彈性力學(xué)第四章 用極坐標(biāo)解平面問(wèn)題

1、第四章 用極坐標(biāo)解平面問(wèn)題4.1.極坐標(biāo)中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圓形、環(huán)形、楔形或扇形類的結(jié)構(gòu)物。在這些情況下，用直角坐標(biāo)描述邊界條件會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜，由于極坐標(biāo)使得結(jié)構(gòu)的邊界與坐標(biāo)線一致，因而使邊界條件的描述更加簡(jiǎn)單，使問(wèn)題更易于求解。圖4.2單元體上的應(yīng)力圖4.1極坐標(biāo)下的應(yīng)力符號(hào)首先我們定義極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量和體積力分量。用夾角為的兩條極徑和兩條半徑相差為的同心圓弧截取一個(gè)微元體（圖4.1）。圓弧截面稱為面。面的法向沿徑向而且指向增加方向，這一圓弧面稱為正面，反之稱為負(fù)面。極徑截面稱為面。面的法向沿環(huán)向而且指向增加方向，這一極徑截面稱為正面。反之稱為負(fù)面。面上的正應(yīng)力用表示，剪應(yīng)

2、力用表示。面上的正應(yīng)力用表示，剪應(yīng)力用表示。用表示體積力在徑向的分量,用表示體積力在環(huán)向的分量。應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定與直角坐標(biāo)下的規(guī)定完全相同：正面上指向正向（坐標(biāo)增加的方向）的應(yīng)力為正值應(yīng)力，負(fù)面上指向負(fù)向（坐標(biāo)減小的方向）的應(yīng)力亦為正值應(yīng)力，反之，為負(fù)值的應(yīng)力。體積力符號(hào)規(guī)定也與直角坐標(biāo)下的規(guī)定相同，指向坐標(biāo)軸正向（坐標(biāo)增加的方向）的體積力為正值，反之，為負(fù)值。直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間具有嚴(yán)格的變換關(guān)系。從理論上說(shuō)，我們完全可以通過(guò)坐標(biāo)變換的方法由直角坐標(biāo)的基本方程導(dǎo)出極坐標(biāo)下的相應(yīng)方程。但是，為了加深對(duì)極坐標(biāo)下平衡方程物理意義的理解，我們?nèi)匀煌ㄟ^(guò)極坐標(biāo)下的微分單元體的平衡導(dǎo)出極坐標(biāo)下的平衡微分方程

3、。我們?nèi)∫粋€(gè)微分單元體研究，各個(gè)面上的應(yīng)力分量和體積力如圖4.2所示。負(fù)面上的正應(yīng)力為，剪應(yīng)力為；正面的坐標(biāo)比負(fù)面增加了，所以正面的應(yīng)力和負(fù)面相比，應(yīng)力產(chǎn)生了一個(gè)增量，分別為和。負(fù)面上的正應(yīng)力為，剪應(yīng)力為；正面的坐標(biāo)比負(fù)面增加了，所以正面的應(yīng)力和負(fù)面相比，應(yīng)力產(chǎn)生了一個(gè)增量，分別為和。由于微分單元體厚度是1，所以負(fù)面的面積為，正面的面積為；正、負(fù)面的面積均為。體力為和。各面的合力對(duì)形心求矩，可以再次證明剪應(yīng)力互等定理。 （4.1）取各面上的力在方向上的平衡，有：（a）由于是個(gè)微量，所以有和成立。把它們用于（a）式并略去高一階的無(wú)窮小量。利用剪應(yīng)力互等定理并在方程兩邊同除以,整理后得 （b）再考

4、察各面上的力在方向上的平衡，同理可得： （c）（b）式和（c）式聯(lián)立得到一組平衡微分方程： （4.2）這個(gè)方程組中包含了、和三個(gè)獨(dú)立的未知函數(shù)，方程本身比直角坐標(biāo)下的相應(yīng)方程復(fù)雜得多。一般情況下，它的求解也復(fù)雜得多。4.2. 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程在4.1節(jié)中我們導(dǎo)出了三個(gè)應(yīng)力分量應(yīng)該滿足的平衡微分方程。但是僅僅通過(guò)兩個(gè)方程求解三個(gè)未知函數(shù)是不夠的，必須找到一個(gè)補(bǔ)充方程，也就是說(shuō)要考慮變形幾何關(guān)系。首先要定義在極坐標(biāo)中的應(yīng)變分量與位移分量。比照在直角坐標(biāo)中的應(yīng)變分量的定義辦法，我們定義與應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，表示徑向線段的線應(yīng)變（徑向正應(yīng)變），表示環(huán)向線段的線應(yīng)變（環(huán)向正應(yīng)變），表示徑向線段

5、和環(huán)向線段之間的直角改變量（剪應(yīng)變）。位移分量是按照位移的方向定義的，表示徑向位移，表示環(huán)向位移。圖4.3徑向位移變形幾何方程是描述位移和應(yīng)變之間關(guān)系的一組方程。欲研究平面彈性體在極坐標(biāo)下的變形，要選取相互正交的徑向線段和環(huán)向線段。徑向線段，環(huán)向弧線所含的弧度為，弧長(zhǎng)。線段端點(diǎn)及其坐標(biāo)分別為，和。由于極坐標(biāo)中正交線段的位移可以看作沿徑向的位移和沿環(huán)向位移的合成。在分析位移與應(yīng)變關(guān)系時(shí)我們分兩步完成，第一步先考察正交線段僅發(fā)生徑向移動(dòng)（不考慮環(huán)向位移）所產(chǎn)生的位移與應(yīng)變分量間的關(guān)系（圖4.3）。正交線段的徑向移動(dòng)使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，位移為，點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，由于、兩點(diǎn)極角相同，點(diǎn)極徑比點(diǎn)的極徑增加了，所以其

