簡單的線性規(guī)劃問題

1、簡單的線性規(guī)劃問題例1：求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：例2：若變量x，y滿足約束條件，求目標(biāo)函數(shù)zx2y的最大值 解析先作出可行域如圖 作直線x2y0在可行域內(nèi)平移，當(dāng)x2yz0在y軸上的截距最小時z值最大當(dāng)移至A(1，1)時，zmax12(1)3，1.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(3t2，t)在直線x2y40的下方，則t的取值范圍是(C) A(，2)B(2，) C(2，) D(0,2) 解析點O(0,0)使x2y40成立，且點O在直線下方，故點(3t2，t)在直線x2y40的下方3t22t40，t2.點評可用B值判斷法來求解，若

2、B0，令dB(Ax0By0C)，則d0點P(x0，y0)在直線AxByC0的上方；d1 Ba1 Ca1 Da1，故a1，故選D.6已知約束條件若目標(biāo)函數(shù)zxay(a0)恰好在點(2,2)處取得最大值，則a的取值范圍為(C) A0a D0a3，a.7.若2x4y4，則點(x，y)必在(D)A直線xy20的左下方B直線xy20的右上方C直線x2y20的右上方D直線x2y20的左下方 解析2x4y2，由條件2x4y4知，24，x2y2，即x2y20，b0)的最大值為12，則的最小值為(A) A. B. C.D4解析由可行域可得，當(dāng)x4，y6時，目標(biāo)函數(shù)zaxby取得最大值，4a6b12，即1，()(

3、)2，故選A.12設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)yax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是(D)A(0,1) B(1,2) C2,4 D2，) 解析作出可行區(qū)域，如圖，由題可知點(2，a2)應(yīng)在點(2,4)的上方或與其重合，故a24，a2或a2，又a0且a1，a2.13在坐標(biāo)平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(B) A. B. C. D2 解析不等式組的圖形如圖解得：A(0,1)D(0，1)B(1，2)C(，)SABC|AD|xCxB|2(1)，故選B.14已知動點P(x，y)在正六邊形的陰影部分(含邊界)內(nèi)運動，如圖，正六邊形邊長為2，若使目標(biāo)函數(shù)zkxy(k0)取得最

4、大值的最優(yōu)解有無窮多個，則k值為(A) A. B. C. D4解析由題可知，當(dāng)x0時，zkxyy，因此要使目標(biāo)函數(shù)zkxy(k0)取得最大值，則相應(yīng)直線經(jīng)過題中的平面區(qū)域內(nèi)的點時，相應(yīng)直線在y軸上的截距最大由目標(biāo)函數(shù)zkxy(k0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，結(jié)合圖形分析可知，直線kxy0的傾斜角為120，于是有ktan120，k，選A.15在直角坐標(biāo)系xOy中，已知AOB的三邊所在直線的方程分別為x0，y0,2x3y30，則AOB內(nèi)部和邊上整點(即坐標(biāo)均為整數(shù)的點)的總數(shù)為(B)A95B91C88D75 解析由2x3y30知，y0時，0x15，有16個；y1時，0x13；y2時，0x12；

5、y3時，0x10；y4時，0x9；y5時，0x7；y6時，0x6；y7時，0x4；y8時，0x3；y9時，0x1，y10時，x0.共有161413111087542191個16已知不等式組表示的平面區(qū)域S的面積為4，點P(x，y)S，則z2xy的最大值為_6_ 解析由題意知a2，易得z2xy的最大值為6.17.若由不等式組(n0)確定的平面區(qū)域的邊界為三角形，且它的外接圓的圓心在x軸上，則實數(shù)m_. 解析根據(jù)題意，三角形的外接圓圓心在x軸上，OA為外接圓的直徑，直線xmyn與xy0垂直，1，即m.18設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z4xy的最大值為_11_ 解析如圖，滿足條件的可行域為三角

6、形區(qū)域(圖中陰影部分)，故z4xy在P(2,3)處取得最大值，最大值為11.19鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為_15_(百萬元) 解析設(shè)需購買A礦石x萬噸，B礦石y萬噸，則根據(jù)題意得到約束條件為：目標(biāo)函數(shù)為z3x6y，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(1,2)點時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為：zmin316215.20某單位投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)1百噸需要資金2百萬元，需場地2百平方米，可獲利潤3百萬元；

7、投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)1百米需要資金3百萬元，需場地1百平方米，可獲利潤2百萬元現(xiàn)該單位有可使用資金14百萬元，場地9百平方米，如果利用這些資金和場地用來生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，那么分別生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解析設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y百米，共獲得利潤S百萬元，則目標(biāo)函數(shù)為S3x2y.作出可行域如圖，由解得直線2xy9和2x3y14的交點為A，平移直線yx，當(dāng)它經(jīng)過點A時，直線yx在y軸上截距最大，S也最大此時，S3214.75.因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品3.25百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品2.5百米，可獲得最大利潤，最大利潤為1475萬元21.北京某商廈計劃同時出售新款

8、空調(diào)和洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量大，供不應(yīng)求，因此該商廈要根據(jù)實際情況（如成本、工資）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達到最大，通過調(diào)查，得到這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）洗衣機空調(diào)成本2030300工資105110單位利潤86試問：怎樣確定兩種產(chǎn)品的月供應(yīng)量，才能使總利潤達到最大，最大利潤劉多少？正解：設(shè)空調(diào)、洗衣機的月供應(yīng)量分別為x、y，總利潤是p，那么滿足條件： 10某公司準(zhǔn)備進行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資每份由金融投資20萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成；進取型組合投資每份由金融投資40萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成已知每份穩(wěn)健型組合投

