高考數(shù)學(xué)浙江省專用復(fù)習(xí)專題測(cè)試第十二章概率與統(tǒng)計(jì)123離散型隨機(jī)變量及其分布列

1、考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量及其分布列 1.(2017課標(biāo)全國(guó)理,13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.,五年高考,答案1.96,解析本題主要考查二項(xiàng)分布. 由題意可知XB(100,0.02),由二項(xiàng)分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2+3=. (2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),則所求事件的概率為 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) =+ =

2、. 所以,這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為.,技巧點(diǎn)撥解決隨機(jī)變量分布列問(wèn)題的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量可以取哪些值以及取各個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率,只有正確理解隨機(jī)變量取值的意義才能解決這個(gè)問(wèn)題,理解隨機(jī)變量取值的意義是解決這類問(wèn)題的必要前提.,4.(2017山東理,18,12分)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受

3、甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.,解析本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列,期望. (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M, 則P(M)=. (2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則 P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=. 因此X的分布列為,解后反思(1)求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟: 理解X的含義,寫(xiě)出X所有可能的取值. 求X取每個(gè)值時(shí)的概率; 寫(xiě)出X的分布列. (2

4、)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率,在求解時(shí),要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理,古典概型概率公式等知識(shí).,5.(2013浙江,19,14分)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球得2分,取出一個(gè)藍(lán)球得3分. (1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時(shí),從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球,記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求的分布列; (2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù).若E=,D =,求abc.,解析(1)由題意得=2,3,4,5,6. 故P(=2)=, P(=3)=, P(=4)

5、=, P(=5)=, P(=6)=. 所以的分布列為,評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)方差等概念,同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí).,6.(2016山東,19,12分)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ).在一輪活動(dòng)中,如果兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分;如果只有一人猜對(duì),則“星隊(duì)”得1分;如果兩人都沒(méi)猜對(duì),則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是;每輪活動(dòng) 中甲、乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求: (1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率; (2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分

6、布列和數(shù)學(xué)期望E(X).,解析(1)記事件A:“甲第一輪猜對(duì)”,記事件B:“乙第一輪猜對(duì)”,記事件C:“甲第二輪猜對(duì)”,記事件D:“乙第二輪猜對(duì)”,記事件E:“星隊(duì)至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”. 由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC, 由事件的獨(dú)立性與互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C) P() =+2 =. 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為. (2)由題意,隨機(jī)變量X可能

7、的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性,得 P(X=0)=,評(píng)析本題考查了隨機(jī)事件發(fā)生的概率及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,確定隨機(jī)變量可能的取值是解題的關(guān)鍵.屬于中檔題.,7.(2015重慶,17,13分)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè). (1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率; (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.,解析(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”,則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)= =. (2)X的所有可能取值為0,1,2,且 P(X=

8、0)=,P(X=1)=, P(X=2)=. 綜上知,X的分布列為,8.(2015四川,17,12分)某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì). (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率; (2)某場(chǎng)比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,解析(1)由題意,參加集訓(xùn)的男、女生各有6名. 參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為=. 因此,

9、A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1-=. (2)根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3. P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=. 所以X的分布列為,因此,X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) =1+2+3=2.,評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí),考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)與方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.,解析(1)設(shè)每天A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x噸,y噸,相應(yīng)的獲利為z元,則有 目標(biāo)函數(shù)為z=1 000 x+1 200y. 當(dāng)W=12時(shí),表示的平面區(qū)域如圖1,三個(gè)頂

10、點(diǎn)分別為,A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 當(dāng)z=1 000 x+1 200y變形為y=-x+, 當(dāng)x=2.4,y=4.8時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大, 最大獲利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160. 當(dāng)W=15時(shí),表示的平面區(qū)域如圖2,三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0). 將z=1 000 x+1 200y變形為y=-x+, 當(dāng)x=3,y=6時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大, 最大獲利Z=zmax=31 000+61 200=10 200. 當(dāng)W=18時(shí),表示的平面區(qū)域如圖3, 四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0)

11、,B(3,6),C(6,4),D(9,0). 將z=1 000 x+1 200y變形為y=-x+, 當(dāng)x=6,y=4時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,評(píng)析本題考查了線性規(guī)劃,離散型隨機(jī)變量的分布列與均值及概率的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.,11.(2014天津,16,13分)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同). (1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率; (2)設(shè)X為選出

12、的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,評(píng)析本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式,互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.,12.(2014江西,21,14分)隨機(jī)將1,2,2n(nN*,n2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組,每組n個(gè)數(shù).A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2.記=a2-a1,=b2-b1. (1)當(dāng)n=3時(shí),求的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)令C表示事件“與的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C); (3)對(duì)(2)中的事件C,表示C的對(duì)立事件,判斷P(C)和P()的大小關(guān)系,并

13、說(shuō)明理由.,評(píng)析本題主要考查隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望及概率和數(shù)學(xué)歸納法,同時(shí)考查學(xué)生的邏輯推理能力及分析、解決問(wèn)題的能力.屬難題.,解析(1)依題意,p1=P(40120)=0.1. 由二項(xiàng)分布知,在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為p=(1-p3)4+(1-p3)3p3= +4=0.947 7. (2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位:萬(wàn)元). (i)安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000. (ii)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 依題意知,當(dāng)40X80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 0