6、徑向位移產(chǎn)生一個(gè)由于變化帶來(lái)的函數(shù)增量，點(diǎn)的位移為，這兩點(diǎn)的環(huán)向位移，的轉(zhuǎn)角為零。線段的伸長(zhǎng)量可以通過(guò)兩個(gè)端部、兩點(diǎn)的位移差計(jì)算，產(chǎn)生的徑向線應(yīng)變?yōu)椋?（a）正交線段的徑向移動(dòng)同時(shí)使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，由于、兩點(diǎn)極徑相同，點(diǎn)極角比點(diǎn)的極角增加了，所以其徑向位移產(chǎn)生一個(gè)由于變化帶來(lái)的函數(shù)增量，點(diǎn)的徑向位移為，這兩點(diǎn)的環(huán)向位移也有。同理，弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應(yīng)變?yōu)椋?（b）由于、兩點(diǎn)徑向位移不同，就使得產(chǎn)生了一個(gè)轉(zhuǎn)角， （c）故剪應(yīng)變?yōu)?（d）圖4.4環(huán)向位移第二步是在第一步的基礎(chǔ)上研究徑向位移后的兩條線段端點(diǎn)、和只發(fā)生環(huán)向位移而不發(fā)生徑向位移（圖4.4）。正交線段的環(huán)向移動(dòng)使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，位移為，點(diǎn)移動(dòng)到

7、點(diǎn)。點(diǎn)極徑比點(diǎn)的極徑增加了，所以其環(huán)向位移產(chǎn)生一個(gè)由于變化帶來(lái)的函數(shù)增量，點(diǎn)的環(huán)向位移為， （e）這兩點(diǎn)的徑向位移。線段位移到后，其伸長(zhǎng)量可以視為零，所以其徑向線應(yīng)變 （f）正交線段的徑向移動(dòng)使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，由于點(diǎn)極角比點(diǎn)的極角增加了，其環(huán)向位移產(chǎn)生一個(gè)由于變化帶來(lái)增量，點(diǎn)的環(huán)向位移為：弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應(yīng)變?yōu)?，也就是?（g）由圖4.5可以看出，線段位移到所轉(zhuǎn)過(guò)的角度包含兩部分，一部分是徑線轉(zhuǎn)動(dòng)到的位置時(shí)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角， （h）另一部分是環(huán)向位移使線段轉(zhuǎn)動(dòng)到位置時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，只有這一部分轉(zhuǎn)角才是正交線段的直角改變量，可以這樣計(jì)算 （i） （j）把兩種位移產(chǎn)生的徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變和剪應(yīng)變疊加 （k）把

8、（a）、（b）、（d）、（f）、（g）和（j）式代入（k）式后得到總的徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變和剪應(yīng)變與位移之間的關(guān)系，即幾何方程如下： （4.3）式中是由徑向位移產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)變，是由環(huán)向位移產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。所得到的平衡微分方程描述的力學(xué)量之間的關(guān)系，幾何方程描述的是幾何量間的關(guān)系。幾何方程要作為補(bǔ)充方程，必須把幾何量轉(zhuǎn)化為力學(xué)量，物理方程就為完成這種轉(zhuǎn)變提供了依據(jù)。物理方程是描述力和變形之間的關(guān)系的，在彈性力學(xué)中描述的是應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。由于極坐標(biāo)也是正交坐標(biāo)系，微分單元體和直角坐標(biāo)是一致的，所以力和變形之間所遵循的規(guī)律是完全一致的，因此物理方程形式不變。在平面應(yīng)力狀態(tài)下物理方程的極坐標(biāo)形

9、式為 （4.4）寫(xiě)成矩陣的形式為 （4.）按照與2.4節(jié)相同的做法，可以得到用應(yīng)變表示應(yīng)力的平面應(yīng)力狀態(tài)下物理方程的極坐標(biāo)形式 （4.5）其矩陣形式為 （4.）將（4.4）式中的和分別用和代換，可以得到平面應(yīng)變狀態(tài)下物理方程的極坐標(biāo)形式 （4.6）它的矩陣形式為 （4.）至此，我們已經(jīng)得到兩個(gè)獨(dú)立的平衡微分方程，三個(gè)幾何方程和三個(gè)物理方程，計(jì)八個(gè)方程，含有需要求解的八個(gè)未知函數(shù)，具備了求解的基本條件。4.3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程圖4.6極坐標(biāo)下的方向角在平面直角坐標(biāo)系求解問(wèn)題時(shí)，采用應(yīng)力函數(shù)是一種行之有效的方法，我們?cè)谟脴O坐標(biāo)求解時(shí)也試圖采用同樣的方法，為此我們需要導(dǎo)出極坐標(biāo)下用應(yīng)力函數(shù)

