概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件(PPT)課件.ppt

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,教師: 崔冉冉 河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三版 王松桂 等編 科學(xué)出版社,參考書：1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計 浙江大學(xué) 盛驟等 編 高等教育出版社 2. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 魏振軍 編 中國統(tǒng)計出版社,序 言,?,概率論是研究什么的？,人們所觀察到的現(xiàn)象大體上分成兩類： 1.確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象 事前可以預(yù)知結(jié)果的：即在某些確定的條件滿足時，某一確定的現(xiàn)象必然會發(fā)生，或根據(jù)它過去的狀態(tài)，完全可以預(yù)知其將來的發(fā)展狀態(tài)。 2.偶然性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象 事前不能預(yù)知結(jié)果：即在相同的條件下重復(fù)進行試驗時，每次所得到的結(jié)果未必相同，或即使知道它過去的狀態(tài)，也不能肯定它將來的狀態(tài)。

2、,隨機現(xiàn)象特點：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性 概率論研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng) 計規(guī)律性的科學(xué) 研究方式：從數(shù)量的側(cè)面研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律（通過數(shù)據(jù)去研究） “八月十五云遮月，正月十五雪打燈”,概率論起源,概率統(tǒng)計是一門古老的學(xué)科，它起源于十七世紀資本主義上升的初期。物質(zhì)生活的豐富，人們開始重視精神娛樂。在橋牌活動中，經(jīng)常要判斷某種花色在對方手中的分配；在擲色子中，要判斷哪點出現(xiàn)的次數(shù)最多。概率論與數(shù)理統(tǒng)計正是從研究這類問題開始的。 盡管發(fā)展較早，但形成一門嚴謹?shù)膶W(xué)科是在本世紀三十年代，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫奇洛夫給出了概率的公理化定義后，才得以迅速發(fā)展。隨著計算機的問世，六十年代后，形成了許多新的統(tǒng)計分支：

3、時間序列分析，統(tǒng)計推斷等等。目前它幾乎遍及所有的學(xué)科技術(shù)領(lǐng)域。,第一章 隨機事件,1.1基本概念 1.1.1 隨機試驗與事件 1.1.2 隨機事件及其運算,1.1.1 隨機試驗與事件,隨機試驗（試驗）的特點： 1.可在相同條件下重復(fù)進行； 2.每次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)，但能確定所有的可能結(jié)果。 試驗常用“E”表示,E1: 擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾; E2 ：工商管理部門抽查產(chǎn)品是否合格； E3: 觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù); E4 ：已知物體長度在a和b之間，測量其長度； E5: 對某只燈泡做試驗,觀察其使用壽命; E6: 對某只燈泡做試驗,觀察其使用壽命是否小

4、于200小時。,（隨機）試驗的例子,樣本空間：試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間。記為：,樣本點: 試驗的單個結(jié)果或樣本空間的單元素稱為樣本點。,E1: 擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾; E2 ：工商管理部門抽查產(chǎn)品是否合格； 合格品，不合格品 E3: 觀察某市某月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù); E4 ：物體長度在a和b之間，測量其長度； E5: 對某只燈泡做試驗,觀察其使用壽命; E6: 對某只燈泡做試驗,觀察其使用壽命是否小 于200小時。 小于200小時，不小于200小時,（隨機）試驗的例子,隨機事件：樣本空間的任意一個子集稱為隨機事件, 簡稱“事件”.記作A、B、C。 任何事件均可表示

5、為樣本空間的某個子集. 基本事件：一個隨機事件只含有一個試驗結(jié)果。 事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗的結(jié)果是子集A中的元素。 兩個特殊事件: 必然事件 ：樣本空間包含了所有的樣本點，且是自身的一個子集，在每次試驗中總是發(fā)生。 不可能事件 ：不包含任何的樣本點，也是樣本空間的一個子集，在每次試驗中總不發(fā)生。 注意：樣本點和基本事件的區(qū)別。,解： 為基本事件,例1.1.1 擲一顆色子，用 表示所擲點數(shù)。B表示“偶數(shù)點”，C表示“奇數(shù)點”，D表示“四點或四點以上”。 寫出樣本空間，指出哪些是基本事件，表示B，C，D。,1.1.2、事件的關(guān)系與運算,既然事件是一個集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運算及運算規(guī)則也就按

6、集合間的關(guān)系、運算及運算規(guī)則來處理。,是試驗E的樣本空間，A，B，C 是事件 1.包含關(guān)系：“ 事件 A發(fā)生必有事件B發(fā)生” 記為 AB，稱 A包含于B。 AB AB且BA.,2.和事件： “事件A與事件B至少有一個發(fā)生”，記作 AB,推廣：n個事件A1, A2, An至少有一個發(fā)生，記作,3.積事件:事件A與事件B同時發(fā)生，記作 ABAB A和B的公共部分,推廣：n個事件A1, A2, An同時發(fā)生，記作 A1A2An,互斥的事件（也稱互不相容事件）： 即事件A與事件B不可能同時發(fā)生。AB ,4.差事件 ：AB稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā) 生而事件B不發(fā)生,A去除A和B的公共部分,互逆的

