圓的一般方程.

1、.,4.1.2 圓的一般方程,.,圓的標準方程:,(x-a)2+(y-b)2=r2,特征：,直接看出圓心與半徑,復習,.,x2 y 2DxEyF0,由于a, b, r均為常數(shù),結論：任何一個圓方程可以寫成下面形式,動動手,.,1.是不是任何一個形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表示的曲線是圓呢？,思考,下列方程表示什么圖形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.,.,將,左邊配方，得,（1）當,時,它表示以,為圓心,以,為半徑的圓;,D2+E2-4F0,.,(2)當D2E24F0時，方程表示一個點 ；,(3

2、)當D2E24F0時，方程無實數(shù)解,不表示任何圖形,所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E2-4F0）可表示圓的方程,.,圓的一般方程：,x2 y 2DxEyF0,圓的一般方程與標準方程的關系：,(D2+E2-4F0),（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,沒有xy這樣的二次項,（2）標準方程易于看出圓心與半徑,一般方程突出形式上的特點：,x2與y2系數(shù)相同并且不等于0；,.,例1、判斷下列方程能否表示圓的方程,若能,寫出圓心與半徑,(1) x2+y2-2x+4y-4=0,(2) 2x2+2y2-12x+4y=0,(3) x2+2y2-6x+4y-1=0,(4) x2+y2-12x+6

3、y+50=0,(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0,是,圓心（1，-2）半徑3,是,圓心（3，-1）半徑,不是,不是,不是,.,已知圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心坐標為(-2,3),半徑為4,則D,E,F分別等于 2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圓的方程的充要條件是,練習,.,下列方程各表示什么圖形?若是圓則求出圓心、 半徑.,a,例2：,.,(1)圓的一般方程與圓的標準方程的聯(lián)系:,一般方程,標準方程,小結一:,.,典例精析,例1： 求過三點O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出這個圓的半徑和圓心坐標.,幾何方法,方法一：,y,x,M1(1,1

4、),M2(4,2),0,圓心：兩條弦的中垂線的交點,半徑：圓心到圓上一點的距離,.,因為O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圓上,待定系數(shù)法,方法二：,舉例,例1： 求過三點O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出這個圓的半徑和圓心坐標.,.,舉例,例1： 求過三點O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出這個圓的半徑和圓心坐標.,解：設所求圓的一般方程為：,因為O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圓上，則,即（x-4）2+（y+3）2=25,待定系數(shù)法,方法三：,.,小結二,(特殊情況時,可借助圖象求解更簡單),注意:求圓的方程時

5、,要學會根據(jù)題目條件,恰當選擇圓的方程形式:,若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標準方程較簡單.,若已知三點求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解.,.,例2.已知一圓過p(4 ,-2) .Q(-1 ,3)兩點，且在y軸上截到的線段長為4 ，求圓的方程。,解：設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0 令x=0, 得 y2+Ey+F=0 又|y1-y2|=4 (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 將P ,Q兩點的坐標代入得：,4D-2E+F=0 D-3E-F=0 ,由 得:D=-2 ,E=0 ,F=-12 或D=-10 ,E=-8 ,F=-4,.

6、,例3. 已知一曲線是與兩定點O(0,0)、A(3,0)距離的比為1/2的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線.,舉例,直接法,.,練習： 已知點P在圓C： 上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程。,.,練習：, 點P(3 ,0)是圓x2+y2-8x-2y+12=0內(nèi)一點，求過點P的最短弦所在直線方程。 圓C: x2+y2+2x+4y-3=0到直線x+y+1=0的距離為 的點有幾個？ 圓x2+y2-4x+2y+F=0與y軸交于A B兩點，圓心為C.若ACB=900 ,求F. 已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一個圓，求該圓半徑r的取值范圍。,.,1. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是圓的一般方程,其表達式為,(用配方法求解),3. 給出圓的一般方程,如何求圓心和半徑?,2. 圓的一般方程與圓的標準方程的聯(lián)系,一般方程,標準方程(圓心,半徑),小結,.,幾何方法,求圓心坐標 （兩條直線的交點）（