9、資每年可獲利10萬元，每份進取型組合投資每年可獲利15萬元若可作投資用的資金中，金融投資不超過160萬元，房地產(chǎn)投資不超過180萬元，那么這兩種組合投資各應(yīng)注入多少份，才能使一年獲利總額最多？解析設(shè)穩(wěn)健型投資x份，進取型投資y份，利潤總額為z(單位：10萬元，則目標(biāo)函數(shù)為zx1.5y(單位：10萬元)，線性約束條件為：即作出可行域如圖，解方程組得交點M(4,2)，作直線l0：x1.5y0，平移l0，當(dāng)平移后的直線過點M時，z取最大值：zmax(43)10萬元70萬元答：穩(wěn)健型投資4份，進取型投資2份，才能使一年獲利總額最多.(理)(2012遼寧文，9)設(shè)變量x，y滿足則2x3y的最大值為()A

10、20 B35 C45 D55答案D解析本題考查線性規(guī)劃的知識作出可行域如圖所示：令z2x3y，則yxz.要使z取得最大值，需直線yxz在y軸上的截距最大，移動l0：yx當(dāng)l0過點C(5,15)時，z取最大值zmax55.解線性規(guī)劃問題，準(zhǔn)確作出可行域是關(guān)鍵，同時還要注意目標(biāo)函數(shù)z2x3y與z2x3y最優(yōu)解是不同的13(文)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3t，B原料2t；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1t，B原料3t，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13t，B原料不超過18t.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是()A12萬

11、元 B20萬元C25萬元 D27萬元答案D解析設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt，yt，由題意得獲利潤5x3y，畫出可行域如圖，由解得A(3,4)3，當(dāng)直線5x3y經(jīng)過A點時，max27.(理)(2011四川文，10)某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10t的甲型卡車和7輛載重量為6t的乙型卡車，某天需送往A地至少72t的貨物，派用的每輛車需載滿且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人；運送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當(dāng)天派用甲乙卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z()A4650元 B4700元C4900元 D5000

12、元答案C解析設(shè)該公司派甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，由題意得利潤z450x350y，可行域如圖所示解得A(7,5)當(dāng)直線350y450xz過A(7,5)時z取最大值，zmax450735054900(元)故選C.(理)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲產(chǎn)品為一等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率多0.25，甲產(chǎn)品為二等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率少0.05.(1)分別求甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要用的工人數(shù)和資金數(shù)如表所示，且該廠有工人32名，可用資金55萬元設(shè)x，y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(1)的條件下，求x，y為

13、何值時，zxP甲yP乙最大，最大值是多少？解析(1)依題意得，解得故甲產(chǎn)品為一等品的概率P甲0.65，乙產(chǎn)品為一等品的概率P乙0.4.(2)依題意得x、y應(yīng)滿足的約束條件為且z0.65x0.4y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分)，即可行域作直線l：0.65x0.4y0即13x8y0，把直線l向上方平移到l1的位置時，直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點M，且l1與原點的距離最大，此時z取最大值解方程組得x2，y3.故M的坐標(biāo)為(2,3)，所以z的最大值為zmax0.6520.432.5.16某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5min，生產(chǎn)一個騎兵需7

14、min，生產(chǎn)一個傘兵需4min，已知總生產(chǎn)時間不超過10h.若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤W(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解析(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100xy，所以利潤W5x6y3(100xy)2x3y300.(2)約束條件為：整理得目標(biāo)函數(shù)為W2x3y300，如圖所示，作出可行域初始直線l0：2x3y0，平移初始直線經(jīng)過點A時，W有最大值，由得最優(yōu)解為A(50,50)，所以Wmax550(元)答：每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最

15、大，為550元2已知a，bR，ab1，M2a2b，則M的整數(shù)部分是()A1 B2 C3 D4答案B解析a，bR，ab1，0a1，設(shè)t2a，則t(1,2)，M2a2b2a21at2，等號在t時成立，又t1或2時，M3，2M0，a1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是()A1,3 B2，C2,9 D，9答案C解析作出不等式表示的平面區(qū)域如圖，由得A(1,9)，由得B(3,8)，當(dāng)函數(shù)yax過點A時，a9，過點B時，a2，要使yax的圖象經(jīng)過區(qū)域M，應(yīng)有2a9.5(2012河南洛陽市模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件其中a1，若目標(biāo)函數(shù)zxy的最大值為4，則a的值為_答案2解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖

16、中陰影部分所示yxz，欲使z最大，只需使直線yxz的縱截距最大，a1，直線xay7的斜率大于1，故當(dāng)直線yxz經(jīng)過直線y3x與直線xay7的交點(，)時，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，最大值為.由題意得4，解得a2.6(2012太原部分重點中學(xué)聯(lián)考)設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組且x2y2的最小值為m，當(dāng)9m25時，實數(shù)k的取值范圍是()A(2,5) B2,5C(2,5 D(0,5答案B解析不等式組表示的可行域如圖中的陰影部分，x2y2的最小值m即為|OA|2，聯(lián)立，得A(，)由題知9()2()225，解得2k5.作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分作出直線2xy0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(3,0)時，相應(yīng)的直線在x軸上的截距最大，此時z2xy取得最大值，最大值是6，故選C.8某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計180m2，擬分隔成兩類房間作為旅游客房大房間每間面積18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？解析設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x，y滿足且z200x150y.約束條件可化簡為：可行域為如圖所示