圓錐曲線巧算方法

1、減少解析幾何運算量的若干方法在解決有些解析幾何問題時，如果方法選擇不當(dāng)，往往導(dǎo)致計算量過大，如果不具備較高的解幾運算能力，就不易得到正確的運算結(jié)果。那么如何正確地選擇方法，減少解析幾何題的計算量呢？下面介紹幾種減少計算量的常用方法。一、 回歸定義，以簡馭繁 圓錐曲線的許多性質(zhì)是由定義派生出來的。解題時，應(yīng)善于運用圓錐曲線的定義，以數(shù)形結(jié)合的思想為指導(dǎo)，把定量的分析有機結(jié)合起來，則可使解題計算量大為簡化，使解題構(gòu)筑在較高的水平上。例1、在面積為1的PMN中，=,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程(93年高考題)分析：在該題的題設(shè)條件中，其實是給出了PMN的兩內(nèi)角的大小及它的面積

2、。因此我們應(yīng)考慮如何應(yīng)用平幾知識和橢圓定義將問題解決。解：建立如圖1所示的坐標(biāo)系，設(shè)所求的橢圓方程為，則由橢圓定義有，過點向軸作垂線，垂足為，。由平面幾何知識有: ,，。所求的橢圓方程為說明：在上述解題過程中，是所求橢圓的長軸長，它是減輕本題運算量的關(guān)鍵。例2、長度為a的線段AB的兩端點在拋物線=2py(a2p0)上運動，以AB的中點C為圓心作圓和拋物線的準(zhǔn)線相切，求圓的最小半徑（85年湖北省六市高考預(yù)選題）。圖2分析:這里其實就是要求定長弦AB的中點C到準(zhǔn)線的最小距離。由于AB中點到準(zhǔn)線的距離等于AB兩端點到準(zhǔn)線的距離的算術(shù)平均值，所以問題就進一步轉(zhuǎn)化為求A、B兩點到準(zhǔn)線距離之和的最小值。由

3、拋物線的定義知：A、B兩點到準(zhǔn)線的距離分別等于它們到焦點的距離，所以當(dāng)線段A、B過焦點時，A、B兩點到焦點的距離之和取得最小值，這時A、B兩點到準(zhǔn)線的距離之和也取得最小值，所以點C到準(zhǔn)線的距離取得最小值。解：如圖2，過弦AB的兩端分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為G、H,又設(shè)圓C與拋物線的準(zhǔn)線切于D,設(shè)拋物線的焦點F,連CD、AF、BF。由拋物線的定義，且a。上式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點F時成立。所以圓C的最小半徑是a.說明：因為過拋物線焦點的弦中，弦長最小的是通徑（即過焦點且與對稱軸垂直的弦），由于通徑長為，所以拋物線的定長弦的長度大于等于時，本例的上述解法才成立，如果時，弦AB就不可能經(jīng)過拋物線的

4、焦點，這時應(yīng)該是當(dāng)AB與軸垂直時，AB中點C到準(zhǔn)線的距離最小。設(shè)AB所在直線方程為，將它代入拋物線方程，得：，故點C到準(zhǔn)線的距離為。所以這時圓C的最小半徑為例3、設(shè)是曲線上三點，求證：的垂心也在該曲線上。分析：證垂心在曲線上，故只需求之值，而無需求、。解：、。則從而知同理，故有，并消去得：二、 設(shè)而不求，整體運算 在某些解析幾何問題中，靈活把握曲線方程的特點，采用設(shè)而不求、整體代入、整體運算等方法，?？梢院喕\算過程，提高解題速度，并從中感到整體思維的和諧美。例4、橢圓上有兩點P、Q，是原點，若OP、OQ斜率之積為。（1）求證：|OP|2+|OQ|2為定值。（2）求PQ的中點M的軌跡方程。解：

