路橋應用力學

1、,單元3 軸向拉壓桿件的內(nèi)力與承載能力分析,軸向拉、壓桿件在工程中的應用非常廣泛。選擇拉、壓桿件的關鍵在于解決安全與經(jīng)濟的矛盾，力爭在確保安全的前提下做到經(jīng)濟合理。而要保證結構、構件正常安全可靠地工作，需對其進行承載能力分析，以確保它們具有足夠的強度、剛度和穩(wěn)定性。,31桿件的四種基本變形及組合變形,前面當我們著重對組成工程結構物的基本構件所受外力進行分析時，為了研究分析的方便，我們把構件看作為不變形的剛體，而實際上一般物體在外力的作用下，其幾何形狀和尺寸均要發(fā)生變化，甚至在外力增加到一定程度時，還會發(fā)生嚴重的變形及破壞。也既需要研究變形體。,1變形固體及其基本假設 變形固體是指在外力作用下形

2、狀和尺寸都會發(fā)生改變的固體。 理想變形固體材料的基本假設有： （1）連續(xù)均勻性假設：假設組成變形固體的物質(zhì)不留空隙地均勻地充滿了固體的體積。 （2）各向同性假設：假設變形固體在各個方向上的力學性能都是相同的。,（3）小變形假設。假設變形固體在承受荷載作用時，其變形遠小于構件尺寸。這樣在計算某個量值而使用外形尺寸時，就可忽略變形量的影響，按構件的原始尺寸進行計算。,如何理解理想變形固體材料的連續(xù)均勻性假設？,想一想,學一學,我們知道：“事實上，物質(zhì)并不完全充滿于整個物體，物體是由不連續(xù)的粒子組成的”，“一條不間斷的光滑曲線” 是我們在高等數(shù)學里學到的“連續(xù)”。,想一想,如圖3-1所示的構件在外力

3、作用下會發(fā)生怎樣的變形？,圖3-1 發(fā)生基本變形的工程構件,學一學,2 桿件的四種基本變形和組合變形 （1）軸向拉伸或壓縮 桿受一對大小相等，方向相反的縱向力作用，力的作用線與桿軸線重合。當桿件受到與桿軸線重合的拉力或壓力作用時，桿件的縱向會產(chǎn)生伸長或縮短的變形（如圖3-2a）。 （2） 剪切 當桿件受到一對大小相等、方向相反、作用線平行但相距很近的外力作用時，會使這兩力作用線之間的截面產(chǎn)生相對錯動（如圖3-2b）。 （3）扭轉(zhuǎn) 桿受一對大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面垂直于桿軸線。當桿件受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面平行的外力偶作用時，會使此二力偶作用面間的橫截面產(chǎn)生繞桿軸線的相對轉(zhuǎn)

4、動（如圖3-2c）。,（4）彎曲 桿受一對大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面是包含軸線的縱向面。當桿件受到一對等值、反向、且作用于桿件的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶作用，或受到與桿軸線垂直的集中力或分布力作用時，桿件的軸線及與該軸線平行的任意一根纖維都會發(fā)生彎曲（如圖3-2d）。,圖3-2桿件的四種基本變形,練一練,四種基本變形的受力特征和變形特征各是什么？,（5）組合變形 在實際工程中，很多桿件都是受由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的變形，我們將其稱為組合變形，如圖3-3所示。,圖3-3 發(fā)生組合變形的煙囪(a)和牛腿柱(b),練一練,試問圖3-3(a)所示的煙囪和3-3(b)所示的牛腿柱分別可

5、看作是哪些基本變形的組合？,32 軸向拉、壓桿橫截面上的內(nèi)力,本節(jié)主要介紹用截面法求指定截面的軸力；繪制和識讀直桿的軸力圖。,1內(nèi)力及其計算方法,（1）內(nèi)力的概念,想一想,在生活中，當我們用手拉長一根橡皮條時，會感到橡皮條內(nèi)有一種反抗拉長的力。,學一學,當外力使物體發(fā)生變形的同時，物體內(nèi)部分子之間就伴隨著產(chǎn)生一種為恢復原狀的抵抗力，這種抵抗力就叫做內(nèi)力.,（2）截面法,截面法是顯示和確定內(nèi)力的基本方法。計算步驟可歸納為：截取、代替、平衡。 截?。河靡粋€假想的截面，將桿件沿需求內(nèi)力的截面處截為兩部分；取其中任一部分為研究對象； 代替：用內(nèi)力來代替棄去部分對選取部分的作用； 平衡：用靜力平衡條件，