7、事件： AB , 且AB ,注意：對立一定互斥，互斥不一定對立,事件的運算,1、交換律：ABBA，ABBA 2、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、對偶(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：,某人向目標射擊， 以A表示事件“命中目標”， P（A）=？ 考慮事件在一次試驗中發(fā)生可能性的大小的數(shù)字度量概率。,?,1.2 事件的概率,定義1.2.1 在相同條件下，事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生m次，則稱比值

8、m/n稱為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率，記為fn(A).,1.2.1 事件的頻率,頻率的性質(zhì)： (1) 非負性； 0 fn(A) 1； (2) 規(guī)范性： fn( )1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，則 fn(AB) fn(A) fn(B). 注意：稱為“n次試驗發(fā)生的頻率”，是因為隨著n的取值不同， fn(A)的值有可能不同。,歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。 實驗者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 5981 0.498

9、4 K. Pearson 24000 12012 0.5005 從表中不難發(fā)現(xiàn)：事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率具有隨機波動性。當(dāng)n較小時，波動的幅度較大；當(dāng)n較大時，波動的幅度較大；最后隨著n的逐漸增大，頻率fn(A)逐漸穩(wěn)定于固定值0.5.,實踐證明：當(dāng)試驗次數(shù)n增大時， fn(A) 逐漸 趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率。 但是在一定條件下做重復(fù)試驗，其結(jié)果可能不同；并且沒有必要，不可能對每個事件都做大量的試驗，從中得到頻率的穩(wěn)定值。 我們從頻率的性質(zhì)出發(fā)，給出度量事件發(fā)生的可能性大小的量概率的定義及性質(zhì)。,1.2.2. 概率的公理化定義,定義1.2.2 若對隨機試

10、驗E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，定義一個實數(shù)P(A)與之對應(yīng)，集合函數(shù)P(A)滿足條件： (1)非負性： P(A) 0； (2) 規(guī)范性： P()1； (3) 可列可加性：若事件A1，A2，, 兩兩互斥，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。,概率的性質(zhì)： (1) P()=0 ； (2) 有限可加性：設(shè)事件A1，A2，An 兩兩斥，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3) 互補性：P(A)1 P(A);

11、 (4)單調(diào)不減性：若事件 ，則 P(B-A)=P(B)-P(A) ，P(B)P(A) 注意：一般情況下， P(B-A)=P(B)-P(AB),(5) 加法公式：對任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，An的情形； (6) 可分性：對任意兩事件A、B，有 P(A)P( )P(AB ) .,某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.,EX,解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報,例 在110

12、這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求 （1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率， （2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。,解:設(shè)A=取到的數(shù)能被2整除; B=取到的數(shù)能被3整除,故,若某試驗E滿足： 1.有限性：樣本空間 2.等可能性： 則稱E為古典概型也叫等可能概型。,1.3 古典概型,古典概型中的概率的求法:,試驗E的結(jié)果有有限種：樣本點是有限個:1，,n =12 n i是基本事件，且各自發(fā)生的概率相等。于是，有 1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) =n P(i), i=1,2,n。 從而， P(i)= 1/n，i=1,2

13、,n.,因此，若事件A 包含 k 個基本事件，即,則,例1: 擲色子兩次，求兩次之和為7的概率。,解： = (1,1),(1,2),(1,6) (2,1), , (6,6),A=(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3),古典概型的兩類基本問題,乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法。（也可推廣到分若干步） 加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。（也可推廣到若干途徑） 這兩公式的思想貫穿著整個概率問題的求解。,復(fù)習(xí)：排列與組合

14、的基本概念,1、抽取問題 例2：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類。 求A=抽到兩只甲類三極管的概率，按下列三種方案抽取三極管兩只： (1).隨機抽兩只； (2).無放回抽兩只； (3).有放回抽兩只。 解：,例3：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類。不放回抽兩只。求下列事件的概率： B=抽到兩只同類, C=至少抽到一只甲類, D=抽到兩只不同類。 解：B=甲甲 乙乙（兩種情況互斥） C=乙乙的補事件， D是B的補事件，,例4 有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類。有放回抽5次，求E=恰有2次抽到甲的

15、概率。 解：,延伸到一般：設(shè)N件產(chǎn)品中有K件甲類（次品），N-K件乙類（正品）, KN。有放回抽檢產(chǎn)品n次（n和N無關(guān)）。求事件A=所取產(chǎn)品中恰有k件甲類（次品）的概率。例1.3.7,在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。,2、分球入盒問題 例5：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：,某班級有n 個人(n36