5、（1）設(shè)P、Q的兩點坐標(biāo)分別為、Q,P、Q分別在橢圓上，且，得（3）代入（4）得，（1）+（2）得。（2）設(shè)P、Q的中點M的坐標(biāo)為M，則有，（1）+（2）+（3）得，。即：，中點M的軌跡方程為三、 充分運用圖形幾何性質(zhì)，簡化（或避免）計算 解析幾何中，曲線或圖形都具有某些特殊的幾何性質(zhì)，若能發(fā)掘并充分運用這些幾何性質(zhì)，往往能簡化運算或避免運算。例5、已知圓，動圓與軸相切，又與圓外切，過作動圓的切線，求切點的軌跡。圖3解：設(shè)動圓與軸切于點，動圓與定圓切于點，切點在，故=，從而=，、共線。由切割線定理，（9）。又在中，故（10）。由（9）、（10），知。故的軌跡為圓（）說明：該題解題過程簡捷，運算

6、量小，主要得益于利用平幾知識推導(dǎo)出 例6、已知是圓內(nèi)的一定點，以為直角頂點作直角，、在圓上。求的中點M的軌跡方程。圖4 解：如圖所示，設(shè)，連結(jié)在中，是的中點，。在中，。 點的軌跡方程為。說明：這里利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，因此有。從而不必進行復(fù)雜的運算就可將問題解決。在初中平面幾何中詳細介紹過直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系以及圓的一些性質(zhì)，所以在解有關(guān)直線與圓、圓與圓的有關(guān)問題時更要注意充分利用圖形的幾何性質(zhì)，這樣必將大大減少運算量。四、 用“降維法”減少計算量變量的個數(shù)也稱“維數(shù)”。確定直角坐標(biāo)平面上的點只需兩個量，因而直角坐標(biāo)平面稱為二維空間；但確定直線上的點只需一

7、個量，直線稱為一維空間。某些解析幾何問題能通過投影等方法化為只與橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）有關(guān)的問題，這種把高維空間問題轉(zhuǎn)化為低維空間的方法稱為降維法。 例7、已知；直線和曲線交于、兩點，是這條直線上的點，且。求當(dāng)變化時，點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（85年上?？碱}）解：設(shè)、在軸上的射影分別是、，這里是直線的傾斜角，。，即，（此式只與有關(guān)）也就是（1）將代入得：（2），。將它們代入（1），得（3）再將代入（3）以消去，即得軌跡方程。由于方程（2）當(dāng)且僅當(dāng)0時有實根（即直線與二次曲線有交點），因此。所以所求的軌跡是夾在兩條平行直線和之間的橢圓的一部分，以及點。例8：如圖，給出定點和直線，B是直線上

8、的動點，的角平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。解：設(shè)點C的坐標(biāo)為，則AC的方程為：，于是B。由角平分線性質(zhì)知：。設(shè)C在軸上的射影為，于是AC與CB之比等于它們在軸上的射影之比，即。又由于OB有。點C的軌跡方程為：。（）當(dāng)時，點C的軌跡為橢圓；（）當(dāng)時，點C的軌跡為拋物線（）當(dāng)時，點C的軌跡為雙曲線。說明：將AC與CB之比轉(zhuǎn)化為它們在軸上的射影之比，從而轉(zhuǎn)化為A、C、B三點橫坐標(biāo)有關(guān)的比值，是該例解題過程中能夠減少運算量的關(guān)鍵。五、 利用韋達定理化繁為簡 某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方

9、程，使相關(guān)的點的同名坐標(biāo)為方程的根，由韋達定理求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系。后者往往計算量小，解題過程簡捷。例9、一直線截雙曲線和它的漸近線，證明夾在漸近線與雙曲線間的線段相等。（數(shù)學(xué)通報80年第6期）分析：如圖，要證夾在漸近線間的線段相等，即證，只要證，即證：，于是只要證：AD的中點與BC的中點重合即可圖5證明：如圖設(shè)雙曲線方程為（），則它的漸近線方程為設(shè)直線與雙曲線的兩支和它的兩條漸近線交于（從左到右）、。由，消去得：。設(shè)其兩根為、，依韋達定理，有：。由，消去得：。設(shè)其兩根為、，依韋達定理，有：。因此，即。由于， 。當(dāng)直線垂直于軸時結(jié)論顯然成立。說明：A、D兩點是直線與雙曲線的兩

