高中數(shù)學 第2章 統(tǒng)計 2.1 抽樣方法 2.1.2 系統(tǒng)抽樣教材梳理導學案 蘇教版必修

1、2.12系統(tǒng)抽樣庖丁巧解牛知識巧學 一、系統(tǒng)抽樣的概念 當總體中個體數(shù)較多時，樣本容量就不宜太小，采用簡單隨機抽樣抽取樣本，就顯得費事.這時可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分中抽取1個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣.在系統(tǒng)抽樣中，由于抽樣的間隔相等，因此系統(tǒng)抽樣也被稱作等距抽樣（或叫機械抽樣）.從元素個數(shù)為N的總體中抽取容量為n的樣本，如果總體容量能被樣本容量整除，則設k=,分為n組，每組k個，然后在第一組的1到k中隨機抽出一個數(shù)s作為起始數(shù)，再順次抽取第s+k，s+2k，s+(n-1)k個數(shù)，這樣就得到了容量為n的樣本.系統(tǒng)抽樣有以下特征：（1）當總

2、體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣.（2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為k=.（3）預先制定的規(guī)則指的是：在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號.二、系統(tǒng)抽樣的一般步驟 一般地，從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，用系統(tǒng)抽樣的一般步驟是：（1）采用隨機的方式將總體中的個體編號（編號方式可酌情考慮，為方便起見，有時可直接利用個體所帶有的號碼，如學生的準考證號、街道門牌號等）；（2）確定分段間隔k，對總體編號分段，當是整數(shù)時，取k=；當不是整數(shù)時，通過從總體中隨機剔除一些個體

3、使剩余個體數(shù)N能被n整除，這時k=；（3）在第一段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l；（4）按照事先確定的規(guī)則抽取樣本.通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號（l+k），再加k得到第3個個體編號（l+2k），依次進行下去，直到獲得整個樣本. 誤區(qū)警示 上述過程中，總體中的每個個體被取出（或被剔除）的可能性相等，也就是每個個體不被選?。ɑ虿槐惶蕹┑目赡苄砸蚕嗟龋硗庠诘谝欢纬闃訒r，采用的是簡單隨機抽樣，每個個體被抽到的可能性均等，所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍然都相等，這說明使用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過程是公平的.三、系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的聯(lián)系類別特點相互聯(lián)系適用范圍共同點簡單隨機

4、抽樣從總體中逐個抽取抽簽法和隨機數(shù)表法總體中的個體數(shù)較少抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多典題熱題知識點一 隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣的區(qū)別例1 從編號為150的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導彈的編號可能是（ ）A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32思路分析：可分為5組，每組10枚，采用系統(tǒng)抽樣，所選的號碼應該間隔相等且間隔為

5、10.答案：B例2 下列抽樣實驗中，最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是（ ）A.某市的4個區(qū)共有2 000名學生，且4個區(qū)的學生人數(shù)之比為3282，從中抽取200人入樣B.從某廠生產(chǎn)的2 000個電子元件中隨機抽取5個入樣C.從某廠生產(chǎn)的2 000個電子元件中隨機抽取200個入樣D.從某廠生產(chǎn)的20個電子元件中隨機抽取5個入樣思路分析：A中總體有明顯層次，不適用系統(tǒng)抽樣法；B中樣本容量很小，適宜用簡單隨機抽樣法中的隨機數(shù)表法；D中總體數(shù)很小，故適宜用抽簽法.只有C比較符合適用系統(tǒng)抽樣法.答案：C 方法歸納 簡單隨機抽樣適用于總體中的個體數(shù)較少時，系統(tǒng)抽樣適用于總體元素個數(shù)較多的抽樣.知識點二 系統(tǒng)抽樣的抽

6、樣方法與過程例3 為了了解濟南市高一學生實行新課標后期末考試數(shù)學科的成績，擬從參加考試的15 000名學生的數(shù)學成績中抽取容量為150的樣本.請用系統(tǒng)抽樣法寫出抽樣的過程.思路分析：由于總體容量恰能被樣本容量整除，所以分段間隔k=100；以下按系統(tǒng)抽樣的4個步驟抽取樣本.解：用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過程如下：對全體學生的數(shù)學成績進行編號：1，2，3，15 000；分段：由于樣本容量與總體容量的比是1100，所以我們可將總體平均分為150個部分，其中每一部分包含100個個體；在第一部分，即1號到100號中用簡單隨機抽樣，抽取一個號碼，比如是56；以56作為起始數(shù)，然后順次抽取156，256，356