6、根據(jù)已知外力求出內(nèi)力。 需要指出，截面上的內(nèi)力是分布在整個截面上的，利用截面法求出的內(nèi)力是這些分布內(nèi)力的合力。,2 軸力和軸力圖,軸力（N）： 拉、壓桿橫截面上的內(nèi)力稱軸力，其沿軸向作用。按平面截面假設，其在橫截面上均布。通常規(guī)定：軸力使桿件受拉為正，受壓為負。,采用截面法計算軸力： 第一步：截開 第二步：列平衡方程,【例3-1】一等直桿受力情況如圖3-4（a）所示，試求指定 1-1截面、2-2截面和3-3截面上的內(nèi)力。,圖3-4 軸力N1、N2和N3示意圖,解：采用截面法 (1) 截開如圖3-5 (2) 分別列平衡方程 得： N1=2P N2=3P N3=P,軸力圖： 用圖線形象、直觀的表示

7、出軸力沿桿軸變化的情況。一般以桿軸線為橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示橫截面上軸力的數(shù)值。軸力與桿橫截面要一一對應。,圖3-5軸力圖坐標選取,【例3-2】桿件受力如圖3-6）所示。已知P1=20kN，P2=50kN，P3=30kN。試繪制桿的軸力圖。,圖3-6 受力桿的軸力圖,解：（1）分段：段數(shù)= 外力數(shù)-1 3-1=2（段） (2) 用截面法求各段軸力 NAB=P1=20kN （拉力） NBC= - P3 = -30kN （壓力） （3）作軸力圖： 建立坐標系；取比例尺；連線如圖3-6b)所示,【例3-3】桿件受力如圖3-7）所示。試繪制桿的軸力圖并求出最大軸力。,圖3-7 受力桿的軸力

8、圖,解：（1）分段：段數(shù)= 外力數(shù)-1 4-1=3（段） (2) 用截面法求各段軸力 N1= -2 KN N2= 0 KN N3= 4 KN,（3）作軸力圖： 建立坐標系；取比例尺；連線如圖3-7b)所示 |Nmax|= 4 KN,想一想,在求圖3-7a)所示桿軸力圖時，為了省去固定端的支座反力計算，應如何選取研究對象？,33軸向拉、壓桿橫截面上的正應力,求出桿件軸力后，要解決強度問題還需要進一步研究桿件橫截面上的應力。,1應力的概念,想一想,兩根材料相同而粗細不同的桿件，承受著相同的軸向拉力，隨著拉力的增加，哪根桿先被拉斷？為什么？,學一學,兩根材料相同而粗細不同的桿件，承受著相同的軸向拉力

9、，隨著拉力的增加，細桿將首先被拉斷，因為內(nèi)力在小面積上分布的密集程度大。由此可見，判斷桿件的承載能力還需要進一步研究內(nèi)力在橫截面上分布的密集程度。 單位面積上的內(nèi)力稱應力，或者說橫截面上某點的內(nèi)力集度稱應力。P=（補）,正應力：垂直于截面的應力稱正應力。=（補） 剪應力：平行于截面的應力稱剪應力。=（補） 應力的單位是：帕（Pa）、千帕（kPa）、兆帕（MPa）、吉帕（GPa）。 1Pa=1N/m2，1kPa=103Pa ，1MPa=1N/mm2=106Pa ，1GPa=10 9Pa,2軸向拉（壓）桿橫截面上的正應力,想一想,為什么拉、壓桿橫截面上的內(nèi)力是均布的呢？,（圖2-8改為圖3-8）,