10、交點，所以將直線方程與雙曲線聯(lián)立，不解方程可以求出AD中點的坐標(biāo)；而B、C兩點是直線與雙曲線兩漸近線的兩交點，方程是兩漸近線的合成，因此只要將直線方程與兩漸近線的合成方程聯(lián)立，不解方程可以求出B、C中點的坐標(biāo)，而不必分別求直線與兩條漸近線的交點。例10、已知圓，及直線交于、，圓的動弦的中點在上，是否存在拋物線，恒與直線相切。圖6解：連。令,則,。故。（1）視（1）為的一元二次方程，點在直線上0（2）。由（2）知直線上的點在拋物線的外部區(qū)域（不含焦點的區(qū)域）或在拋物線上。將的方程代入中得，。故存在拋物線恒與相切。六、 換元引參，功于滲透 換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別是解析幾何中的最值問題、

11、不等式問題等換元引參，往往起到化難為易、事半功倍之效。在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變量的取值范圍或變原題條件。 例11、已知橢圓，、是橢圓上的兩點，線段的垂直一平分線與軸交于點，證明（92高考題） 分析：要證的是不等差數(shù)列式，由此聯(lián)想到正余弦函數(shù)的有界性，聯(lián)想到三角換元。 證明：、兩點在橢圓上，設(shè)、，則中點,又,故，的垂直平分線的方程為。點在直線上，其坐標(biāo)滿足上面的方程，又，且。，又因，從而七、 選用方程適當(dāng)形式，減少運算量 例12、離心率為的圓錐曲線中，過焦點F的對稱軸與相應(yīng)準(zhǔn)線交于，過F的弦交曲線于M、N兩點，過A而平行于MN的直線交曲線于B、C兩點。求證：（摘自

12、數(shù)學(xué)通報） 解：設(shè)圓錐曲線的方程為：（1）MN的方程為：（為參數(shù)）（2）將（2）代入（1），有：，設(shè)AC的方程為（為參數(shù)）（3）將（3）代入（1）有：，。圖7 例13、過橢圓（）的中心O作互成角的三條半徑、，求證：為定值。 解：橢圓的普通方程化為極坐標(biāo)方程：。設(shè)與軸所成的角為，由題意知、與軸分別成、的角。 （定值）。由例12、例13可見，方程形式的選擇要適當(dāng)（讀者可對照數(shù)學(xué)通報85年第3期第15頁的解法）。一般地，涉及過定點的同一直線上的線段的和、差、積等問題，用直線的參數(shù)方程較好；涉及過圓錐曲線的焦點（或中心）的線段問題，曲線用極坐標(biāo)方程為好。八、巧用圓心，避免復(fù)雜運算當(dāng)我們需求解圓周上一動

13、點到二次曲線上一動點距離的最值問題時，如用“心”去解，則可避免復(fù)雜運算，達到化繁為簡的效果。PQOQxyO圖8例14、己知點P是橢圓上一動點，點Q是圓上一動點，試求|PQ|的最大值。分析：如圖8，當(dāng)點、Q不共線時，因此，要求|PQ|的最大值，就應(yīng)該使達到最大，即圓的圓心到橢圓上的動點P之間距離達到最大，將該最大值加半徑就得所求。解：先求點到橢圓上任一點P的距離的最大值。設(shè)，于是,=當(dāng)時，取最大值，取最大值，于是。說明：、若該題直接設(shè)、，則是一個含有與的二元最值問題，我們不易對它作進一步的運算，因此不能直接計算。、若我們從圖形的特點出發(fā)，認為圖8中（即圓與軸上方的交點）十分特殊，它與橢圓上點P的

14、距離，則會產(chǎn)生錯誤，所以在該題求解過程中，沒有利用價值。、若在例題中增加求當(dāng)達到最大值時，P、Q兩點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求P點坐標(biāo)。的延長線與圓的交點就是達到最大值時Q點的坐標(biāo)。、從本例題的求解過程中，可以發(fā)現(xiàn)圓心的作用十分突出。當(dāng)我們求解這類最值時，就應(yīng)用“心”去解，才能避免復(fù)雜運算，化繁為簡。練習(xí)：1、己知為橢圓的兩個焦點，過作橢圓的弦AB。（1）求證：的周長為常數(shù)（2）若的周長為16，橢圓離心率，求橢圓的方程。xyOAB圖92、已知雙曲線上的三點、的橫坐標(biāo)、成等差數(shù)列，求證：、到焦點（右焦點）的距離也成等差數(shù)列。3、設(shè)A，B是拋物線上的點，且滿足（是坐標(biāo)原點，見圖9）。求證：直線AB過定點，并