16、5)， 問至少有兩個人的生日在同一天 的概率有多大？,?,例6（生日問題）：某人群有n個人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？,設(shè)每個人在一年(按365天計)內(nèi)每天出生的可能性都相同，現(xiàn)隨機地選取n(n365)個人，則他們生日各不相同的概率為 故n個人中至少有兩人生日相同的概率為 1-P(A)。,打開書 P12，可看到表1.3。,從上表可以看出: 在40人左右的人群里,十有八九會發(fā)生兩人或兩人以上生日相同這一事件。,3 隨機取數(shù)問題,例7 從1到200這200個自然數(shù)中任取一個, (1)求取到的數(shù)能被6整除的概率 (2)求取到的數(shù)能被8整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的

17、概率,解:n=200,k(3)=200/24=8,k(1)=200/6=33,k(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25,在實際問題中，除了要考慮某事件A的概率P(A)外，還要考慮 已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為B條件下A的條件概率，記作P(A|B)？,1.4 條件概率,一般情況下， P(A|B) P(A) 。,例1.4.1 100件產(chǎn)品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是廢品。現(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求 (1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率； (2).在抽到的產(chǎn)品是不合格

18、品條件下, 產(chǎn)品是 次品的概率。 解：設(shè) A=抽到的產(chǎn)品是次品， B=抽到的產(chǎn)品是不合格品。 (1). 按古典概型計算公式，有,(2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得,可見，P(A) P(A|B)。 雖然 P(A) 與 P(A|B) 不同，但二者之間存在什么關(guān)系呢? 先來計算P(B)和P(AB)。 因為100件產(chǎn)品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。 而P(AB)表示事件“抽到的產(chǎn)品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件產(chǎn)品中只有3件即是不合格品又是次品，得P(AB)=3/100。通過簡單運算，得,受此啟發(fā)， 定義1.4.1 設(shè)A和B是兩個事件，且P(B) 0，稱,稱為

19、事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。 顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間中的兩個事件，其中B含有nB個樣本點,AB含有nAB個樣本點，則P(A|B)表示AB事件在事件B中所占的比例。這樣就把樣本空間縮小到事件B中考慮。,?,“條件概率”是“概率”嗎？,條件概率P(.|B）滿足概率定義中的三個條件： P(A|B) 0，對每個事件A； P()1; (3）設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩斥的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P（( A1 A2 )|B） P(A1|B) P(A2|B)+.,例1.4.2 有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類,4只屬甲類, 兩只屬乙類

20、。不放回地抽取三極管兩次, 每次只抽一只。求在第一次抽到是甲類A1A2=兩次抽三極管的條件下, 第二次又抽到甲類三極管的概率。 解:記Ai= 第 i 次抽到的是甲類三極管, i=1,2, A1A2= 兩次抽到的都是甲類三極管, 由第2講中的例1.3.3，可知,再由P(A1)=4/6=2/3，得,1.4.3 乘法公式,設(shè)A、B ，P（A）0,P(B)0時，則 P(AB)P(A)P(B|A). P(AB)P(B)P(A|B). 稱為事件A、B的概率乘法公式。,還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A

21、1).P(An|A1An1).,例 1.4.3: 一批燈泡共100只，其中10只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求: 第三次才取到正品的概率。 解：設(shè) Ai =第 i 次取到正品, i=1,2,3。 A =第三次才取到正品。則:,例 10個紙團有3個獎，10個人各抽1個（無放回的抽），Ai=第i個人抽中獎。則,(3) B=前2個人都抽中獎,（抽中獎的概率與次序無關(guān)）,(2) A= 前2個人都沒抽中獎,(4)C=前兩個人恰有一個抽中獎,可見:P(B)+P(C)+P(D)=1,把要考慮的事件化為要考慮事件與若干個兩兩互斥事件的交事件的并來考慮.,(5) D= 第2個人抽中獎(第1人可

22、能抽中也可能不中),=,(6) E=第3個人抽中獎,1.4.3全概率公式 定義1.4.2 事件組B1，B2，Bn (n可為)，稱為樣本空間的一個劃分，若滿足：,定理1.4.1 設(shè)B1，, Bn是的一個劃分，且P(Bi)0，(i1，n)，則對任何事件A 有,它的理論和實用意義在于: 在較復(fù)雜情況下，直接計算P(A)不容易, 但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Bi , 使A伴隨著某個Bi 的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個 P( ABi ) 容易計算?？捎盟?P( ABi ) 之和計算 P(A).,例1.4.5：一批同型號的螺釘由編號為I,II,III的三臺機器共同生產(chǎn)。各臺機器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為

