高中數(shù)學(xué) （2.2.2 等差數(shù)列通項(xiàng)公式）示范教案 新人教A版必修

1、2.2.2等差數(shù)列通項(xiàng)公式從容說(shuō)課本節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學(xué)生明確等差中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)的公式，并能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)；讓學(xué)生明白一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是一個(gè)等差數(shù)列，使學(xué)生學(xué)會(huì)用圖象與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問(wèn)題.在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，學(xué)會(huì)探究.在教學(xué)過(guò)程中，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性及其在教學(xué)過(guò)程中的主體地位，通過(guò)等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追

2、求新知的創(chuàng)新意識(shí).通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，通過(guò)等差數(shù)列的圖象的應(yīng)用，通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透方程思想，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生積極探究，主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也提高了課堂的教學(xué)效果.教學(xué)重點(diǎn) 等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn) 等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題.教具準(zhǔn)備 多媒體及課件三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.明確等差中項(xiàng)的概念;2.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)公式，能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì);3.能用圖象與通

3、項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問(wèn)題.二、過(guò)程與方法1.通過(guò)等差數(shù)列的圖象的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透方程思想;2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，講練相結(jié)合，作好探究性學(xué)習(xí);3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn);2.通過(guò)體驗(yàn)等差數(shù)列的性質(zhì)的奧秘，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，哪位同學(xué)能回憶一下什么樣的數(shù)列叫等差數(shù)列？生 我回答，一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)

4、的差等于同一個(gè)常數(shù)，即an-a n-1=d(n2，nN *)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(通常用字母“d”表示).師 對(duì)，我再找同學(xué)說(shuō)一說(shuō)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式的內(nèi)容是什么？生1 等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式應(yīng)是an=a1+(n-1)d.生2 等差數(shù)列an還有兩種通項(xiàng)公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常數(shù)).師 好！剛才兩位同學(xué)說(shuō)得很好，由上面的兩個(gè)公式我們還可以得到下面幾種計(jì)算公差d的公式：d=an-a n-1；.你能理解與記憶它們嗎？ 生3 公式與記憶規(guī)律是項(xiàng)的值的差比上項(xiàng)數(shù)之間的差(下標(biāo)之差).合作探究探究?jī)?nèi)容：如果我們?cè)跀?shù)a與數(shù)b中間插入一個(gè)數(shù)

5、A，使三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么數(shù)A應(yīng)滿足什么樣的條件呢？師 本題在這里要求的是什么?生 當(dāng)然是要用a，b來(lái)表示數(shù)A.師 對(duì)，但你能根據(jù)什么知識(shí)求?如何求?誰(shuí)能回答?生 由定義可得A -a=b-A，即.反之，若，則A-a=b-A,由此可以得a,A,b成等差數(shù)列.推進(jìn)新課我們來(lái)給出等差中項(xiàng)的概念：若a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)我們前面的探究不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13中5是3與7的等差中項(xiàng)，也是1和9的等差中項(xiàng).9是7和11的等差中項(xiàng)，也是5和13的等差

6、中項(xiàng).方法引導(dǎo)等差中項(xiàng)及其應(yīng)用問(wèn)題的解法關(guān)鍵在于抓住a，A，b成等差數(shù)列2A=a+b，以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量間的等量關(guān)系或直接由a，A，b間的關(guān)系證得a，A，b成等差數(shù)列.合作探究師 在等差數(shù)列an中，d為公差，若m,n,p,qN*且m+n=p+q，那么這些項(xiàng)與項(xiàng)之間有何種等量關(guān)系呢？生 我得到了一種關(guān)系am+an=ap+aq.師 能把你的發(fā)現(xiàn)過(guò)程說(shuō)一下嗎？生 受等差中項(xiàng)的啟發(fā)，我發(fā)現(xiàn)a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.師 你所得的這關(guān)系是歸納出來(lái)的，歸納有利于發(fā)現(xiàn)，這很好，但歸納不能算是證明！我們是否可以對(duì)

7、這歸納的結(jié)論加以證明呢？生 我能給出證明，只要運(yùn)用通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項(xiàng)為a1，則am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.因?yàn)槲覀冇衜+n=p+q,所以上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.師 好極了！由此我們的一個(gè)重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列an的各項(xiàng)中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的和.另外，在等差數(shù)列中，若m+n=p+q,則上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.同樣地，我們還有：若m+n=2p,則am+an=2ap.這也是等差中項(xiàng)的內(nèi)容

8、.師 注意：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同學(xué)們可舉例說(shuō)明嗎?生 我舉常數(shù)列就可以說(shuō)明了.師 舉得好!這說(shuō)明在等差數(shù)列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分條件. 例題剖析【例1】 在等差數(shù)列an中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.師 在等差數(shù)列中通常如何求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)？生1 在通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式來(lái)求這一項(xiàng).生2 而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)(知道任意兩項(xiàng)就知道公差，這在前面已研究過(guò)了).生3 本題中，只已知一項(xiàng)和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式入手師 好，我們下面來(lái)解

9、，請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來(lái)解一解，誰(shuí)來(lái)解？生4 因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,所以可得d=a4-a3=7-2=5.又因?yàn)閍9=a4+(9-4)d=7+55=32，所以我們求出了a3=2，a9=32.【例2】 (課本P44的例2)某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4千米(不含4千米)計(jì)費(fèi)10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少元的車費(fèi)?師 本題是一道實(shí)際應(yīng)用題，它所涉及到的是什么知識(shí)方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題？生 這個(gè)實(shí)際應(yīng)用題可化歸為等差數(shù)列問(wèn)題來(lái)解決.師 為什么？生 根據(jù)題意，當(dāng)該市出

10、租車的行程大于或等于4 km時(shí)，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列來(lái)進(jìn)行計(jì)算車費(fèi).師 這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是多少?生 分別是11.2，1.2.師 好，大家計(jì)算一下本題的結(jié)果是多少?生 需要支付車費(fèi)23.2元.(教師按課本例題的解答示范格式)評(píng)述：本例是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，做此題的目的是讓大家學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出等差數(shù)列的模型，用等差數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.課堂練習(xí)1.在等差數(shù)列an中，(1)若a5=a,a10=b,求a15.解：由等差數(shù)列an知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.(2)若a3+a8=m,

11、求a5+a6.解：等差數(shù)列an中，a5+a6=a3+a8=m.(3)若a5=6,a8=15,求a14.解：由等差數(shù)列an得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.從而a14=a5+(14-5)d=6+93=33.(4)已知a1+a2+a5=30,a6+a7+a10=80，求a11+a12+a15的值.解：等差數(shù)列an中，因?yàn)?+6=11+1,7+7=12+2,所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,從而(a11+a12+a15)+(a1+a2+a5)=2(a6+a7+a10),因此有(a11+a12+a15)=2(a6+a7+a10)-(a1+a2+a5)=280-30=130.2.讓學(xué)生完成課本P45練習(xí)5.教師對(duì)學(xué)生的完成情況作出小結(jié)與評(píng)價(jià).方法引導(dǎo)此類問(wèn)題的解題的關(guān)鍵在于靈活地運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，因此，首先要熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，其次要注意各基本量之間的關(guān)系及其它們的取值范圍.課堂小結(jié)師 通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識(shí)?有何體會(huì)？生 通過(guò)今天的學(xué)習(xí),明確等差中項(xiàng)的概念;進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì). (讓學(xué)生自己來(lái)總結(jié)，將