15、求該定點的坐標(biāo)。圖104、在中，在直線上移動，求外心的軌跡方程，并說明是什么圖形？5、若拋物線上存在兩點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍。6、如圖10，已知曲線，直線，、從左到右的交點依次是、，（1） 求證：是定值；yxOQRP圖11（2）為何值時，有最小值，最小值是多少？7、如圖11所示，己知橢圓，直線。P是上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足，當(dāng)點P在上移動時，求點Q的軌跡方程。8、己知：點P是橢圓上一動點，點Q是圓上一動點。試求的最小值。9、己知：點P是拋物線上一動點，點Q是圓上一動點。試求|PQ|的最小值，及達到最小值時P、Q的坐標(biāo)。練習(xí)解答：xyP3P2P3O圖121、（1）

16、證明：由橢圓定義，得的周長=（常數(shù)）（2）解：由第（1）小題結(jié)論知：，。又有，。所求橢圓方程為。2、證明：如圖12,設(shè)點、到右準(zhǔn)線的距離分別為、，橢圓的離心率為，則由雙曲線的第二定義，得，。，。故、成等差數(shù)列3、證：設(shè)，則，即。，。過，的直線AB：，AB：， ,故直線AB恒過定點。4、解：設(shè)為的外心，又，是等腰三角形，過作于，則，。，。外心的軌跡為雙曲線的左支。上述解法利用了平幾知識大大減少了運算量給人耳目一新之感。xyOAB圖135、解：如圖13，設(shè)拋物線上兩點關(guān)于直線對稱，AB中點為，顯然。，-，中點在直線上，。，-由、并根據(jù)韋達定理的逆定理知：是方程兩相異實根，有，即，整理得：。6、解：

17、本題涉及上的線段的和、差問題，的方程宜選用參數(shù)方程。設(shè)（為參數(shù)）代入中得：，。代入中得：，。圖中，（1）為定值。令，則。0。當(dāng)時，有，從而。故的最小值為，對應(yīng)的的值為。7、解：以直角坐標(biāo)原點為極點，軸正方向為極軸，建立極坐標(biāo)系，則。于是橢圓的極坐標(biāo)方程為：，直線的極坐標(biāo)方程為：；由于，。故Q點的極坐標(biāo)方程為：，配方得：。這就是Q點的軌跡方程。8、解：先求圓心到橢圓上一點距離的最小值。設(shè)，。當(dāng)時，取最小值。取最小值。故|PQ|最小值為。9、解：設(shè)，圓心。（當(dāng)時）。|PQ|的最小值為。當(dāng)時，即時，|PQ|達到最小值。這時P點的坐標(biāo)為或。（）當(dāng)P點的坐標(biāo)為時，與P所連線段與圓相交于。（）當(dāng)P點的坐標(biāo)

18、為時，與P所連線段與圓相交于。綜合（）（）知：當(dāng)|PQ|取最小值時，P、Q兩點的坐標(biāo)分別為P、Q或P、Q。常規(guī)七大題型：（1）中點弦問題 具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法（點差法）：設(shè)曲線上兩點為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請款討論），消去四個參數(shù)。如：（1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p. 典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）的直線與

19、雙曲線交于兩點 及，求線段的中點P的軌跡方程。（2）焦點三角形問題 橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點，為焦點，。 （1）求證離心率； （2）求的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點 （2）設(shè)直線與拋物線的交點為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的

20、函數(shù)f(t)的表達式。（4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。最值問題的處理思路： 1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消

21、參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|2p（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值。（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知-這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A（-1，0）和點B（0，8）關(guān)于L的對稱點都在C上，求

22、直線L和拋物線C的方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題MNQO已知直角坐標(biāo)平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（0）,求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。（6） 存在兩點關(guān)于直線對稱問題 在曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同兩點關(guān)于直線對稱（7）兩線段垂直問題 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標(biāo)運算來處理。典型例題 已知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線C有兩個不同的交點（如圖）。 （1）求的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面： 在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設(shè)而不