23、35%,40%, 25%。各臺機器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%, 2%和1%。求該批螺釘中的次品率。 解：設(shè) A=螺釘是次品, B1=螺釘由I號機器生產(chǎn), B2=螺釘由II號機器生產(chǎn), B3=螺釘由III號機器生產(chǎn)。 則,P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。,由全概率公式，得,思考：上例中，若已知取到的是次品，則求是第I臺機器生產(chǎn)的概率是多少？,定理1.4.2 設(shè)B1，, Bn是的一個劃分，且P(Bi) 0，(i1，n)，則對任何事件A，有,稱為貝葉斯公式。,1.4.4 貝葉斯公式,條

24、件概率,條件概率 小 結(jié),縮減樣本空間,定義式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,1.5 事件的獨立性兩事件獨立,定義1.5.1 設(shè)A、B是兩事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 則稱事件A與B相互獨立。 表明事件B的發(fā)生不影響A的發(fā)生。 等價于： P(AB)=P(A|B)P(B)P(A)P(B),例1： 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A= 抽到K , B=抽到黑色的牌。問事件A, B是否獨立？,解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, P(B) = 26/52 = 1/2， P(AB) = 2/52 = 1/26 故, P(AB) = P(A)P(B). 這說明事件

25、A, B獨立。,思考：互斥和獨立之間的聯(lián)系： 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 則 A與B不獨立。 P(AB)=0，P(A) 0,P(B) 0, P(AB) P(A)P(B) 其逆否命題是：若A與B獨立，且 P(A)0, P(B)0, 則 A與B一定不互斥。,請問：能否在樣本空間中找到兩個事件， 它們既相互獨立又互斥?,所以，與獨立且互斥。 不難發(fā)現(xiàn): (或)與任何事件都獨立。,可以,定理1.5.1 以下四件事等價： (1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立； (3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。,證明: 僅證A與 B獨立。 P(A B)= P(A A B)

26、 = P(A) P(AB) = P(A) P(A) P(B) = P(A)1 P(B) = P(A)P(B),概率的性質(zhì),A與B獨立,多個事件相互獨立 定義1.5.2 設(shè)A1，A2，An是n個事件，如果對 任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 則稱n個事件A1，A2，An相互獨立。,對于三個事件A, B, C，若 P(AB)= P(A)P(B)，P(AC)= P(A)P(C) , P(BC)= P(B)P(C) , P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 個等式同時成立，稱事件A, B, C相

27、互獨立。 n個事件相互獨立要滿足等式的個數(shù)為,事件獨立性的應(yīng)用,在可靠性理論上的應(yīng)用 例 如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設(shè)每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。,設(shè)A-L至R為通路,Ai-第i個繼電器通,i=1,2,5,由全概率公式,例1.5.2 驗收100件產(chǎn)品方案如下，從中任取3件進行獨立測試，如果至少有一件被斷定為次品，則拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測試后被斷定為次品的概率為0.95，一件正品經(jīng)測試后被斷定為正品的概率為0.99，并知這100件產(chǎn)品恰有4件次品。求該批產(chǎn)品能被接收的概率。,解: 設(shè) A=該批產(chǎn)品被接收， Bi=取出3件

28、產(chǎn)品中恰有i件是次品， i = 0,1,2,3。 則,因三次測試相互獨立，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。 由全概率公式, 得,例1.5.3 若干人獨立地向一移動目標射擊,每人擊中目標的概率都是0.6。求至少需要多少人, 才能以0.99以上的概率擊中目標? 解：設(shè)至少需要 n 個人才能以0.99以上的概率 擊中目標。 令A(yù)=目標被擊中,Ai =第i人擊中目標, i=1,2,n。則A1,A2,An 相互獨立。故， 也相互獨立。,因 A=A1A2An， 得 P(A)=

29、 P(A1A2An),問題化成了求最小的 n, 使1-0.4n 0.99。 解不等式，得,第一章 小結(jié) 本章由六個概念（隨機試驗、樣本空間、事件、概率、條件概率、獨立性），四個公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個概型（古典概型）組成,第二章 隨機變量,隨機變量 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 隨機變量的函數(shù)的分布,2.1 隨機變量的定義 關(guān)于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而這些量就是隨機變量也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學(xué)分

30、析中的常量與變量的區(qū)分那樣變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機變量,在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可用數(shù)量來表示:一方面，有些試驗，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)(試驗結(jié)果就是一個數(shù))； 另一方面，有些試驗，其結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)， 但可引進一個變量來表示試驗的各種結(jié)果。 即, 試驗結(jié)果可以數(shù)量化。從而轉(zhuǎn)化到數(shù)域上去考慮問題,就可以把高數(shù)中的思想概念應(yīng)用過來.,定義2.1.1. 設(shè)=是試驗的樣本空間，如果對每個,總有一個實數(shù)X()與之對應(yīng)，則稱上的實值函數(shù)X()為E的一個隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z 或 、等表示。,顧名思

