排斥作用”, 原來(lái)能級(jí)較高的k提高 _ 原來(lái)能級(jí)較低的k下壓,2),波矢k非常接近 ，k狀態(tài)的能量和k能量差別很小,將 按 展開, 結(jié)果分析,1) 兩個(gè)狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-,原能量高的態(tài) ，能量提高；原能量低的態(tài) 能量降低,兩個(gè)相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-,2) 當(dāng) 0 時(shí),兩種情形下完全對(duì)稱的能級(jí), A和B,兩個(gè)狀態(tài)作用后的能級(jí),

5、 C和D,兩個(gè)狀態(tài)作用后的能級(jí),3) 能帶和帶隙_禁帶,零級(jí)近似，電子能量曲線為拋物線,k狀態(tài)不計(jì)二級(jí)能量修正,微擾情形，電子的k不在 附近,3) 能帶和帶隙_禁帶, 拋物線,電子的一個(gè)狀態(tài)波矢,存在一個(gè) 狀態(tài), 兩個(gè)態(tài)的能量相同,電子的一個(gè)狀態(tài)波矢,存在一個(gè) 狀態(tài), 兩個(gè)狀態(tài)的能量相近,由于周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾,能量的突變, 微擾只考慮兩個(gè)態(tài)的作用,能量本征值在 處斷開, 禁帶寬度,電子波矢取值, 一個(gè)l，有一個(gè)量子態(tài)k,能量本征值, 當(dāng)N很大時(shí)，能量視為準(zhǔn)連續(xù), 由于晶格周期性勢(shì)場(chǎng)的影響 晶體中電子準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)分裂為一系列的能帶,能量本征值在 處斷開,4) 能帶底部，能量向上彎曲；能帶頂部，能

6、量向下彎曲,5) 禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點(diǎn)處,禁帶寬度, 取決于金屬勢(shì)場(chǎng)形式, 能帶及一般性質(zhì),自由電子的能譜, 晶體弱周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾，電子能譜在布里淵邊界,產(chǎn)生了寬度 的禁帶,發(fā)生能量躍變, 遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界，近自由電子的能譜 _拋物線, 每個(gè)波矢k有一個(gè)量子態(tài) 原胞的數(shù)目趨于無(wú)限大時(shí)，波矢k變得非常密集 能級(jí)的準(zhǔn)連續(xù)分布形成了一系列的能帶, 各能帶之間是禁帶 在完整的晶體中 禁帶無(wú)允許的能級(jí), 一維布喇菲格子 能帶序號(hào)、能帶涉及波矢k的范圍和布里淵區(qū)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,一維布喇菲格子，能帶序號(hào)、波矢k和布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)關(guān)系, 每個(gè)能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目,波矢k的取值, k的數(shù)目,每個(gè)能帶對(duì)應(yīng)k

7、的取值范圍,各個(gè)能帶k的取值數(shù)目, 原胞的數(shù)目, 計(jì)入自旋，每個(gè)能帶中包含2N個(gè)量子態(tài),量子態(tài)數(shù)目, 電子波矢和量子數(shù)簡(jiǎn)約波矢的關(guān)系, 第一布里淵區(qū),電子的波矢,在一維情形中 m為整數(shù),的取值范圍, 平移算符本征值量子數(shù)k 簡(jiǎn)約波矢，計(jì)為 簡(jiǎn)約波矢和電子波矢k之間的關(guān)系, l 為整數(shù),簡(jiǎn)約波矢, 電子的波函數(shù),可以表示為, 晶格周期性函數(shù),將 代入, 晶格周期性函數(shù),晶體中電子的波函數(shù), 利用電子波矢和簡(jiǎn)約波矢的關(guān)系 電子在周期性勢(shì)場(chǎng)中的波函數(shù)為布洛赫函數(shù), 用簡(jiǎn)約波矢來(lái)表示電子的能量, 電子的能量, m為整數(shù)，對(duì)應(yīng)于不同的能帶,第一能帶位于簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，其它能帶可以通過(guò)倒格矢,移到簡(jiǎn)約布里淵區(qū), 每一個(gè)能帶在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)都有各自的圖像 所有能帶在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的圖像, 簡(jiǎn)約波矢的取值被限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū) 要標(biāo)志一個(gè)狀態(tài)需要表明 1)它屬于哪一個(gè)能帶(能帶標(biāo)號(hào)) 2)它的簡(jiǎn)約波矢 是什么？,電子波矢k和簡(jiǎn)約波矢 的關(guān)系,擴(kuò)展區(qū)圖，簡(jiǎn)約區(qū)圖，重復(fù)區(qū)圖, 周期性勢(shì)場(chǎng)的起伏只使不同能帶相同簡(jiǎn)約波矢 的狀態(tài)之間的相互影響,不同能帶之間出現(xiàn)帶隙 禁帶, 對(duì)于一般的, 遠(yuǎn)離布里淵邊界, 能量