10、求解的基本方程。這里僅考慮體積力為常量的情況。首先把用直角坐標(biāo)表示的拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)表示。通過(guò)兩個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換很容易的得到應(yīng)力函數(shù)從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，。下面我們用求在極坐標(biāo)下對(duì)和的方向?qū)?shù)的方法導(dǎo)出極坐標(biāo)下用應(yīng)力函數(shù)描述的相容方程。和之間的夾角為（圖4.6），所以在極坐標(biāo)下對(duì)的方向一階導(dǎo)數(shù)為 （a）把整體視為新函數(shù)，再求對(duì)它對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)，即用它代替（a）式中的得到 (b)所以有 (c)由于方向?qū)?shù)比x方向的角度增加了，所以求應(yīng)力函數(shù)在極坐標(biāo)下對(duì)方向一階導(dǎo)數(shù)時(shí)僅需把對(duì)x方向求導(dǎo)的(c)式右邊各項(xiàng)中用代換即可。因此有即 （d）按照與推導(dǎo)（b）式相似的做法可以得到應(yīng)力函數(shù)對(duì)、的混合導(dǎo)

11、數(shù)所以有 （e）把(c)式和（d）式相加得出拉普拉斯算子的極坐標(biāo)表達(dá)式 （f）由于，所以用應(yīng)力描述的變形相容方程為 （4.）（4.）式可以寫(xiě)成 （4.7）把(c)式和（d）式代入應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程中就可以得到極坐標(biāo)下的相容方程。 （4.8）把（4.6）市展開(kāi)為 （4.）由此可以看出，用極坐標(biāo)解答平面問(wèn)題時(shí)，也和直角坐標(biāo)一樣，只需選擇某一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，求出各應(yīng)力分量，并要求它們能滿足所給彈性體所有的邊界條件即可。4.4.應(yīng)力的坐標(biāo)變換在4.3節(jié)我們已經(jīng)導(dǎo)出用極坐標(biāo)描述的直角坐標(biāo)應(yīng)力、和，只要完成用直角坐標(biāo)應(yīng)力表示極坐標(biāo)下的應(yīng)力，把前面所得到的結(jié)果代入，不難導(dǎo)出極坐標(biāo)下應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式。這里

12、我們通過(guò)坐標(biāo)變換完成兩種坐標(biāo)系下的應(yīng)力變換。圖4.6面上的應(yīng)力變換在數(shù)學(xué)中可以用坐標(biāo)變換矩陣給出坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后一點(diǎn)的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)之間的關(guān)系： （a）即 （b）如果直角坐標(biāo)下的應(yīng)力單元體斜截面的法向正好是極坐標(biāo)中的徑向（圖4.6），利用（2.）式可以得到斜截面上應(yīng)力在向和向的分量為 （c）圖4.7面上的應(yīng)力變換那么斜截面上應(yīng)力在向和向的分量正是極坐標(biāo)下的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，由坐標(biāo)變換可以得到它們與的關(guān)系： （d）把（c）式代入（d）式得到： （e）如果直角坐標(biāo)下的應(yīng)力單元體斜截面的法向正好是極坐標(biāo)中的切向（圖4.7），那么截面上應(yīng)力在向和向的分量為 （f）那么斜截面上應(yīng)力在向和向的分量正是極坐標(biāo)

13、下的剪應(yīng)力和正應(yīng)力，由坐標(biāo)變換可以得到它們與的關(guān)系： （g）把（f）式代入（g）式得到： （h）把（e）式和（h）式分別擴(kuò)展為矩陣，而后相加就得到直角坐標(biāo)應(yīng)力分量變換成極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量。 （4.9）用矩陣符號(hào)表示為 （i）式中 極坐標(biāo)下的應(yīng)力矩陣； 直角坐標(biāo)下的應(yīng)力矩陣；二維的坐標(biāo)變換矩陣；二維的坐標(biāo)變換矩陣的逆矩陣。把（4.9）式展開(kāi)得到從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)下的應(yīng)力變換公式 （4.10）通過(guò)對(duì)（i）式作矩陣運(yùn)算可以求出從極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)下的應(yīng)力變換矩陣式 （j）把（j）式展開(kāi)則得到從極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)下的應(yīng)力變換公式 （4.11）從理論上講，把4.3節(jié)導(dǎo)出的用極坐標(biāo)描述的直角坐標(biāo)應(yīng)力，和代入到

14、（4.10）式中去，就可以得到極坐標(biāo)下的應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)間的關(guān)系。這需要作一些煩瑣的運(yùn)算。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們給出4.3節(jié)導(dǎo)出的描述直角坐標(biāo)應(yīng)力的（c）式、（d）式和（e）式如下： （4.3c） （4.3d）（4.3e）把（4.3c）式、（4.3d）式與（4.11）式相比較，很容易得到 （4.12）可以證明:當(dāng)時(shí),(4.12)能滿足平衡微分方程(4.2)式。在極坐標(biāo)下略去體積力分量而按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)，可歸結(jié)為根據(jù)（4.8）式求出應(yīng)力函數(shù)，然后根據(jù)（4.12）求出各應(yīng)力分量，再使它們滿足邊界上的應(yīng)力邊界條件，同時(shí)要滿足位移單值條件。4.5軸對(duì)稱問(wèn)題的一般解圖4.8深埋的壓力管道在工程上有一些結(jié)構(gòu)是