31、義，隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量，正如隨機事件是“其發(fā)生與否隨機會而定”的事件 一個隨機試驗有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個要看機會，即有一 定的概率最簡單的例子如擲骰子，擲出的點數(shù)X是一個隨機變量，它可以取1，6等6個值到底是哪一個，要等擲了骰子以后才知道因此又可以說，隨機變量就是試驗結(jié)果的函數(shù).,隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上重大的事件。引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴充到對隨機變量及其取值規(guī)律的研究。,請舉幾個實際中隨機變量的例子,在投籃試驗中，用0 表示投籃未中，1 表示罰籃命中，3 表示三分線外遠投命中，2 表示三分線內(nèi)投籃命中。 2

32、. 在擲硬幣試驗中，用1 表示帶國徽或人頭的一面朝上，0 表示另一面朝上.,請舉幾個實際中隨機變量的例子,3. 一部電梯一年內(nèi)出現(xiàn)故障的次數(shù)。 用i=電梯一年內(nèi)發(fā)生i次故障,i=0,1, 樣本空間=i，=0,1,2, 令 X(i)=i, i=0,1,2 X（）的值域為0,1,2， 4. 用 X 表示單位時間內(nèi)某信號臺收到呼叫的次數(shù)，則 X 是一個隨機變量。事件 收到呼叫 X 1； 沒有收到呼叫 X=0,隨機變量,所有取值可 以逐個列舉,全部可能取值不僅有無 窮多，而且不能一一 列舉，充滿某些區(qū)間。,2.2 離散型隨機變量 隨機變量的分類,例如：“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等 例如：“電

33、視機的使用壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等。,定義 若隨機變量X取值x1, x2, , xn, 且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn, , 則稱X為離散型隨機變量，而稱 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分布律或概率分布。可表為 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 也可用表格形式給出：,Xx1 x2xK Pkp1p2pk,2.2.1 離散型隨機變量的概率分布,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),例1 設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。 解 k可取值0，1，2,分布律的性質(zhì),用這兩條性質(zhì)判

34、斷 一個數(shù)列是否是概 率分布。,例2 設(shè)隨機變量 X 的概率分布為,確定常數(shù) a 。,解：依據(jù)概率分布的性質(zhì),欲使上述數(shù)列為概率分布，應(yīng)有,從中解得,這里用到了冪級數(shù)展開式,例 2.2.1：,如上圖所示,電子線路中裝有兩個并聯(lián)繼電器。設(shè)這兩個繼電器是否接通具有隨機性，且彼此獨立。已知各電器接通的概率為0.8，記X為線路中接通的繼電器的個數(shù)。 求 (1). X 的概率分布；(2). 線路接通的概率。,解：(1). 記 Ai=第 i 個繼電器接通, i =1, 2. 因兩個繼電器是否接通是相互獨立的, 所以A1和A2相互獨立，且 P(A1)=P(A2)= 0.8 . 下面求 X 的概率分布: 首先

35、，X 可能取的值為: 0, 1, 2 . PX=0 = P表示兩個繼電器都沒接通,PX=1 = P恰有一個繼電器接通,PX=2 = P兩個繼電器都接通,所以，X的分布律為,(2). 因線路是并聯(lián)電路，所以 P(線路接通) = P(只要一個繼電器接通) = PX1 = PX=1+PX=2 = 0.32+0.64 = 0.96.,2.2.2 常用的離散型分布,1. (0-1)分布，兩點分布,設(shè) E 是一個只有兩種可能結(jié)果的隨機試驗, 用= 1, 2 表示其樣本空間。 P(1) = p , P(2) = 1-p .,則稱X服從參數(shù)p的（01）分布（或兩點分布）, 記成 XB(1, p)。,例 2.2

36、.2 200 件產(chǎn)品中，有196件正品，4件次品，今從中隨機地抽取一件，若規(guī)定,則 PX=1 = 196/200 = 0.98, PX=0 = 4/200 = 0.02 . 故 X 服從參數(shù)為0.98的兩點分布， 即 XB(1, 0.98)。,若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記作XB（n,p)其分布律為：,2.二項分布 定義 設(shè)試驗E只有兩個結(jié)果 ，記p=P（A），將試驗E獨立重復(fù)進行n次，則稱這n次試驗為n重伯努利試驗.,例5：某射手每次射擊時命中10環(huán)的概率為 p, 現(xiàn)進行 4 次獨立射擊，求 恰有 k 次命中10環(huán)的概率。,解：用X 表示 4

