1[1].廣義變分原理及其應(yīng)用1..ppt

1、2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,1,1.廣義變分原理及其應(yīng)用,1.1 虛力原理與余能原理 1.2 泛函的變換格式 1.3 含可選參數(shù)的廣義變分原理 1.4 基于Reissner原理的混合元 1.5 放松約束的變分原理及雜交元,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,2,1.1 虛力原理與余能原理,1.1.1 虛位移原理和勢能原理（復(fù)習(xí)）,1） 虛位移原理的虛功方程矩陣表達(dá),We=VFbTudV+ SFsTudS,=Wi=VTdV,體積力虛功,表面力虛功,虛變形功,We=VFbiuidV+ SFsiuidS,=Wi=VijijdV,虛功方程張量表達(dá),2000.3,哈爾濱建筑大

2、學(xué) 王煥定教授制作,3,2） 勢能原理的數(shù)學(xué)表達(dá),Ve=V+VP =1/2VijijdV -VFbiuidV- SFsiuidS = min,總勢能,應(yīng)變能,外力勢能,1.1.2 虛力原理,1）虛力原理的表述,給定位移狀態(tài)協(xié)調(diào)的充分必要條件為：對一切自平衡的虛應(yīng)力，恒有如下虛功方程成立（矩陣）,VTdV=Su(L)T u 0dS,虛反力功,表面給定位移,虛余變形功,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,4,虛功方程張量表達(dá),VijijdV=Suijnjui0dS,2) 必要性證明,ij=1/2(ui ,j+uj ,i)=D-1ijklkl V：ij ,j =0 S ：ijnj=0,已知

3、條件 ：=ATu=D-1 V：=0 S：L=0,需證明的是：VijijdV=Suijnjui0dS,或張量表達(dá)形式已知條件：,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,5,V( Au)TdV= S(L)T u dS-V(A)T u dV,1/2V(ui ,j+uj ,i) ijdV= SijnjuidS-V ij ,juidV,證明：利用格林公式,或張量形式格林公式,考慮到虛應(yīng)力的已知自平衡條件，立即可得,VijijdV=Suijnjui0dS,必要性證畢。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,6,2) 充分性證明,V：ij ,j =0 S ：ijnj=0,已知條件 ：= D-1

4、,需證明的是：應(yīng)變ij是協(xié)調(diào)的。,或張量表達(dá)形式 ij=D-1ijklkl,VijijdV=Suijnjui0dS,VTdV=Su(L)T u 0dS,V：A=0 S：L=0,證明 ：因?yàn)閂：A=0，所以,對任意 V (A)T dV=0,利用格林公式和已知條件可得,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,7,設(shè)體內(nèi)三個虛剪應(yīng)力任意、獨(dú)立，另三個正應(yīng)力滿足A=0。又因?yàn)橥耆我?，因此可設(shè),在此條件下，式(a)由于虛應(yīng)力的任意、獨(dú)立性可得 V: D -1-AT =0 Su： -u 0=0,充分性證畢。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,8,1.1.3 余能原理,和由虛位移原理導(dǎo)出

5、勢能原理一樣，由虛力原理,VTdV=Su(L)T u 0dS,可得,(1/2VT dV-Su(L )T u 0dS)=0,記VC如下所示，并稱為變形體的總余能,VC=1/2VT dV-Su(L )T u 0dS,則由VC=0可得,在一切可能的靜力平衡狀態(tài)中，某應(yīng)力狀態(tài)為真實(shí)應(yīng)力的充要條件是，變形體的總余能取駐值。對線彈性體，此駐值為最小值。,余能原理,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,9,余能原理等價于協(xié)調(diào)，表達(dá)為,VC=1/2VijijdV-SuFsiu0idS = min,利用格林公式，立即可證明 Ve+ VC=0,1.2 泛函的變換格式（龍馭球提出）,簡單來說，勢能原理等價平

6、衡，表達(dá)為,Ve=V+VP =1/2VijijdV -VFbiuidV- SFsiuidS = min,1.2.1 一些預(yù)備知識,1) 變量的分類,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,10,除泛函變量外，泛函中的其他變量稱為泛函的增廣變量。,在余能泛函 VC=1/2VijijdV-SuFsiu0idS 中ij 是泛函變量，其他是增廣變量。,泛函中所顯含的自變函數(shù)稱為泛函的泛函變量。,在勢能泛函 Ve=V+VP =1/2VijijdV -VFbiuidV- SFsiuidS 中ui 是泛函變量，其他是增廣變量。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,11,泛函中泛函變量事先所需

7、滿足的條件，稱為泛函的強(qiáng)制條件。,在余能泛函中ij 所需滿足的平衡條件（內(nèi)部和邊界）即為強(qiáng)制條件。 VC=1/2VijijdV-SuFsiu0idS,2) 泛函所滿足的條件,在勢能泛函中ui 所滿足的協(xié)調(diào)條件即為強(qiáng)制條件。 Ve=V+VP =1/2VijijdV -VFbiuidV- SFsiuidS,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,12,在余能泛函中ij 所對應(yīng)的應(yīng)變應(yīng)滿足的協(xié)調(diào)條件為自然條件。,由返函的變分等于零所導(dǎo)出的條件，稱為泛函的自然條件。,在勢能泛函中ui 所滿足的平衡條件即為自然條件。,在泛函中，泛函變量與增廣變量間，或增廣變量之間所應(yīng)滿足的條件稱為增廣條件。,在勢

