高中數(shù)學(xué)《垂直關(guān)系的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修

1、第11課時(shí)垂直關(guān)系的性質(zhì)1.理解直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理,能用圖形語言和符號語言表述這些定理,并能加以證明.2.能運(yùn)用直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單問題.裝修工人在安裝門窗時(shí),經(jīng)常使用鉛垂線對比門窗,測量門窗是否安裝得豎直,這是應(yīng)用了什么原理?裝修工人判斷的依據(jù)是什么?問題1:(1)上述情境中,裝修工人應(yīng)用了直線與平面垂直的性質(zhì)定理,因?yàn)殂U垂線受重力影響始終是與地面垂直的,當(dāng)裝修工人把鉛垂線與門的邊線靠近時(shí),觀察上下鉛垂線與門線間的間隔是否一致,當(dāng)線上間隔不同時(shí),說明門線與鉛垂線不平行,也就說明門安裝得不豎直.(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理及

2、表示:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符號表示: a,bab.問題2:敘述平面與平面垂直的性質(zhì)定理,并根據(jù)圖形用符號語言寫出這個(gè)定理.性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號表示:,=l,AB,且ABl于BAB.問題3:空間中垂直關(guān)系是如何轉(zhuǎn)化的?由線面垂直和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可知,線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系可用下圖表示:由上圖可以看出,幾種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化就是線面和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)交替運(yùn)用的結(jié)果.在線線垂直和線面垂直的轉(zhuǎn)化中,平面在其中起到了至關(guān)重要的作用,應(yīng)考慮線和線所在平面的特征,以找出需要證明的轉(zhuǎn)化.如

3、證線線垂直,可先證線面垂直,進(jìn)而由性質(zhì)定理得到線線垂直.因此,線面垂直關(guān)系是線線垂直、面面垂直關(guān)系的樞紐.問題4:關(guān)于線面垂直、面面垂直,還有其他重要結(jié)論嗎?直線和平面垂直的兩個(gè)重要結(jié)論:過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直.過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直.平面和平面垂直的兩個(gè)重要結(jié)論:若兩個(gè)平面垂直,則過第一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)作第二個(gè)平面的垂線必在第一個(gè)平面內(nèi).兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直第三個(gè)平面,則它們的交線垂直于第三個(gè)平面.1.已知a、b為異面直線,b與c垂直,則().A.acB.bcC.b與c相交D.不確定2.下列說法中正確的個(gè)數(shù)為().如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線

4、和這個(gè)平面垂直;過空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直;一條直線和一個(gè)平面不垂直,那么這條直線和平面內(nèi)的所有直線都不垂直;垂直于同一平面的兩條直線平行.A.1B.2C.3D.43.已知l,m是直線,是平面,給出下列說法:若,且,則;若=l,且l,則且;若l,則l.其中正確的是.4.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,直線SC平面ABCD,E是SA的中點(diǎn),求證:平面EDB平面ABCD.線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1中,EF與異面直線AC、A1D都垂直相交,求證:EFBD1.線面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用如圖,已知=AB,EC平面,C為垂足,ED平面,D為垂足.求

5、證:CDAB.面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖所示,ABC為正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中點(diǎn).求證:平面BDM平面ECA.已知a、b為異面直線,AB與a、b都垂直相交,若a,b,且=c.求證:ABc.已知底面為正方形的四棱錐PABCD的側(cè)棱PA底面ABCD,過點(diǎn)A在側(cè)面PAB內(nèi)作AEPB于E,過E作EFPC于F.那么圖中AF與PC的位置關(guān)系如何?如圖,在ABC中,BAC=60,線段AD平面ABC,E為CD上一點(diǎn),且平面ABE平面DBC.求證:點(diǎn)A在平面DBC內(nèi)的射影不可能是BCD的垂心.1.設(shè)a,b是兩條異面直線,下列說法中正確的是().A.有一平面與a

6、,b都垂直B.有且僅有一條直線與a,b都垂直C.過直線a有且僅有一平面與b平行D.過空間中任一點(diǎn)必可以作一直線與a,b都相交2.已知直線l平面:若直線ml,則m;若m,則ml;若m,則ml;若ml,則m,上述判斷正確的是().A.B.C.D.3.把RtABC斜邊上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有對.4.三棱錐PABC中,PB=PC,AB=AC,點(diǎn)D為BC中點(diǎn),AHPD于點(diǎn)H,連接BH,求證:平面ABH平面PBC.(2013年天津卷改編)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).證