10、學一學,顯然，拉、壓桿橫截面上的內(nèi)力符合平面截面假設，既變形前橫截面為平面，變形后橫截面保持為原平面，而且仍垂直于桿軸線。,由于拉、壓桿橫截面上的內(nèi)力均布并垂直于桿軸線，應力也就均布并垂直于桿軸線。故軸向拉（壓）桿橫截面上的正應力計算公式為：,（31）,式中：N橫截面上的軸力； A橫截面面積。,的符號規(guī)定：正號表示拉應力；負號表示壓應力。,應該指出，在外力作用點附近，應力分布較復雜，且非均勻分布，公式（31）適用于離外力作用點稍遠處橫截面上的正應力計算。,練一練,試問軸力和橫截面面積相等，但截面形狀和材料不同的兩拉桿，它們的應力是否相等？,【例3-4】有一根鋼絲繩，其截面積為0.725cm2，

11、受到3000N的拉力，試求這根鋼絲繩的應力是多少？,解：因P=3000N,A=0.725cm2=0.725x10-4 m2,（拉應力）,34軸向拉、壓桿的強度計算,軸向拉壓桿的強度計算包括強度校核、截面設計和確定最大許可荷載，計算的目的是為了使構件安全，同時又要經(jīng)濟合理。,1許用應力與安全系數(shù),由于各種原因使結構喪失其正常工作能力的現(xiàn)象，稱為失效。工程材料失效的兩種形式為：（1）塑性屈服，指材料失效時產(chǎn)生明顯的塑性變形，并伴有屈服現(xiàn)象。如低碳鋼、鋁合金等塑性材料。（2）脆性斷裂，材料失效時幾乎不產(chǎn)生塑性變形而突然斷裂。如鑄鐵、混凝土等脆斷材料。,對于塑性材料，進入塑性屈服時的應力取屈服極限S

12、，對于某些無明顯屈服平臺的合金材料取0.則危險應力0 = s或0.2；對于脆性材料：斷裂時的應力是強度極限b，,為了保證構件安全、正常工作，僅把工作應力限制在極限應力以內(nèi)是不夠的。因?qū)嶋H構件的工作條件受許多外界因素及材料本身性質(zhì)的影響，故必須把工作應力限制在更小的范圍，以保證有必要的強度儲備。,工作應力 o,許用應力：設計時的應力值。,（3-2）,式中：材料的許用應力； 0 材料的極限應力； K 安全系數(shù)1。,則 0 = b,為保證構件的安全使用而設的安全系數(shù)K的選取涉及許多方面的問題。目前，國內(nèi)有關部門編制了一些規(guī)范和手冊（如公路橋涵設計規(guī)范和公路橋涵設計手冊），可供選取安全系數(shù)時參考。一般

13、構件在常溫、靜載條件下： 塑性材料 Ks = 1.52.5 脆性材料 Kb = 23.5,2 拉壓時的強度計算 為了保證構件安全可靠地工作，必須使構件的最大工作應力不超過材料的許用應力。 拉（壓）桿件的強度條件為：, ,式中：,max最大工作應力； Nmax構件橫截面上的最大軸力； A 構件的橫截面面積； 材料的許用應力。,拉（壓）桿的強度條件可解決三類工程實際問題： （1）強度校核 已知構件的材料、橫截面尺寸和所受荷載，校核構件是否安全。即,（2）截面設計 已知構件承受的荷載及所用材料，確定構件橫截面尺寸。 即,Amin Nmax/A,由上式可算出橫截面面積，再根據(jù)截面形狀確定其尺寸。,（3

14、）確定最大許可荷載 已知構件的材料和尺寸，可按強度條件確定構件所能承受的最大許可荷載。 即,NmaxA,由再根據(jù)靜力平衡條件，確定構件所能承受的最大荷載。,3 應用,35拉（壓）時的變形、虎克定理,1 絕對變形量、線應變和泊松比,圖3-11拉力P作用下桿的變形示意圖,如圖3-11所示，設桿原長為L，原橫向尺寸分別為b和c，受軸向拉力作用后發(fā)生變形，變形后的尺寸分別為L1、b1和c1,則 縱向絕對變形量為：L=L1-L （3-4） 橫向絕對變形量為： b=b1-b,可以看出，桿件的L與桿件的原始長度L有關。為了消除桿件原長L的影響，更確切地反映材料的變形程度，將L除以桿件的原長L，用單位長度的變