15、旋轉(zhuǎn)體，而且他們所承受的荷載及約束又是關(guān)于軸截面對(duì)稱的，如架空的或埋置較深的地下管道（圖4.8）、隧道以及機(jī)械上緊配合的軸套等。像這類構(gòu)件的幾何形狀、受力及約束關(guān)于通過(guò)軸的平面對(duì)稱而且無(wú)體積力作用的彈性力學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)稱為軸對(duì)稱問(wèn)題。取形心為極坐標(biāo)的原點(diǎn)。由于彈性體內(nèi)的各力學(xué)量都是關(guān)于任意通過(guò)原點(diǎn)的軸為對(duì)稱的，所以同一圓周上的任意兩個(gè)單元體都是對(duì)稱的，其應(yīng)力一定也是對(duì)稱的。換句話說(shuō)，軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力僅僅是極徑的函數(shù)，而與無(wú)關(guān)。由于在一個(gè)截面上是反對(duì)稱的應(yīng)力，在軸對(duì)稱的情況下必不可能存在，即。同樣。可見(jiàn)，在軸對(duì)稱問(wèn)題中僅僅存在和兩個(gè)應(yīng)力分量，而且它們只是的函數(shù)，。我們首先求軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力分量。由于不

16、考慮體積力，而且應(yīng)力分量中不含，所以在軸對(duì)稱的條件下平衡微分方程（4.2）式中的第二式自然滿足。這樣一來(lái)，獨(dú)立的平衡微分方程只有一個(gè)： （4.13）其相容方程為 （4.14）（4.14）式可以寫(xiě)成 （a）將（a）式積分兩次得到 （b）平衡微分方程（4.13）式改寫(xiě)為把它與（b）式相加， （c）方程（c）的特解和相應(yīng)的非其次方程的通解分別為， （d）由此得到徑向正應(yīng)力和周向正應(yīng)力分別為 （e）由于應(yīng)力是有界的，所以必有。把（e）式中的常數(shù)重新命名得到： （4.15）此后，我們?cè)偾筝S對(duì)稱問(wèn)題的位移分量。由于并不知道坐標(biāo)原點(diǎn)的約束情況，一般情況下位移是與極角有關(guān)的。把（4.15）式代入物理方程（4.

17、4）求出各應(yīng)變分量，而后再用幾何方程（4.3）將應(yīng)變分量用位移表示，則有 （f）由（f）第一式積分得 （g）把（g）式代入（f）式中的第二式，經(jīng)整理有把此式積分求得 （h）把（g）式（h）式代入（f）式中的第三式，得到 （i）對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的變量要保持（i）式恒成立，必須有 （k）由此得出 （j） （l）求解方程(j)，（j）式為線性微分方程，可用分離變量法求解:其通解為 （m）（l）式對(duì)求導(dǎo)，得出 （n）解之得 （p）把（p）式代入（l）式，運(yùn)算后可求得 （q）把（p）式代入（g）式得把（m）式和（q）式代入（h）式得由此我們得出極坐標(biāo)下軸對(duì)稱問(wèn)題的位移解： （4.16）式中A、C、F、I、K

18、都是任意常數(shù)，其中F、I、K和2.3節(jié)中的w、u0、v0一樣，代表剛體位移(由位移邊界確定)。如果是平面應(yīng)變問(wèn)題，則僅需把式（4.16）做換成、換成的代換即可求得其位移分量。4.6受壓圓環(huán)或圓筒的解圖4.9承受內(nèi)壓和外壓的圓環(huán)深埋地下的受壓管道可以簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱的力學(xué)模型，截取單位厚度的薄片就可以視為平面應(yīng)變問(wèn)題。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)我們首先分析平面應(yīng)力問(wèn)題，而后可以通過(guò)彈性系數(shù)的代換得到平面應(yīng)變的解。單位厚度的厚壁圓筒內(nèi)半徑,外半徑，承受均布的內(nèi)壓力，外壓力（圖4.9）。該問(wèn)題簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱問(wèn)題，的內(nèi)邊界應(yīng)力邊界條件為 （a）的外邊界應(yīng)力邊界條件為 （b）根據(jù)4.5節(jié)，軸對(duì)稱的應(yīng)力分量為 （4.17）顯

19、然，和自然能夠滿足。利用邊界條件（a）式和（b）式， （c）求解關(guān)于和的方程組（c）得到，把和的值代入（4.17）式，即得拉梅（Lame）解: （4.18）4.5節(jié)給出了軸對(duì)稱問(wèn)題的位移分量為 （4.16）若適當(dāng)給定約束條件，不僅彈性體無(wú)剛性位移，對(duì)稱面上亦無(wú)沿周向的位移，則圖4.10圓筒受內(nèi)壓，根據(jù)（4.18）式的結(jié)果討論幾種特例。1.只受內(nèi)壓（，）這是壓力容器最常見(jiàn)的受力方式，其應(yīng)力為 （4.19）沿軸向受壓應(yīng)力作用，沿環(huán)向受拉應(yīng)力作用，分布狀態(tài)見(jiàn)圖4.10。最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力均在內(nèi)壁。，。圖4.11圓筒受外壓2.只受外壓（，）這是深埋管道的受力方式，其應(yīng)力為 （4.20），均為壓應(yīng)力

20、，分布狀態(tài)見(jiàn)圖4.11。徑向最大壓應(yīng)力在外壁，而環(huán)向最大壓應(yīng)力在內(nèi)壁。，當(dāng)遠(yuǎn)達(dá)于時(shí)，內(nèi)壁，3.無(wú)限域開(kāi)圓孔在內(nèi)壓用下當(dāng)時(shí)圖4.12圓孔的應(yīng)力集中 （4.20）驗(yàn)證圣維南原理：由圖4.12可以看出，在處，應(yīng)力很小，可以不計(jì)，即在內(nèi)壓作用下，在處圓孔的影響可略而不計(jì)。4.針孔問(wèn)題（應(yīng)力集中）在含有針孔的大板受均勻分布的外壓時(shí)，在內(nèi)徑時(shí)可見(jiàn)，孔徑雖然很小，但孔邊應(yīng)力卻提高了近2倍，這就是應(yīng)力集中現(xiàn)象。工程實(shí)際中常在孔邊發(fā)生開(kāi)裂，就是這個(gè)原因。4.7壓力隧洞（無(wú)限大彈性體內(nèi)的內(nèi)壓圓筒）像埋置較深的地下輸送液體或氣體的管道、帶有內(nèi)襯的地下巷道或隧道等結(jié)構(gòu)物，在研究?jī)?nèi)層管道本身的應(yīng)力與變形的同時(shí)，常常需要