7、明:B1C1CE.考題變式(我來改編):第11課時(shí)垂直關(guān)系的性質(zhì)知識體系梳理問題1:(1)垂直不平行不豎直(2) a,bab問題2:,=l, AB,且ABl于BAB問題3:線面垂直問題4:只有一個(gè)只有一條第一個(gè)垂直基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.D因?yàn)閎與c垂直,故b與c可能相交,也可能異面,于是,a與c的關(guān)系不確定.2.B錯(cuò)誤,無數(shù)條直線可能是平行直線,不能判斷直線和平面垂直;正確;錯(cuò)誤,與該直線在平面內(nèi)的正投影垂直的所有直線,都與該直線垂直;正確.3.錯(cuò)誤,反例是墻角處三個(gè)平面兩兩垂直.正確,因?yàn)槿绻粋€(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直.錯(cuò)誤,還可能l.4.解:連接AC交BD于點(diǎn)O,連接E

8、O,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn),且E是SA的中點(diǎn),所以EOSC.因?yàn)镾C平面ABCD,所以EO平面ABCD,且EO平面EDB,所以平面EDB平面ABCD.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】連接AB1,B1C,BD,DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,AC平面BDD1B1,ACBD1.同理BD1B1C,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1D B1C,EFB1C.又EFAC,EF平面AB1C,EFBD1.【小結(jié)】當(dāng)題目所給的條件垂直關(guān)系較多,但又需要證明平行關(guān)系時(shí),往往要考慮垂直的性質(zhì)定理,從而完成由垂直關(guān)系向平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.探究二:【解析】EC,AB

9、,ECAB,同理EDAB,即ABEC,ABED,又ECED=E,AB面ECD,而CD面ECD,ABCD.【小結(jié)】本題是線線垂直、線面垂直的循環(huán).證明線線垂直、則要先證明線面垂直,關(guān)鍵就是面的選擇,選擇過哪條直線的平面與另一條直線垂直.探究三:【解析】(1)取AC的中點(diǎn)F,連接MF、BF,則MFCE且MF=CE.又BDCE,BD=CE,MFBD,MF=BD,四邊形MFBD是平行四邊形,DMBF.EC平面ABC,EC平面ACE,平面ACE平面ABC.又BFAC,BF平面ACE.又DMBF,DM平面ACE.又DM平面BDM,平面BDM平面ECA.【小結(jié)】證明面面垂直的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn),就是在一個(gè)平面內(nèi)確

10、定另一個(gè)平面的垂線,一旦找錯(cuò)垂線,將給問題的解決帶來很大麻煩,也是不可證明的.確定這條垂線的基本方法就是根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì),要著眼于平面內(nèi)交線的垂線,若圖形中沒有現(xiàn)成的垂線,需要根據(jù)條件作出交線的垂線,再證明此直線垂直于另一個(gè)平面.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:如圖,過點(diǎn)B作BB1,則BB1a,ABBB1.又ABb,AB垂直于由b和BB1確定的平面.b,bc,同理,BB1c,c也垂直于由b和BB1確定的平面,ABc.應(yīng)用二:FPC,AF與PC相交,只要進(jìn)一步考察是否垂直.如果有AFPC,由已知EFPC,EFAF=F,得PC面AEF,PCAE.又已知AEPB,PCPB=P,得AE面PBC,AEBC.

11、而由PABC,ABBC,知BC面PAB,可知BCAE成立.AFPC成立.于是,圖中AF與PC垂直相交.應(yīng)用三:過點(diǎn)A作AHBE,H為垂足.平面ABE平面DBC,AH平面ABE,平面ABE平面DBC=BE,AH平面DBC,點(diǎn)H即為點(diǎn)A在平面DBC內(nèi)的射影.假設(shè)H是BCD的垂心,則BECD.AH平面BCD,DC平面DBC,AHDC.又AHBE=H,CD平面ABE.又AB平面ABE,CDAB.AD平面ABC,AB平面ABC,ADAB,又ADCD=D,AB平面ACD,ABAC,這與已知中BAC=60相矛盾,假設(shè)不成立,點(diǎn)A在平面DBC內(nèi)的射影不可能是BCD的垂心.基礎(chǔ)智能檢測1.CA中若有一平面與a,b都垂直,則ab,矛盾;B中將a,b平移到一個(gè)平面內(nèi),則與該平面垂直的直線與a,b都垂直;C正確;D中設(shè)過直線a且與b平行的平面為,則在平面內(nèi)過直線a之外的點(diǎn),不可能作一直線與a,b都相交.2.B 錯(cuò),還有可能m;正確;正確;正確.3.3平面BCD平面ACD,平面ADB平面BCD,平面ABD平面ADC.4.解:PB=PC,AB=AC,BD=DC,BCPD且BCAD,BC面PAD,面PAD面PBC.AHPD,面PAD面PBC=PD,AH面PB