37、次射擊后, 命中10環(huán)的次數(shù), 則,其中“”表示未中，“”表示命中。,易見：X 的概率分布為,推廣到n次獨立射擊，即可得,伯努利概型對試驗結(jié)果有下述要求：,(1). 每次試驗條件相同；,二項分布描述的是：n 重伯努利試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù) X 的概率分布。,(3).各次試驗相互獨立。,(2). 每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果 A 或 ,例2.2.4 已知某類產(chǎn)品的次品率為0.2，現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機地抽查20件,問恰有k件次品的概率是多少？,解: 設(shè)X為20件產(chǎn)品中次品的個數(shù)，則,X b (20, 0.2)，,這是不放回抽取，但抽取 的數(shù)量比產(chǎn)品的數(shù)量小很 多，故可當(dāng)不放回抽取,則有,20件

38、產(chǎn)品中恰有k件次品的概率分布表,教材30頁表2.1,下面我們研究二項分布 b(n, p) 和兩點分布b(1, p)之間的一個重要關(guān)系。,設(shè)試驗 E 只有兩個結(jié)果: A 和 。,將試驗 E 在相同條件下獨立地進行 n 次，記 X 為 n 次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)。描述第 i 次試驗的隨機變量記作 Xi , 則 Xi b(1, p)，且 X1, X2 , , Xn相互獨立 ( 隨機變量相互獨立的嚴格定義將在第三章講述)。則有,X= X1+X2+ +Xn .,這表明：一個服從二項分布的隨機變量可以表示成n個相互獨立的服從 兩點分布的隨機變量之和。,設(shè)隨機變量 X 所有可能取的值為: 0, 1, 2,

39、 概率分布為：,3. 泊松分布,其中0為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為XP（）。,例 某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù) =3 的泊松分布。求： (1). 一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率； (2).一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。.,解:,(1). PX=3 = P(3; 3) = (33/3!)e-3 0.2240； (2). P2X5 = PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5 = (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) e-3 0.7169.,解:,例 2.2.6 某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) X 服從參數(shù)為0.8

40、的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生 3 次以上火災(zāi)的概率。,PX3= 1-PX3 = 1-( PX=0+PX=1+PX=2 ) = 1-( (0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!) )e-0.8 0.0474 .,歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 。,二項分布與泊松分布的關(guān)系,定理(泊松定理): 對二項分布 B(n,p), 當(dāng) n充分大, p又很小時,對任意固定的非負整數(shù) k，有近似公式,泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布， 當(dāng)n很大，p很小時，二項分布就可近似地 看成是參數(shù)=np的泊松分布,例2.2.5 某出租汽車公司共有出租車4

41、00輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，求:一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。,解: 將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗 E。因為每輛車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān), 于是, 觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做 400 次伯努利試驗。設(shè) X 表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租車數(shù), 則 X b(400, 0.02)。 令 = np = 4000.02 = 8 ，于是, P一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障 = PX=0 = b(0;400,0.02) = 0.98400 =0.000309 (80/0!)e-8 = 0.0003355.,例 設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦

42、有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。,解:由題意,小結(jié),本節(jié)首先介紹了隨機變量的基本概念與分類，接著介紹離散型隨機變量及其概率分布；然后介紹三種常見的離散型概率分布：兩點分布、二項分布、泊松分布及其關(guān)系。,對于離散型隨機變量，如果知道了其概率分布，也就知道了它取各個可能值的概率。,連續(xù)型隨機變量 X 所有可能取值充滿若干個區(qū)間。對這種隨機變量，不能象離散型隨機變量那樣, 指出其取各個值的概率， 給出概率分布。而是用“概率密度函數(shù)”表示隨機變量的概率分布。,2.3 連續(xù)型隨機變量,2.3.1 直方圖 例2.3.1 某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機因素

43、的影響，零件長度不盡相同。現(xiàn)測得該廠生產(chǎn)的100個零件長度(單位: mm)如下:,129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146,

44、 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.,這100個數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。,作頻率直方圖的步驟,(1). 先確定作圖區(qū)間 a, b ;,a =

45、 最小數(shù)據(jù)-/ 2，b = 最大數(shù)據(jù)+/ 2，, 是數(shù)據(jù)的精度。,本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。,(2). 確定數(shù)據(jù)分組數(shù) m = 7， 組距 d = (b a) / m，本例 d=4， 子區(qū)間端點 ti = a + i d, i = 0, 1, , m； 這樣使數(shù)據(jù)不落在區(qū)間的端點上。,(3). 計算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測值頻數(shù) ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, , n， 頻率 fi = ni / n， i = 1, 2, , m；,(4). 以小區(qū)間 ti-1，ti 為底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 為高作一系列小