21、考慮外層材料的受力與變形。對(duì)這類問(wèn)題的分析需要利用兩個(gè)彈性體在接觸面上的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，所以它也是一種接觸問(wèn)題。按接觸條件可以把接觸問(wèn)題分為兩大類：一類是完全接觸，即兩彈性體的接觸面保持緊密接觸，不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。（a）在接觸面上的應(yīng)力條件是正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力也相等；（b）在接觸面上的位移條件是徑向位移相等，環(huán)向位移也相等。另一類是非完全接觸，即兩彈性體的接觸面是光滑的，但接觸面依然保持緊密接觸。（a）在接觸面上的應(yīng)力條件是正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力等于零；（b）在接觸面上的位移條件是徑向位移相等，而環(huán)向位移不相等（相對(duì)滑動(dòng)）一般來(lái)說(shuō)壓力隧洞屬于完全接觸。設(shè)圓管埋置的深度遠(yuǎn)大于其直徑，可以視為圓筒是埋在無(wú)

22、限大彈性體中，管內(nèi)部受均勻分布的壓力（圖4.13）。管道材料的彈性常數(shù)、，彈性體材料的彈性常數(shù)、，求管道和外層彈性體的各應(yīng)力分量。顯然這是一個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題，它們的應(yīng)力分布也是軸對(duì)稱的，所以4.5節(jié)和4.6節(jié)的結(jié)果（4.15）式和（4.16）式仍然適用。圖4.13壓力隧洞分別給出圓筒、無(wú)限大彈性體的應(yīng)力與位移表達(dá)式，但須注意它們具有不同的材料彈性常數(shù)及積分常數(shù)。圓筒的各應(yīng)力分量為： （4.17）無(wú)限大彈性體的各應(yīng)力分量為 （4.21）在兩組方程中有四個(gè)待定常數(shù)。根據(jù)圣維南原理，當(dāng)時(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)處應(yīng)力近乎為零，所以在（4.21）式中有： （a）由此得出。要確定另三個(gè)待定常數(shù)還需要三個(gè)條件。利用圓筒內(nèi)表面的

23、邊界條件有 （b）無(wú)限大彈性體和圓筒的接觸面上，它們的面力是作用力與反作用力的關(guān)系，所以徑向面力相等：，把代入即有 （c）要確定還要利用兩個(gè)部分的變形連續(xù)條件。由于這里取出的單位厚度的薄片屬于平面應(yīng)變問(wèn)題，所以求圓筒的位移需要對(duì)（4.16）式進(jìn)行換成、換成的代換，變?yōu)?（4.22）無(wú)窮遠(yuǎn)處的彈性體內(nèi)各點(diǎn)位移為零，而且兩彈性體是完全接觸，所以約束可看作是軸對(duì)稱的，故有，也就是說(shuō)，僅有存在。平面應(yīng)變狀態(tài)下圓筒外邊界的徑向位移為： （d）同理，含圓孔的無(wú)限大體的位移為 （4.23）同樣，無(wú)限大體的位移中，即所以有。注意到，平面應(yīng)變狀態(tài)下無(wú)限大體內(nèi)的徑向位移為 （e）在無(wú)限大體內(nèi)圓孔邊界的徑向位移為

24、（g）由于兩物體接觸面的徑向位移相等，即 （h）由第（h）式整理： （i）令,（i）式改寫(xiě)成 （j）（b）式、（c）式和（h）式聯(lián)立 （k）求解關(guān)于A、C、A 的三元一次方程組（k）式求得 （k）把A、A 、C、C 回代到應(yīng)力分量表達(dá)式（4.15）和（4.21）式中，得到各應(yīng)力分量為：圖4.14壓力隧洞應(yīng)力分布（4.24）當(dāng)nr）。這就將薄板直邊界轉(zhuǎn)換為圓邊界（圖4.16），從而可以采用極坐標(biāo)研究。在半徑為的圓周上各點(diǎn)受力狀態(tài)都是均勻拉伸狀態(tài)，即，由坐標(biāo)變換式（4.10）式求得邊界上極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量，以此作為無(wú)限遠(yuǎn)處的應(yīng)力邊界條件。圖4.16新建的邊界 （a）圓孔的邊界條件為：, （b）根據(jù)

25、無(wú)限遠(yuǎn)處應(yīng)力邊界條件可以看出：和的分布是關(guān)于軸和軸對(duì)稱的，是周期為的函數(shù)，而是關(guān)于軸和軸反對(duì)稱，也是周期為的函數(shù)。為此，設(shè)板內(nèi)各點(diǎn)的三個(gè)應(yīng)力分量函數(shù)形式具有與遠(yuǎn)處應(yīng)力相類似的形式，分別為： （c）把（c）式分別代入平衡微分方程（4.2）式和相容方程（4.7）式可得 (d)要使（d）式中關(guān)于自變量的函數(shù)sin2或cos2的多項(xiàng)式恒為零，得到兩組方程：第一組方程 (e)比照4.5節(jié)中方程（4.12）式的解法，同樣利用應(yīng)力的有界性，由方程組（e）解得 （f）第二組方程 （g）（g）式中的第三式是關(guān)于的歐拉方程，它的特征根，所以它的解為 (h)（g）式中的第一式減去第二式，把（h）式代入其中后可以得到

