初中數(shù)學輔助線添加秘籍5、圖形變換 旋轉

1、初中數(shù)學輔助線添加秘籍5、圖形變換旋轉一：如何構造旋轉圖形1、 遇中點，旋180，構造中心對稱圖形，即倍長中線。2、 遇90，旋90，構造垂直等腰直角三角形、正方形。3、 遇60，旋60，構造等邊。口訣：邊相等，就旋轉。二：倒角（旋轉后，常見圖形）1、如圖，邊長為的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30到正方形ABCD，圖中陰影部分的面積為連接AE，根據(jù)BAB=30可知DAB=60，由正方形的性質可知，AB=AD，由圖形旋轉的性質可知AD=AB，故可得出RtADERtABE，由直角三角形的性質可得出DE的長，再由S陰影=S正方形ABCD-S四邊形ADEB即可得出結論解答：解：連接AE，BAB=30

2、，DAB=60，四邊形ABCD是正方形，AB=AD，D=B=90，正方形ABCD是正方形ABCD旋轉而成，AD=AB，B=90，在RtADE與RtABE中，AD=AB，AE=AE，RtADERtABE，DAE=30，DE=ADtanDAE=1，S四邊形ADEB=2SADE=2ADDE=，S陰影=S正方形ABCD-S四邊形ADEB=3-2、如圖，P是正ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10.若將PAC繞點A逆時針旋轉后，得到PAB，則點P與點P之間的距離為，APB=.答案此題答案為：6；150.解：連接PP.PAB是PAC繞點A旋轉得到的，PABPAC.PABPAC，PA=6，PB=8

3、，PC=10，PA=PA=6，PB=PC=10，PAC=PAB.ABC為正三角形，BAC=60，PAC+BAP=60.PAC=PAB，PAB+BAP=PAP=60.PAP=60，PA=PA，PAP是等邊三角形，PP=PA=6，PPA=60.在PBP中PP=6，PB=8，PB=10，PBP是直角三角形，BPP=90，APB=PPA+BPP=60+90=150.3、如圖，P是等邊ABC內一點，APB、BPC、CPA的大小之比為5:6:7，則以PA、PB、PC為邊的三角形三內角大小之比（從小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上結果都不對答案此題答案為：A.解：如圖，將AP

4、B繞A點逆時針旋轉60得APC，顯然有APCAPB，連PP，AP=AP，PAP=60，APP是等邊三角形，PP=AP，PC=PB，PCP的三邊長分別為PA，PB，PC，APB+BPC+CPA=360，APB：BPC：CPA=5：6：7，APB=100，BPC=120，CPA=140，PPC=APC-APP=APB-APP=100-60=40，PPC=APC-APP=140-60=80，PCP=180-（40+80）=60，PPC：PCP：PPC=2：3：4故選A4、如圖，為線段上一動點（不與點、重合），在同側分別作正和正，與交于點，與交于點，與交于點，連接。以下五個結論：；。恒成立的結論有_。

5、（把你認為正確的序號都填上） 答案本題主要考查全等三角形的應用和等邊三角形。項，在正和正中，所以，所以。在和中，所以。所以。故項正確。項，由知，所以。在和中，所以。所以，所以為等邊三角形，所以。故項正確。項，由知，所以。由知，所以。所以。故項正確。項，由題意知，所以。故項錯誤。項，又因為，所以。故項正確。5、已知如圖，RtABC中BAC=90，AB=AC，D為BC邊上任意一點.(1)求證：2AD2=BD2+CD2；(2)若D 為BC延長線上任意一點，(1)中結論是否成立？若成立，請驗證；若不成立，請說明理由.答案 方法一：旋轉ADC使AC與AB重合方法二解：(1)作過點D分別垂直AB、AC于點

6、F、E，由題意中RtABC中BAC=90，AB=AC，所以此三角形為等腰三角形，那么B=C=45而作過點D分別垂直AB、AC于點F、E，所以RtBFD與RtCDE均為等腰直角三角形在RtBDF中有BF=DF，由勾股定理得：BF2+DF2=BD2即BD2=2DF2在RtDEC中有DE=CE，由勾股定理得：CE2+ED2=CD2即CD2=2DE2在RtAFD中，由勾股定理得：AD2=DF2+AF2而四邊形AFDE為矩形，所以有DF=AE，AF=DE由以上等式通過等量代換得：2AD2=2DF2+DE2=BD2+CD2 即2AD2=BD2+CD2； (2)同樣作過點D垂直BA延長線于點H，過點C作垂直

7、DH于點G，同(1)得RtBHC與RtCGD為等腰三角形，在RtBHC中有BH=CH，由勾股定理得：BD2=BH2+DH2=2DH2在RtCGD中有CG=DG，由勾股定理得：DC2=DG2+CG2=2CG2在RtAHD中，由勾股定理得：AD2=AH2+DH2而由題意知：四邊形AHGC為矩形，所以有AH=CG由以上等式，由等量代換得：2AD2=2AH2+DH2=2AH2+2DH2=BD2+CD2所以(1)中結論仍成立.6、已知如圖,中,E、F為BC上的點且,求證:.答案證明:把繞點A順時針旋轉,得到.連接EG.則.,.,.,在和中,.,又,即.7、如圖,和都是等腰直角三角形,D為AB邊上一點.求

8、證:.答案證明:和都是等腰直角三角形,即,在和中,.8、如圖，以RtBCA的斜邊BC為一邊在BCA的同側作正方形BCEF，設正方形的中心為O，連結AO，如果,，那么AC的長為（） 答案在上取一點G,使CG=AB=4,連接OGOGC全等于OAB是等腰直角三角形,(勾股定理).GOC+GOH=90 GOH+BOA=90AOG=90 三角形AOG是等腰三角形，AG=12 AC=169、已知：正方形中，繞點順時針旋轉，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于點、。當繞點旋轉到時（如圖），易證。 （1）當繞點旋轉到時（如圖），線段、和之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并加以證明。（2）當繞點旋轉到如圖的位置時

9、，線段、和之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想。答案（1）。如圖，將繞點順時針旋轉，使得與重合，則、共線，。因為，所以。在與中，所以，所以，即。（2）。解析本題主要考查圖形的旋轉變換、邊角邊定理以及正方形的性質。（1）根據(jù)旋轉圖形性質，利用邊角邊定理證得，根據(jù)等量代換證得，進而證得。（2）如圖所示，在上截取，在與中，所以，所以，。又因為，所以。在和中，所以，所以，所以。10、已知：在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題：(1)如圖1,當點D與點C位于直線AB的兩側時,a=b=3,且ACB=60，則CD=_；(2)如圖2,當點D與點C位于直線AB的同側時,a=b=6,且ACB=90，則CD=_；(3)如圖3，當ACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側時，求CD的最大值及相應的ACB的度數(shù)。答案 （3）(1)a=b=3，且ACB=60，ABC是等邊三角形，OC=332，CD=33；(1分) (2)3632；(2分) (3)以點D為中心，將DBC逆時針旋轉60，則點B落在點A，點C落在點E. 連接AE，CE，CD=ED，CDE=60，AE=CB=a，CDE為等邊三角形