15、形來表示,即:,（3-5）,稱為線應變或相對變形量，是一個無量綱的量。拉伸時L為正值，也為正值；壓縮時L為負值，也為負值。 同理：,觀察知，縱向伸長，橫向就縮短；反之，縱向縮短，橫向就伸長。拉伸時為正值，就為負值；壓縮時，為負值，就為正值。試驗表明，桿的橫向應變與縱向應變之間存在著一定的關系，在彈性范圍內(nèi)， 橫向應變與縱向應變的比值的絕對值是一個常數(shù)，用表示,（3-6）,稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，其值可通過試驗確定。由于與的符號恒為異號，故有,（3-7）,泊松比反映材料的彈性性能。,想一想,我們知道“力和變形成正比”，請問：絕對變形L除與P力成正比外，與桿長L和桿的橫截面積A的大小有關嗎？,學

16、一學,觀察試驗：,圖3-12 拉桿力與變形實驗,如圖3-12a)若A1 =A2 =A，L1 =L2， N1 N2 則：L1 L2，即LN 如圖3-12b)若L1 =L2 =L,N1 =N2 =N,A1 A2 則：L1 L2，即L1/A 如圖3-12c)若 A1=A2 =A,N1=N2 =N,L1 L2則：L1 L2，即LL 由此：LNL/A,2 虎克定理 實驗表明，在材料的彈性范圍內(nèi)，L與外力P和桿長L成正比，與橫截面面積A成反比，即,LPL/A,引入比例系數(shù)E，由于P=N，上式可寫為：,（3-8）,式（3-8）為虎克定律的數(shù)學表達式。比例系數(shù)E稱為材料的拉（壓）彈性模量，它與材料的性質(zhì)有關，

17、E是衡量材料抵抗變形能力的一個指標。各種材料的E值由試驗測定，其單位與應力的單位相同。一些常用材料的E值列入表3-1中。EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，它反映了桿件抵抗拉（壓）變形的能力，對長度相同，受力相等的桿件，EA越大，變形L就越??；反之，EA越小，變形L就越大。 若將式（3-8）改寫為,并以=L/L，=N/A這兩個關系式代入上式，可得虎克定律的另一表達形式,(3-9),（3-9）式又可表述為：彈性范圍內(nèi)，應力與應變成正比。,【案例3-2】懸索結構 懸索結構將結構內(nèi)力的拉壓分開，分別由長于受拉的鋼索及長于受壓的鋼筋混凝土或鋼結構承受拉力和壓力，發(fā)揮各自特長，而使其受力合理，耗材省，成為十分

18、先進的結構形式。懸索結構多以曲面形式出現(xiàn)，建筑輪廓流暢，形態(tài)優(yōu)美。如上海楊浦大橋是斜拉橋，江陰長江大橋是懸索橋，它們都屬于懸索結構。,圖3-11懸索結構圖,【案例3-3】吊頂?shù)鯒U 吊頂在裝飾工程中應用非常廣泛，大面積吊頂通常由懸吊龍骨和裝飾頂棚組成（圖3-11）。 在選擇吊桿時，除考慮龍骨的剛度、穩(wěn)定性外，應重點考慮吊桿需承受的軸向拉力，即吊頂系統(tǒng)的總荷載，既要根據(jù)強度條件及吊桿的材料選擇吊桿的數(shù)量和吊桿的粗細，同時還應考慮吊桿在荷載作用下的變形，從而確保吊頂?shù)陌踩晚斉锏钠秸取?圖3-12 懸吊龍骨與裝飾頂棚圖,【案例3-4】拉桿在橋梁中的應用 圖3-13、圖3-14是利用吊桿、拉索承受橋