26、 (i) (j)(h)式和(j)式相減得到 （k）代入方程（g）式中的第二式即 （l）方程（l）的一個(gè)特解為方程（l）的通解是 把h代入（j）式和（k）式中，得到 由于應(yīng)力是有界的，所以。由此得出應(yīng)力的函數(shù)表達(dá)式 （m）利用應(yīng)力邊界條件確定常數(shù)，的外邊界的應(yīng)力邊界條件（a）為 （n）由此確定出常數(shù)和，。利用的內(nèi)邊界上的應(yīng)力邊界條件,則有 （p）由此得出,。含圓孔的無(wú)限大板單向均勻拉伸下的解為 (4.25)在的孔邊，環(huán)向應(yīng)力圓周上環(huán)向應(yīng)力幾個(gè)重要的數(shù)據(jù)列于表4-1：表4-1圓周上幾個(gè)重要的應(yīng)力數(shù)據(jù)在的徑線上環(huán)向應(yīng)力的徑線上環(huán)向應(yīng)力幾個(gè)重要的數(shù)據(jù)列于表4-2：表4-2徑線上幾個(gè)重要的應(yīng)力數(shù)據(jù)圖4.

27、17給出了三條徑線上環(huán)向應(yīng)力的分布情況。研究圓孔邊的應(yīng)力分布可以看出，孔邊附近的局部區(qū)域應(yīng)力發(fā)生應(yīng)力增大的現(xiàn)象，我們稱之為應(yīng)力集中?？走叺淖畲髴?yīng)力與無(wú)孔時(shí)應(yīng)力的比值稱為應(yīng)力集中系數(shù)。在的圓周上，時(shí)，有最大值 (4.26)孔邊的最大應(yīng)力比無(wú)孔時(shí)提高了2倍。圓孔的應(yīng)力集中系數(shù)。圖4.17孔邊的應(yīng)力分布當(dāng)時(shí)，在軸上應(yīng)力已接近于均勻分布。說(shuō)明時(shí)圓孔的影響已經(jīng)很小，這再次驗(yàn)證了圣維南原理的正確性。沿著的軸方向環(huán)向應(yīng)力為處，；在處，（圖4.17）。在的區(qū)間內(nèi)，壓應(yīng)力的合力為換言之，當(dāng)圓孔處于壓應(yīng)力作用下時(shí)，在孔邊也會(huì)產(chǎn)生最大值為的拉應(yīng)力。對(duì)于抗拉性能較差的材料來(lái)說(shuō)特別應(yīng)該注意。所得到的單向均勻拉伸應(yīng)力場(chǎng)中

28、圓孔的解可以很容易用于求解雙向均勻拉伸圓孔（圖4.18）的應(yīng)力分析中去。把(4.25)式中的角度用代替，就得到向拉伸的解。如果向分布力的集度為（圖4.18b），向分布力的集度為（圖4.18c），那么用疊加法可求得雙向均勻拉伸情況下圓孔邊的應(yīng)力解（圖4.18a）（a） （b） （c）圖4.18兩向均勻拉伸情況下應(yīng)力場(chǎng)的疊加 （q）即使在任意平面應(yīng)力狀態(tài)下，只要應(yīng)力變化梯度不大而且圓孔直徑又足夠小?？梢韵惹蟪鲈搮^(qū)域內(nèi)的主應(yīng)力、（或）。令，（或），再利用（q）式計(jì)算圓孔的應(yīng)力集中。嚴(yán)格地說(shuō)這樣做是有誤差的，但其結(jié)果仍可以給出有實(shí)用價(jià)值的初步估算。4.9平面楔頂部受力.半無(wú)限平面受法向力4.9.1.平

29、面楔頂部受力有一單位厚度的平面楔，楔體的中心角為2，下端當(dāng)作無(wú)限延伸。在楔頂部單位厚度上受方向沿對(duì)稱軸的集中荷載F作用（圖4.19），不計(jì)體積力，計(jì)算楔形體中的應(yīng)力。圖4.19a平面楔受集中力我們采用主應(yīng)力坐標(biāo)系求解該問(wèn)題較為簡(jiǎn)單。為此，我們首先建立主用力坐標(biāo)系并導(dǎo)出拉梅麥克斯韋爾方程。所謂主應(yīng)力坐標(biāo)系是指由兩個(gè)主力的跡線所構(gòu)成的坐標(biāo)系。彈性體內(nèi)的主應(yīng)力、正交，主應(yīng)力的跡線為，主應(yīng)力的跡線為。規(guī)定由轉(zhuǎn)到逆時(shí)針向?yàn)檎?，而且增加時(shí)應(yīng)力矢量逆時(shí)針向轉(zhuǎn)時(shí)為正向（圖4.20）。在主應(yīng)力坐標(biāo)系下，每個(gè)以兩組平行的坐標(biāo)面截得的微單元體上僅有正應(yīng)力和作用，而沒(méi)有剪應(yīng)力作用。令， (a)圖4.20主應(yīng)力坐標(biāo)系根