46、矩形（面積為頻 率），組成了頻率直方圖，簡稱直方圖。,由于概率可以由頻率近似， 因此這個直方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。,用上述直方圖刻畫隨機變量X的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準確地刻畫X的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測數(shù)據(jù)的個數(shù), 同時將數(shù)據(jù)分得更細一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多, 分組越來越細時, 直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線, 這條曲線稱為隨機變量X的概率密度曲線，可用來準確地刻畫X的概率分布情況。,2.3. 2 概率密度函數(shù),定義2.3.1 若存在非負可積函數(shù) f(x), 使隨機變量X取值于任一區(qū)間 (a, b 的概率可表示成,則稱 X為連續(xù)型隨機變量， f(x)為

47、 X 的概率密 度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。,這兩條性質(zhì)是判定函數(shù) f(x) 是否為某隨機變量 X 的概率密度函數(shù)的充 要條件。,密度函數(shù)的性質(zhì),f(x)與 x 軸所圍 面積等于1。,（非負性）,（歸一性）,(3). 對 f(x)的進一步理解：,故, X的概率密度函數(shù)f(x)在 x 這一點的值, 恰好是X 落在區(qū)間 x , x +x上的概率與區(qū)間長度x 之比的極限。 這里, 如果把概率理解為質(zhì)量，f (x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線密度。,定積分中值定理,平均概率,(4). 連續(xù)型隨機變量取任意指定值的概率為 0.,即：,a為任意給定值。,這是因為：,可見：,由P(A)=0, 不能推出 A=；, 對連

48、續(xù)型 隨機變量 X, 有,例 已知隨機變量X的概率密度為 1)試確定k值, 2)求PX0.1,解：,2.3.3 常用的連續(xù)型分布,1. 均勻分布 若Xf(x),則稱X在a, b內(nèi)服從均勻分布。記作 XUa, b,對任意實數(shù)c, d (acdb)，都有,X落在子區(qū)間c,d上的概率僅和區(qū)間長度(d-c)有關(guān)，與位置無關(guān)。,例 長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率,15,45,解：設(shè)A乘客候車時間超過10分鐘 X乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60),2. 指數(shù)分布 若 X,則稱X服從參數(shù)為0的指數(shù)

49、分布。,指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命服從指數(shù)分布。,例 電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布 (1)求該電子元件壽命超過2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？,解,正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。,3. 正態(tài)分布,正態(tài)分布是十九世紀初，由高斯(Gauss)給出并推廣的一種分布。故，也稱高斯分布。,正態(tài)分布的定義,定義：若隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為,記作,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線。,(Normal),其中和都是常數(shù)，任意，0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布

50、。,(1) 單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線x=對稱； f()maxf(x) .,正態(tài)分布有兩個特性：,另外，當(dāng) x 時，f(x) 0,這說明：曲線 f(x) 向左右伸展時，越來越貼近 x 軸。即 f (x) 以 x 軸為漸近線。,（2）決定了圖形的中心位置, 決定了圖形峰的陡峭程度。,標準正態(tài)分布 參數(shù)0，21的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作XN(0, 1)。,分布函數(shù)表示為,密度函數(shù)表示為,它的依據(jù)是下面的定理：,標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個 一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為 標準正態(tài)分布。,根據(jù)定理2.3.1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題

51、。,定理2.3.1,書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題。,標準正態(tài)分布表,表中給出的是 x 0時，(x)的取值;,例2.3.4 假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高(單位: cm) XN(170,7.692), 求該地區(qū)成年男性的身高超過 175cm 的概率。,解: 根據(jù)假設(shè) XN(170 ,7.692)，知,事件 X 175 的概率為,例 一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分布(100,152),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的.求：使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率.,解:設(shè)Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞的元件數(shù),故,則YB(3,p)

52、，,其中,正態(tài)分布表,解: 設(shè)車門高度為 h ，按設(shè)計要求,P(X h)0.01，或 P(X h) 0.99，,下面我們來求滿足上式的最小的 h。,例2：公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設(shè)計的。設(shè)某地區(qū)成年男性身高 (單位: cm) XN(170, 7.692),問車門高度應(yīng)如何確定?,因為XN(170,7.692),求滿足 P(X h) 0.99 的最小 h。,故，當(dāng)汽車門高度為188厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01。,2.3.4 隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的概念,定義2.3.2 設(shè)X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件Xx的概率PXx稱為隨機變量X的分