8、能泛函中幾何方程和物理方程即為增廣條件。,3) 泛函間關(guān)系的分類,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,13,如果廣義等價的兩泛函，其變量和條件均對應(yīng)相同，稱此兩泛函為等價的。,兩泛函所包含的全部變量、全部條件均相同，但是變量的區(qū)分不同，或變量的條件不同等，稱此兩泛函為廣義等價。,如果兩泛函等價，且只相差一比例系數(shù)，則稱這兩泛函互等。,1.2.2 泛函的三種變換格式,1) 泛函的放松格式拉氏乘子法（傳統(tǒng)）,基本思路是，將強(qiáng)制條件用拉氏乘子引入泛函，從泛函變分判斷拉氏乘子含義，并得到放松了強(qiáng)制條件的多自變量泛函的變換格式。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,14,2) 增廣格

9、式高階拉氏乘子法（錢偉長）,教材上介紹了從余能原理得到海林格-賴斯納二變量廣義余能原理的基本步驟，請大家按思路自行推證。只有自己動手，才能真真掌握。,基本思路是，對無條件泛函，將增廣條件構(gòu)造一正定二次型，再乘一待定乘子，從而得到新的增廣變量變?yōu)榉汉兞康臒o條件泛函。,請大家自行證明教材給出的，錢偉長教授建立的泛函是三變量的無條件泛函。,3) 等價格式龍馭球格式,基本思路是，用自然條件構(gòu)造正定二次型，按增廣格式建立與原泛函等價的新泛函。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,15,請大家自行證明教材給出的，錢偉長教授建立的另一泛函也是三變量的無條件泛函。并證明當(dāng)參數(shù)等于1時，將“退化”成

10、兩變量的海林格-賴斯納泛函（差一符號）。,學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在真真掌握原理、方法等的基本思路，從而以便能靈活運(yùn)用它。上述各種格式的思路就是如此簡單，但不親自做一做，經(jīng)驗(yàn)證明真真掌握它是不可能的。,4) 換元乘子法（龍馭球）,將增廣變量通過增廣條件引入泛函，從而增廣條件成為強(qiáng)制條件，再用拉氏乘子法放松強(qiáng)制條件，將增廣變量引入無條件泛函的方法。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,16,1.3 含可選參數(shù)的廣義變分原理,1.3.1 含可選參數(shù)的廣義變分原理,1） 變分泛函的建立,從三變量無條件胡海昌-鷲津久一郎廣義泛函出發(fā)，用等價格式龍馭球建立了教材上前12個正定二次型，我補(bǔ)充了后兩個二次型，乘

11、14個參數(shù)構(gòu)成和胡-鷲廣義泛函等價的新泛函。龍馭球認(rèn)為參數(shù)是可以任意選取的，因此稱為含任意參數(shù)的廣義變分原理。,我提出并得到龍先生認(rèn)同，參數(shù)不能完全任意選取，必須滿足教材圖示的通路關(guān)系。,2) 參數(shù)選取問題,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,17,從而建立了含可選參數(shù)的廣義變分原理。,最基本的是結(jié)構(gòu)力學(xué)中介紹的虛功原理，它是一個必要性命題，要求力狀態(tài)平衡，要求位移狀態(tài)協(xié)調(diào)，滿足此條件恒有虛功方程成立。,虛功原理中力狀態(tài)是給定的一個，虛位移是任意的，條件的改變導(dǎo)致結(jié)論的改變，由此得到虛位移原理。在無限分割情況下，等價于平衡條件。它是一個充分必要性命題。,1.3.2 變分原理間的相互關(guān)

12、系,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,18,虛力原理也是虛功原理?xiàng)l件改變的結(jié)果，位移給定虛應(yīng)力任意，無限分割時等價于協(xié)調(diào)條件。它也是充要條件。,由虛位移原理可導(dǎo)得勢能原理，由虛力原理可導(dǎo)得余能原理（當(dāng)然它們也可由定義來推導(dǎo)）。它們是一對對偶的原理。,從勢能原理出發(fā)，用放松格式可得到無條件的勢能原理，用換元乘子法可得到二變量廣義余能原理、三變量的廣義勢能原理。,從余能原理出發(fā)，用放松格式可得無條件的廣義余能原理，用換元乘子法可得到三變量的廣義勢能原理。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,19,從二變量的廣義余能原理和三變量的廣義勢能原理出發(fā)，用格林公式可分別得到二變量的廣