30、據(jù)斜方向上的應(yīng)力公式可以得到、方向的應(yīng)力分別為 (4.27) 把（4.27)式代入平衡微分方程（2.2）式的第一式，注意到、和都是、的函數(shù)。那么主應(yīng)力坐標(biāo)系下的平衡微分方程為 （b）為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，現(xiàn)在就主應(yīng)力跡線恰好與方向一致，而且主應(yīng)力跡線也恰好與方向一致的特殊情況導(dǎo)出主應(yīng)力跡線坐標(biāo)下的平衡微分方程。由于我們并不確知單元體上兩個(gè)主應(yīng)力的大小，這里把和方向一致的主應(yīng)力作為，和方向一致的主應(yīng)力作為并不影響對(duì)問(wèn)題的討論。顯然，時(shí)，所以（b）式可以寫(xiě)成 （c）把（a）式代入（c）式，正是主應(yīng)力跡線曲率，用曲率半徑表示為，所以有 （d）做與此相同的推導(dǎo)，可以把平衡微分方程（2.2）的第二式也寫(xiě)成用主應(yīng)

31、力及其跡線的曲率表示的形式，由此得出主應(yīng)力坐標(biāo)下的平衡微分方程拉梅麥克斯韋爾方程。 （4.28）楔頂部受集中荷載F的邊界條件為，顯然，的直線都是主應(yīng)力跡線。由于本問(wèn)題屬于對(duì)稱問(wèn)題，所以的對(duì)稱面上沒(méi)有剪應(yīng)力作用，直線也是一條主應(yīng)力跡線。顯然三條主應(yīng)力跡線交于一點(diǎn)。根據(jù)主應(yīng)力跡線的性質(zhì)可以推斷：三條主應(yīng)力跡線的交點(diǎn)就是這種主應(yīng)力跡線的一個(gè)交匯點(diǎn)，也就是說(shuō)的主應(yīng)跡線是匯聚于的射線族。另一組主應(yīng)力跡線與該射線族中各條主應(yīng)力跡線正交，故必為一組以為圓心的同心圓弧?？梢?jiàn)主應(yīng)力跡線坐標(biāo)系的坐標(biāo)線正是極坐標(biāo)的極徑線，而坐標(biāo)線正是環(huán)線，即，。這時(shí)曲率半徑有，而且，。方程（4.28）作如上代換，主應(yīng)力跡線坐標(biāo)系極

32、坐標(biāo)系下的平衡微分方程變?yōu)?(e)由(e)式中的第二式積分得到根據(jù)邊界條件，所以 (f)把(f)式代入（e）式的第一式，得出解此方程得到 (g)把(f)式和(g)式代入應(yīng)力表示的相容方程（4.7）式 (h)由（h）式得為自變量，所以有解之得到代入（g）式，有 （i）式中I、J是待定常數(shù)，要確定I、J 必須利用頂部的合力條件。取半徑為的部分楔體，利用隔離體在向和向的平衡：解得，半無(wú)限楔體頂部單位厚度上受方向沿對(duì)稱軸的集中荷載F作用下的應(yīng)力解為 （4.26）圖19b平面楔頂受集中力如果平面楔頂受任意集中力，可以把集中力分解為沿對(duì)稱面x向的Fx和y向的Fy(圖3)。平面楔頂僅受Fy作用又可以轉(zhuǎn)化受兩

33、個(gè)作用的反對(duì)稱問(wèn)題，其應(yīng)力也必然是反對(duì)稱的。如果x軸截面存在剪應(yīng)力，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理知道圓弧面上的剪應(yīng)力分布違背了反對(duì)稱規(guī)律?？芍獂面上，同樣得出主應(yīng)力跡線坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系是等價(jià)的結(jié)論?？砂瓷鲜鼋夥?，只需將邊界條件改為這樣可得解為 （11）由此不難得到受斜任意集中力F作用時(shí)的解，通常稱為密切爾解。4.9.2.半無(wú)限平面受法向集中力圖4.21半無(wú)限平面受法向力如果，則上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成半無(wú)限平面受法向力（圖4.21）。單位厚度上的力為F ，邊界條件為，。在（4.26）式中令，則得到半無(wú)限平面受法向集中力的解 （4.27）由（4.27）式的第一式得出 (k)(k)式表明，直徑圓上各點(diǎn)，應(yīng)力是相等的，

34、此時(shí)應(yīng)力解可以表示成 （4.）4.9.3.半無(wú)限平面受法向力的位移計(jì)算（4.27）式代入物理方程（4.4）式，得出位移分量 （l）把（l）式代入幾何方程（4.3）式得到 （m）由（m）式的第一式對(duì)積分得到徑向位移 (n)把（n）式代入（m）式的第二式，經(jīng)運(yùn)算可以得到 （o）該式對(duì)積分得到環(huán)向位移 （p）把（n）式和（p）式代入（m）式的第三式，得到 這是一個(gè)分別以和為自變量的兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成的恒等式，由此可以得到關(guān)于函數(shù)和函數(shù)的兩個(gè)方程。第一個(gè)方程是 （q）即求解得到 （r）第二個(gè)方程是 （s）方程（s）是積分方程，對(duì)求導(dǎo)得到微分方程 （t）方程（t）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為方程（t）的一個(gè)特解為所