53、布函數(shù)。 記為F(x)，即 F(x)P Xx， -x+.,分布函數(shù)的性質(zhì),1.單調(diào)不減性：若ab,則有F(a) F(b) 且PaX b=PX b-PX a=F(b)-F(a) 它表明隨機變量落在區(qū)間(a,b上的概率可以通過分布函數(shù)來計算。 2 .歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且,一般地，對離散型隨機變量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函數(shù)為,例2.3.5 設(shè)隨機變量X具分布律如右表,解,試求出X的分布函數(shù)。,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù),即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。,由上式，得：在 f (x)的連續(xù)點，有,若X 是連續(xù)型隨機變量，f (x)是X 的密度函數(shù)，F(xiàn)(x)是分布函

54、數(shù)，則對任意xR，總有,解：,例2.3.6： 設(shè)隨機變量 ，求其分布函數(shù)。,當(dāng) x a時,有 f(x)=0, F(x) = 0；,對 x b, 有,求連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù),即,解：,求 F(x) .,對 x -1，有 F(x) = 0；,對 x 1， 有 F (x) = 1.,即,本講首先介紹連續(xù)型隨機變量、直方圖、概率密度函數(shù)及性質(zhì)；然后介紹了三種常用的連續(xù)型隨機變量：均勻分布;指數(shù)分布和正態(tài)分布；最后介紹隨機變量的分布函數(shù)。分別討論了離散型隨機變量的概率分布和分布函數(shù)的關(guān)系，連續(xù)型隨機變量的概率密度和分布函數(shù)的關(guān)系等。,小結(jié),2.4 一維隨機變量函數(shù)的分布,問題的提出,在實際中，人們有

55、時對隨機變量的函數(shù)更感興趣。如: 已知圓軸截面直徑 D 的分布,求截面面積 的分布。,一般地，設(shè)隨機變量 X 的分布已知，求Y = g(X) (設(shè) g 是連續(xù)函數(shù)) 的分布。,這個問題無論在理論上還是在實際中都非常重要。,2.4.1 離散型隨機變量函數(shù)的分布律,設(shè)X一個隨機變量，分布律為 XPXxkpk, k1, 2, 若yg(x)是一元單值實函數(shù)，則Yg(X)也是一個隨機變量。求Y的分布律.,解：當(dāng) X 取值 -1，0，1，2 時， Y 取對應(yīng)值 4，1，0 和 1。,由 PY=0 = PX=1=0.1， PY=1 = PX=0+PX=2 = 0.3+0.4 = 0.7， PY=4 = PX

56、=-1 = 0.2 .,例2.4.1 設(shè)隨機變量 X 有如下概率分布：,求 Y= (X 1)2 的概率分布。,得 Y 的概率分布：,一般地，若X是離散型 隨機變量，概率分布為,如果 g(x1), g(x2), , g(xk), 中有一些是相同 的，把它們作適當(dāng)并項即可得到一串互不相同 (不妨認為從小到大) 的 y1, y2 , yi ,.,把 yi 所對應(yīng)的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加， 記成 qi , 則 q1, q2, , qi ,就是Y = g(X) 的概率分布。,例2.4.2 在應(yīng)用上認為: 單位時間內(nèi)，一個地區(qū)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)服從泊松分布。設(shè)某城市一個月內(nèi)發(fā)生

57、火災(zāi)的次數(shù) XP(5)，試求隨機變量Y=|X-5|的概率分布。,解：由于X的所有可能取值為0, 1, 2, , 對應(yīng)的概率分布為,及Y=|X-5|可知，Y 的所有可能取值為0, 1, 2, 。且對每個 i，當(dāng) 0 i 5時，有 k=5+i 和 k=5-i 兩個 k 值與 i 對應(yīng), 使 |k-5|=i ;,當(dāng)i=0 或 i6 時，只有一個 k 值與 i 對應(yīng)，使|k-5|=i 。 于是，Y的概率分布為：,2.4.2 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般方法 若Xf(x), - x +, Y=g(X)為隨機變量X 的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù) FY (y) PYyP g(X) y,然后再求Y的

58、密度函數(shù),此法也叫“ 分布函數(shù)法”,解：設(shè) Y 的分布函數(shù)為 FY(y)，則,例 設(shè)隨機變量X 有概率密度,求 Y = 2X+8 的概率密度。,關(guān)于y的變上限積分,于是Y 的密度函數(shù),利用P44公式(2.4.1):,注意到,得,求導(dǎo)可得:利用P44公式(2.4.1),當(dāng) y0 時,例2.4.7 設(shè) X 具有概率密度fX(x)，求Y=cX2的密度。(c0),解：設(shè)Y 和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0，故當(dāng) y0時，F(xiàn)Y(y)=0；,從上例中可以看到, 在求P(Yy)的過程中, 關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X)y 中解出X,從而得到與 g(X)y 等價的X的不等式 。 例如: 用X(y-8)/2 代替 2X+8y,這樣做是為了利用已知的 X的分布，求出相應(yīng)的Y的分布函數(shù) FY (y)。,這就是求隨機變量函數(shù)