7、，14 956.這樣就得到容量為150的一個樣本. 方法歸納 從上面的分析，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)抽樣有以下特點：（1）適用于個體數(shù)較多，但均衡的總體；（2）系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的聯(lián)系在于：在總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣；（3）在整個抽樣過程中，每個個體被抽取的幾率都是.例4 海濱中學有職工1 021人，其中管理人員20人.現(xiàn)從中抽取非管理人員40人，管理人員4人組成代表隊參加某項活動.你認為應如何抽樣？思路分析：由于樣本來自不同層次，所以適宜分別用不同的抽樣方法.從1 001名非管理人員中抽取40人，適宜用系統(tǒng)抽樣法；從20名管理人員中抽取4人，適宜用抽簽法.解：首先在1 0

8、01名非管理人員中抽取40人，用系統(tǒng)抽樣法抽樣過程如下：第一步：將1 001名職工用隨機方式編號；第二步：從總體中剔除1人，將剩下的1 000名職工重新編號（分別為001，002，1 000），并分成40段，每段25人；第三步：在第一段001，002，025這25個編號中，用簡單隨機抽樣法抽出一個（如003）作為起始號碼；第四步：將編號為003，028，053，978的個體抽出.然后再從20人中，抽取4人，用抽簽法，其操作過程如下：第一步：將20名管理人員用隨機方式編號，編號為01，02，20；第二步：將這20個號碼分別寫在一個小紙條上，揉成小球，制成號簽；第三步：把得到的號簽放入一個不透明的

9、盒子里，充分攪勻；第四步：從盒子中逐個抽取4個號簽，并記錄上面的編號；第五步：從總體中將與抽到的號簽的編號相一致的個體取出.由以上兩類方法得到的個體便是代表隊隊員. 方法歸納 （1）系統(tǒng)抽樣比簡單隨機抽樣更容易實施，可節(jié)約抽樣成本.（2）系統(tǒng)抽樣所得到的樣本的代表性和具體的編號有關；而簡單隨機抽樣抽取的樣本的代表性與個體的編號無關.如果編號的個體特征隨編號的變化呈現(xiàn)一定的周期性，可能會使系統(tǒng)抽樣的代表性很差.例如，如果學號按照男生單號女生雙號的方法編排，那么用系統(tǒng)抽樣的方法抽取的樣本就會是全部為男生或全部為女生，因此在編號時一定要采用隨機編號.（3）從對總體的代表性看，系統(tǒng)抽樣方法的第一段是簡

10、單隨機抽取，而以后為等距離抽取，不如簡單隨機抽樣中所有個體都是相互獨立的被選機會那樣有更強的代表性；但從抽取個體在總體中分布的均勻看，系統(tǒng)抽樣的個體比簡單隨機抽樣在總體中的分布更均勻，即從不同角度，兩種方法各有優(yōu)越性. 由此可見，采用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，與用簡單隨機抽樣法抽取樣本相比雖不能提高樣本的代表性，但抽樣過程操作起來方便很多.問題探究交流討論探究問題 在系統(tǒng)抽樣的過程中，哪些因素容易使抽取的樣本不具有代表性？該怎樣避免此類偏差的產(chǎn)生呢？ 探究過程：人物甲：我們在研究咱們班同學身高的時候發(fā)現(xiàn)了這樣一個問題，由于我們班每排有8個人，我們采用系統(tǒng)抽樣的時候抽樣距是8，結果我們計算結果總是不太合乎常理，后來我們發(fā)現(xiàn)主要是由于抽樣距規(guī)定的恰好與每排的人數(shù)相同，這樣我們在抽取的樣本很容易偏高或偏低，所以我們的結果誤差較大. 人物乙：我也想到一種情況：比如我們想了解某一時刻公交車上的人數(shù)，若我們選擇的每隔7天抽樣一次的話，可能也會產(chǎn)生較大的誤差，因為一周有7天，這樣做的話就不能合理地調查一周當中其他時間的乘車人數(shù)，所以不準確.人物丙：若個體的編號是按某種順序進行編排的，那么再利用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣時，就很可能產(chǎn)生偏高或偏低的情況，這樣統(tǒng)計的結果是不準確的，因為這樣所抽取的樣本已不能很好地代表總體的水平. 人