35、以方程（t）的解為 （u）把（u）式代入（s）式，可以得出 （v）把（u）式、（v）式和（r）式分別代入(n)式和（p）式得出半無(wú)限平面內(nèi)各點(diǎn)的位移分量把和帶入到（p）式可得到，得到的位移分量寫(xiě)成 （w）式中、和為待定常數(shù)。根據(jù)對(duì)稱性知道，在處，環(huán)向位移，即由此得出。把它們代入（w）式便得到半無(wú)限平面的位移解 （4.28）式中表示剛體位移，必須利用約束條件才能確定。對(duì)稱軸上各點(diǎn)的位移為半無(wú)限平面邊界上各點(diǎn)的位移為 （x）我們把半無(wú)限平面邊界上各點(diǎn)沿向的位移稱作沉降量。由于無(wú)法確定，所以只能選取一個(gè)足夠遠(yuǎn)的基點(diǎn)作為相對(duì)位移的參考點(diǎn)。把要求點(diǎn)的位移相對(duì)基點(diǎn)的差值作為相對(duì)沉降量（圖4.22）?；c(diǎn)距

36、荷載作用點(diǎn)的距離為，極角，其位移為 （y）到荷載作用點(diǎn)的距離為，極角的點(diǎn)M,其位移為圖4.22沉降量的計(jì)算 （z）邊界上M點(diǎn)相對(duì)于基點(diǎn)的沉降量為由此得出沉降量公式 （4.29）4.10 半無(wú)限平面體在邊界上受分布力圖4.23 應(yīng)力影響線在工程中，常常遇到半無(wú)限平面所承受的荷載分布范圍較大，已不宜作為集中荷載處理。這時(shí)我們則把這種情況簡(jiǎn)化為半無(wú)限平面受分布力作用，可以通過(guò)對(duì)半無(wú)限平面受集中荷載解的積分得到新問(wèn)題的解。半無(wú)限平面直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量可通過(guò)對(duì)（4.9）式進(jìn)行坐標(biāo)變換得到展開(kāi)后得到 （a）半無(wú)限平面受集中力作用，直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量為 （4.30）集度為的面力作用于半無(wú)限平面的邊界上，

37、現(xiàn)在要求任意一點(diǎn)處的應(yīng)力分量。為此，我們以應(yīng)力為例，介紹應(yīng)力影響線的概念。（4.30）式給出了在點(diǎn)作用的一個(gè)單位的法向集中力所產(chǎn)生的應(yīng)力，它的分布如圖4.23中關(guān)于軸對(duì)稱的曲線，在M處的應(yīng)力為縱坐標(biāo)的值。同樣，如果一個(gè)單位的法向集中力作用于M點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)，那么它所產(chǎn)生的應(yīng)力分布如圖4.23中關(guān)于直線對(duì)稱的曲線。這兩個(gè)集中力所產(chǎn)生兩條分布曲線是對(duì)稱圖形?？梢钥闯?，O點(diǎn)的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力等與A點(diǎn)的力在處產(chǎn)生的應(yīng)力。換句話說(shuō)，O點(diǎn)的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力等與A點(diǎn)的力所產(chǎn)生的應(yīng)力分布曲線上O點(diǎn)下方的線段，即可見(jiàn)，A點(diǎn)作用力的應(yīng)力分布曲線就是O點(diǎn)的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力的影響線。作用于處微段上的所引起的各應(yīng)

38、力分量在M點(diǎn)的值是下方應(yīng)力影響線下曲邊梯形的面積。 （b）對(duì)（b）式進(jìn)行積分就可以得到整個(gè)分布荷載在點(diǎn)M所產(chǎn)生的應(yīng)力值 （4.31）如果分布在到間的荷載的集度為常量，則各應(yīng)力分量為 （4.32）設(shè)單位力均勻分布在半無(wú)限平面邊界從到間的一段邊界上，分布的集度為，求離分布力中心I點(diǎn)為的一點(diǎn)K的沉降量。我們根據(jù)位移互等定理建立K點(diǎn)沉降量的影響線（圖4.23）。邊界A點(diǎn)處的單位力在K點(diǎn)產(chǎn)生的沉降等于K點(diǎn)的力在A點(diǎn)的沉降量，所以把單位力作用于K點(diǎn)產(chǎn)生的沉降曲線作為K點(diǎn)沉降量的影響線。那么引起的K點(diǎn)沉降可由（4.30）式計(jì)算圖4.23 K點(diǎn)的沉降影響線 （c）式中 為到K點(diǎn)的距離；與基點(diǎn)B的距離。由于隨變

39、化，為了簡(jiǎn)化上式，設(shè)基點(diǎn)B的距離取得很遠(yuǎn)，則，積分時(shí)將視為常數(shù)。若K點(diǎn)在荷載分布區(qū)間之外，則K點(diǎn)沉降量為 （d）所以 （4.33）式中 （e）若K點(diǎn)在荷載分布區(qū)間的中點(diǎn)，則 （4.34）積分結(jié)果仍為（4.33）式，常數(shù)仍由（e）式計(jì)算。但。當(dāng)為整數(shù)時(shí)（含）可以由表（4-3）查出的數(shù)值。如果是平面應(yīng)變問(wèn)題，則需要做和代換。表4-3半無(wú)限平面沉陷公式中的值0123456789100-3.296-4.751-5.574-6.154-6.602-6.967-7.726-7.544-7.780-7.99111121314151617181920-8.181-8.356-8.516-8.664-8.802-8.931-9.052-9.167-9.275-9.378習(xí) 題4-1 試比較極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)中的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，指出哪些項(xiàng)是相似的，哪些項(xiàng)是極坐標(biāo)中特有的?并說(shuō)明產(chǎn)生這些項(xiàng)的原因。4-2 試導(dǎo)出