迭代法解非線性方程PPT

1、求解非線性方程的迭代法,數(shù)學(xué)軟件,一、迭代法原理,二、弦截法,三、牛頓法,四、小結(jié),一、迭代法原理,1. 迭代法的思想,迭代法是數(shù)值計算中的一類典型方法，不僅用于方程求根，而且可用于方程組求解，矩陣求特征值等許多問題。 迭代法的基本思想是一種逐次逼近的方法。首先取一個粗糙的近似值，然后用同一個遞推公式，反復(fù)校正這個初值，直到滿足給定的精度為止。迭代法的關(guān)鍵在于構(gòu)造遞推公式。,構(gòu)造 f (x) = 0 的一個等價方程：, (x) 的不動點(diǎn),f (x) = 0,x = (x),f (x) 的零點(diǎn),當(dāng)?shù)蛄惺諗繒r，稱迭代公式收斂或迭代收斂，否則稱迭代發(fā)散。 這種求非線性方程根的方法稱為迭代法。,2

2、. 迭代法的收斂性,關(guān)于迭代法的收斂性與迭代函數(shù)之間的關(guān)系，我們不加證明地給出如下幾個定理。,2. 迭代法的收斂性,定理1的兩個條件有時較難驗證也較難滿足，這時常用的是局部收斂條件。 所謂局部收斂，指的是迭代公式在x*的某個鄰域是收斂的。 關(guān)于局部收斂有如下的定理。,3.迭代法的局部收斂性,4.收斂的階,為了進(jìn)一步研究收斂速度問題，引入階的概念：,特別地,1階收斂稱為線性收斂， 2階收斂稱為平方收斂； 若p=1,c=0時，通常稱為超線性收斂. 顯然，p越大收斂越快。,4.收斂的階,定理3可以利用泰勒展開式加以證明,二、弦截法 1. 弦截法的算法過程,(1)過兩點(diǎn)(a,f (a),(b,f (b

3、)作一直線,它與x軸有一個交點(diǎn),記為x1; (2)如果f (a)f (x1)0,過兩點(diǎn)(a,f (a),(x1,f (x1 )作一直線,它與x軸的交點(diǎn)記為x2, 否則過兩點(diǎn)(b,f (b),(x1,f (x1 )作一直線,它與x軸的交點(diǎn)記為x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|e , 就可認(rèn)為xn為 f (x)=0在區(qū)間a,b上的一個根。,2. 弦截法的迭代公式,3.弦截法的Matlab編程實(shí)現(xiàn),function root=chord_cut(f,a,b,e) %弦截法求函數(shù)f在區(qū)間a,b上的一個零點(diǎn) %f函數(shù)名,a區(qū)間左端點(diǎn),b區(qū)間右端點(diǎn),e根的精度,root函數(shù)的零點(diǎn) functi

4、on root,n=chord_cut2(f,a,b,e) %弦截法求函數(shù)f在區(qū)間a,b上的一個零點(diǎn) %f函數(shù)名,a區(qū)間左端點(diǎn),b區(qū)間右端點(diǎn),e根的精度,root函數(shù)的零點(diǎn),n迭代次數(shù),三、牛頓法 1. 牛頓法的基本思想,用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化方法， 對于非線性方程 f (x)=0 ,將 f (x) 在 xk 處作 Taylor 展開,去掉高階項后得,如果f(xk)0,用xk+1代替x,由f(x)=0可得下列迭代公式,2. 牛頓迭代公式,稱上式為方程f(x)=0的牛頓迭代公式, 簡稱牛頓法。 牛頓法具有明顯的幾何意義，,是曲線在點(diǎn)(xk, f(xk)處的切線方程。 xk+1就

5、是切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 所以牛頓法就是用切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)近似代替曲線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 因此牛頓法也稱切線法。,3. 牛頓法的收斂速度,經(jīng)計算得,因此,若x*是f(x)=0的單根,則牛頓法是至少2階收斂的； 進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x*是f(x)=0的重根時,牛頓法只是1階收斂的， 并且重數(shù)越高，收斂越慢。,牛頓法的迭代函數(shù),4. 牛頓法的編程實(shí)現(xiàn),function root=newton1(f,a,b,e) %牛頓法求函數(shù)f在區(qū)間a,b上的一個零點(diǎn) %f函數(shù)名,a區(qū)間左端點(diǎn),b區(qū)間右端點(diǎn),e根的精度,root函數(shù)的零點(diǎn) function root,n=newton2(f,a,b,e) %牛頓法求函數(shù)f在區(qū)間a,