19、梁荷載的典型實例。它們的共同特點是依靠拉桿承受橋板和橋板上的荷載，實現(xiàn)增大跨度、降低工程成本的目標。,圖3-13 拱橋中吊桿的應用,圖3-13 斜拉橋中吊桿的應用,練一練,（1）觀察學校內(nèi)的建筑，找一找有哪些結構利用了軸向拉壓桿。（2）到學校附近工地見習、參觀，分析軸向拉壓桿在施工機械和工程中的應用。 （3）觀察學校周圍有無利用拉桿承重的橋梁，利用課外時間進行參觀，也可上網(wǎng)查找此類工程。,單元4 梁的內(nèi)力與承載能力分析,工程中存在著許多彎曲變形的桿件梁.當桿件受到與桿軸線垂直的外力或在軸線平面內(nèi)的力偶作用時，桿的軸線由原來的直線變成曲線,這種變形叫彎曲變形。例如圖示橋式吊車、火車輪軸和管道的托

20、架.,橋式吊車,火車輪軸,管道的托架,平面彎曲示意圖,如果作用在梁上的外力（包括荷載和支座反力）和外力偶都位于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，且外力垂直于梁的軸線，則梁變形時，其軸線在此平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。,想一想,結合上面的“橋式吊車”“ 火車輪軸”“管道的托架”,想一想,工程中,梁的類型會有那些?,學一學,工程中，對于單跨靜定梁，按其支座情況可分為以下三種基本類型：,（1）簡支梁：一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座的梁。如圖4-1a）所示。（2）外伸梁：一端或兩端伸出支座之外的簡支梁。如圖4-1b）所示。 （3）懸臂梁：一端為固定端，另一端為自由端的梁。如圖4-1c）所示。,

21、圖4-1 梁的類型,41梁的內(nèi)力 梁受到外力作用后，各個橫截面上將產(chǎn)生內(nèi)力。為了計算梁的強度和剛度，在確定梁上的外力并求得梁的支座反力之后，就必須計算其內(nèi)力。 4.1.1 剪力和彎矩的概念,想一想,梁受到外力作用后，各個橫截面上的內(nèi)力情況怎樣呢?,學一學,如圖4-2a）所示，欲求簡支梁任一截面m-m 上的內(nèi)力。,圖4-2 受力作用后的簡支梁(圖中FA,FB改為YA,RB),解: 采用內(nèi)力截面法 假想將梁沿m-m截面截開,現(xiàn)取左段為研究對象。由圖4-2b）可見，因有支座反力YA作用，為使左段滿足FY=0，截面m-m上必然有與YA等值、平行且反向的內(nèi)力Q存在，它有使梁沿m-m截面被剪斷的趨勢，故稱

22、這個內(nèi)力Q為剪力。同時，因YA對截面m-m的形心O點有一個力矩YAa的作用，為滿足MO=0，,截面m-m上也必然有一個與力矩YAa大小相等且轉(zhuǎn)向相反的內(nèi)力偶矩M存在，這個內(nèi)力偶矩M稱為彎矩。由此可見，梁發(fā)生彎曲時，橫截面上同時存在著兩個內(nèi)力，即剪力和彎矩。剪力的常用單位為N或kN，彎矩的常用單位為Nm或kNm。,4.1.2 剪力和彎矩的符號規(guī)定: 剪力的正負號: 以使隔離體(左段或右段)有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正，如圖4-3a）所示；反之為負，如圖4-3b）所示。,圖4-3剪力的正負號規(guī)定,彎矩的正負號: 以使梁段產(chǎn)生下側(cè)纖維受拉的彎矩為正，如圖4-4a）所示；反之為負，如圖4-4b）所示。,

23、圖4-4 彎矩的正負號規(guī)定,想一想,剪力和彎矩的正負號與靜力平衡方程中關于力的投影和力矩的正負規(guī)定有何區(qū)別？,4.1.3 計算指定截面上的剪力和彎矩,采用內(nèi)力截面法. 【例4-1】如圖4-5a)所示外伸梁，試計算1-1、2-2和3-3截面上的剪力和彎矩。,圖4-5 外伸梁受力示意圖,解： (1)、求支座反力YA和RB，根據(jù)梁的整體平衡方程： 由 ，RB6-365+3=0，得RB=14.5(KN) 由 ，YA+RB-36=0，得 YA=3.5(KN) (2)、求1-1截面上的內(nèi)力 在1-1截面處將梁切開成左右兩段，取左段為脫離體，受力圖如圖4-5b)所示，將剪力Q1、彎矩M1的方向都按規(guī)定的正方