13、義勢能原理和三變量廣義余能原理。,從二變量的廣義余能原理或二變量的廣義勢能原理出發(fā)，用等價格式可得到二變量含可選參數(shù)的廣義變分原理，當(dāng)滿足特定退化條件時，將退化為無條件的勢能原理。參數(shù)為零時恢復(fù)成二變量廣義變分原理。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,20,從三量的廣義余能原理或三變量的廣義勢能原理出發(fā)，用等價格式可得到三變量含可選參數(shù)的廣義變分原理，當(dāng)滿足特定退化條件時，將退化為二變量的含可選參數(shù)廣義變分原理。參數(shù)為零時恢復(fù)成三變量廣義變分原理。,上述原理間的關(guān)系，可用教材上P. 196 圖6-2來表示。,如果真的掌握了有限元所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，象從勢能原理出發(fā)通過構(gòu)造位移場那樣，合適

14、地建立變分原理對應(yīng)的場變量，即可用變分原理得到對應(yīng)的有限元列式。下面簡單介紹基于賴斯納原理的混合元分析。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,21,1.4 基于Reissner原理的混合元,1.4.1 原理的使用選擇,前面介紹了從余能原理獲得了二變量廣義余能原理如下：,用于單元時，考慮結(jié)點(diǎn)力作用后改為,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,22,由此原理出發(fā)，如有限元所述，進(jìn)行有限元分析時要求構(gòu)造的應(yīng)力場跨單元協(xié)調(diào)、在單元應(yīng)力邊界上要求平衡，構(gòu)造這樣的變量場是困難的。為此，用格林公式作變換，得到二變量廣義勢能泛函如下：,用于單元時，考慮結(jié)點(diǎn)力作用可同樣修改。當(dāng)用此泛函作有限元

15、分析時，要求位移場跨單元(C0級)協(xié)調(diào)，由有限元可知，這是不難做到的。因此，一般用它分析。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,23,1.4.2 單元列式及說明,用上述原理作單元列式時，要建立兩類變量場：位移場(u)和應(yīng)力場()，位移場只要滿足跨單元協(xié)調(diào)，并不要像位移元組裝后需作約束條件處理，使?jié)M足位移邊界條件。,設(shè) (u)=(N)()e ()=()(P)e 代入賴斯納原理并經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)后，可得教材 上(6.4-7)所示混合元性質(zhì)方程。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,24,式(6.4-7)中的一些矩陣分別為,有了(6.4-7)混合元性質(zhì)方程，作整體組裝即可獲得整體性質(zhì)方

16、程。但必須注意，整體性質(zhì)矩陣是奇異的，求解時必須作必要的處理。,只和()有關(guān),和()、(u)有關(guān),只和 (u)有關(guān),只和()有關(guān),混合元分析可直接求得應(yīng)力，因此一般來說應(yīng)力的精度比位移元要高。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,25,混合元依據(jù)的是駐值原理，因此結(jié)果沒有一致的趨向性。,賴斯納原理包含兩類場變量，這就存在必須解決它們之間合理地配合的問題。,當(dāng)應(yīng)力參數(shù)矩陣(P)相鄰單元無關(guān)時，可對單元性質(zhì)方程進(jìn)行縮聚處理，最終可得到單元“剛度方程”，只要修改“剛度矩陣”和“等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣”，就可用位移元的計(jì)算程序來解算。,對平面和空間問題來說，位移元建立位移場并無多大困難，混合元對板

17、殼計(jì)算更有用。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,26,1.4.3 薄板彎曲的混合元,薄板彎曲理論中的廣義勢能泛函為,式中有關(guān)符號的說明見教材P.200。從的表達(dá)式可見，用它進(jìn)行混合元分析需要 w 具有C1級連續(xù)。這將與位移元一樣產(chǎn)生困難。,為此，需對上述泛函進(jìn)行改造。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,27,Herrmann提出用分部積分和奧-高公式對上述泛函進(jìn)行改造，獲得如下的Herrmann泛函（教材上有這種純數(shù)學(xué)的具體推導(dǎo)）,有了廣義變分泛函，和平面問題一樣，設(shè)出撓度場 w 和彎矩場 M 后，代入泛函即可建立薄板彎曲的混合元性質(zhì)方程。,教材上結(jié)合常彎矩三角形、線

18、性彎矩三角形混合元介紹了一些具體列式，可供大家應(yīng)用時參考。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,28,1.5 放松約束的變分原理及雜交元,1.5.1 修正余能原理,前面已得到余能原理，作有限元分析時,VC=1/2VijijdV-SuFsiu0idSe= min,該泛函的強(qiáng)制條件為,Ve: ij ,j+Fbi=0,Se上: FSi-ijnj =0,SBL上: (ijnj)+-(ijnj) -=0,相鄰界面,前面已經(jīng)提到，要事先滿足上述條件是困難的。為此，可利用放松格式來得到放松了邊界處約束條件的修正余能原理（具體推導(dǎo)見教材）。,2000.3,哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作,29,V*C=1/2VijijdV+SFsiuidS -SijnjuidSe= min,該泛函的強(qiáng)制條件改為了,Ve: ij ,j+Fbi=0,Sue上: ui-ui0=