24、向標出。根據(jù)脫離體的平衡方程得： 由 ，YA-Q1=0，得 Q1=YA=3.5(KN) 由 ,-YA1+M1=0，得M1=YA=3.5(KN) 求得1-1截面的剪力Q1及彎矩M1均為正值，表示所假設的Q1及M1的方向與實際方向相同，在脫離體上，剪力和彎矩的方向一律設為正向，計算結果為正則假設的內(nèi)力與實際方向相同，計算結果為負則假設的內(nèi)力與實際方向相反。,(3)、求2-2截面上的內(nèi)力 在2-2截面處將梁切開成左右兩段，取左段為脫離體，受力圖如圖4-5c)所示，將剪力Q2、彎矩M2的方向都按規(guī)定的正方向標出。根據(jù)脫離體的平衡方程得： 由 ，YA-32- Q2=0，得Q2= YA -6=-2.5(K

25、N) 由 ,-YA4+3+321+M2=0，得M2= YA4-3-321=15(KN) 求得2-2截面的剪力Q2為負值，表示所假設Q2的方向與實際方向相反。 (4)、求3-3截面上的內(nèi)力 在3-3截面處將梁切開成左右兩段，如果取左段為脫離體進行計算，則作用在左段上的載荷較多，計算要麻煩一些，為方便起見，通常取受力較簡單的右段進行計算，受力圖如圖4-5d)所示，將剪力Q3、彎矩M3的方向都按規(guī)定假設成正方向，根據(jù)脫離體的平衡方程得： 由 ，Q3-31=0，得Q3=3(KN) 由 ，得,求得3-3截面的彎矩M3為負值，表示所假設的M3的轉(zhuǎn)向與實際方向相反。,想一想,認真分析上面例題，看一看梁內(nèi)任一

26、橫截面上的剪力和彎矩與梁上外力之間存在著什么關系?,學一學,由上面例題可以看出，結合剪力和彎矩的符號規(guī)定考慮,梁內(nèi)任一橫截面上的剪力和彎矩與梁上外力之間存在著下列關系： 、梁內(nèi)任一橫截面上的剪力Q，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有與截面平行的外力的代數(shù)和。 、梁內(nèi)任一橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對該截面形心力矩的代數(shù)和。,42 梁的剪力圖與彎矩圖 要使梁能正常安全可靠地工作，需對其進行承載能力分析，以確保其具有足夠的強度、剛度和穩(wěn)定性。除了要計算指定截面的剪力和彎矩外，還必須了解剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，從而找到梁內(nèi)剪力和彎矩的最大值以及它們所在的

27、截面位置。,4.2.1 剪力圖與彎矩圖: 用圖線形象、直觀的表示出剪力或彎矩沿梁變化的情況。一般以梁軸線為橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示橫截面上剪力或彎矩的數(shù)值。剪力或彎矩與梁橫截面要一一對應。,圖4-6剪力圖與彎矩圖的坐標選取,4.2.2 剪力圖與彎矩圖的畫法 1.通過列剪力方程和彎矩方程作剪力圖和彎矩圖 梁內(nèi)各截面上的剪力和彎矩一般隨截面的位置而變化。若橫截面的位置用沿梁軸線的坐標x來表示，則各橫截面上的剪力和彎矩則可以表示為坐標x的函數(shù)，即Q=Q（x）,M =M（x）這兩個函數(shù)式表示梁內(nèi)剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，分別稱為剪力方程和彎矩方程。 作圖步驟: 第一步：求支座反力 第二步：列剪力方程 彎矩方程分段:段數(shù)=外力數(shù)-1 任取x截面,將剪力Q和彎矩M表示為x的函數(shù),求出 Q(x),M(x) 第三步：描點作圖,【例4-2】簡支梁受集中力F作用如圖4-7a）所示，試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。,圖4-7 受集中力作用簡支梁的剪力圖和彎矩圖（圖中FA，F(xiàn)B分別改為YA，RB）,解： （1）求支座反力。由梁的整體平衡條件：