14、00-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;當(dāng)X80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)=p2+p3=0.8,由此得Y的分布列如下:,評(píng)析本題考查了概率和離散型隨機(jī)變量的分布列.考查了分類討論方法和運(yùn)算求解能力.,則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=() A.B.2C.D.3,14.(2013廣東,4,5分)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為,以下為教師用書(shū)專用,答案A由已知條件可知E(X)=1+2+3=,故選A.,評(píng)析本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望,正確運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵.,15.(2015湖南,1

15、8,12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng). (1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率; (2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,解析(1)記事件A1=從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球, A2=從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球, B1=顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng), B2=顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng), C=顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng). 由題意,A1與A2相互獨(dú)立,A1與A

16、2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2. 因?yàn)镻(A1)=,P(A2)=, 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=, P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =P(A1)P()+P()P(A2) =P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2) =+=. 故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.,16.(2014重慶,18,13分)一盒中裝有9張各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片. (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的

17、概率; (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. (注:若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足abc,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)),評(píng)析本題考查概率的計(jì)算,隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.其中概率的計(jì)算要求較高,不過(guò)整體難度不大,屬中等偏易題.,17.(2014山東,18,12分)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C,D,某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點(diǎn)在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球,隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為,在D上的概率為;對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球,小明回

18、球的落點(diǎn)在C上的 概率為,在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來(lái)球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響. 求: (1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率; (2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.,解析(1)記Ai為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=. 記Bi為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=. 記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”. 由題意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,

19、 由事件的獨(dú)立性和互斥性,得 P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) =+=, 所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為. (2)由題意,隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6,18.(2013課標(biāo)全國(guó),19,12分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn);如果n=4,再?gòu)倪@

20、批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn). 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為 優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立. (1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率; (2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.,19.(2013北京,16,13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖.空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市,并停留2

21、天. (1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率; (2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.(結(jié)論不要求證明),解析設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i=1,2,13). 根據(jù)題意,P(Ai)=,且AiAj=(ij). (1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”,則B=A5A8.所以P(B)=P(A5A8)=P(A5)+P(A8)=. (2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,且 P(X=1)=P(A3A6A7A11) =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=, P(X=2)=P(A1

22、A2A12A13) =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=. 所以X的分布列為,故X的期望EX=0+1+2=. (3)從3月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.,20.(2013福建,16,13分)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案,方案甲的中獎(jiǎng)率為,中獎(jiǎng)可以獲得2分;方案乙的中獎(jiǎng)率為,中獎(jiǎng)可以獲得3分;未中獎(jiǎng)則不得分.每人有 且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品. (1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng),小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng),記他們的累計(jì)得分為X,求X3的概率; (2)若小明、小紅兩

23、人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽 獎(jiǎng),問(wèn):他們選擇何種方案抽獎(jiǎng),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大?,解析解法一:(1)由已知得,小明中獎(jiǎng)的概率為,小紅中獎(jiǎng)的概率為,且兩人中獎(jiǎng)與否互不影 響. 記“這2人的累計(jì)得分X3”的事件為A, 則事件A的對(duì)立事件為“X=5”, 因?yàn)镻(X=5)=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即這2人的累計(jì)得分X3的概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1,都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1),選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2). 由已知可得,X1B,X2B, 所以E(X1)=2=,E(X2)=2

24、=, 從而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=. 因?yàn)镋(2X1)E(3X2), 所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大. 解法二:(1)由已知得,小明中獎(jiǎng)的概率為,小紅中獎(jiǎng)的概率為,且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響.,評(píng)析本題主要考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí).,21.(2013山東,19,12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相 互獨(dú)立. (1)分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概

25、率; (2)若比賽結(jié)果為30或31,則勝利方得3分、對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為32,則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.,解析(1)記“甲隊(duì)以30勝利”為事件A1,“甲隊(duì)以31勝利”為事件A2,“甲隊(duì)以32勝利”為事件A3, 由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立, 故P(A1)=, P(A2)=, P(A3)=. 所以,甲隊(duì)以30勝利、以31勝利的概率都為,以32勝利的概率為. (2)設(shè)“乙隊(duì)以32勝利”為事件A4, 由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,所以 P(A4)=. 由題意,隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3. 根據(jù)事件的互斥性得,評(píng)析本題考查古典概型、相互獨(dú)立、互斥、

26、分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,考查邏輯推理能力,運(yùn)算求解能力,以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.,22.(2013陜西,19,12分)在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上,有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱,由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷,他必選1號(hào),不選2號(hào),另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài),因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率; (2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.,解析(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手

27、”,B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”, 則P(A)=,P(B)=. 事件A與B相互獨(dú)立, 觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為 P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B) =. (2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”, 則P(C)=, X可能的取值為0,1,2,3,且取這些值的概率分別為 P(X=0)=P()=, P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C) =+=,23.(2013江西,18,12分)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì).游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點(diǎn),再?gòu)腁1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量

28、,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(duì). (1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率; (2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,24.(2013遼寧,19,12分)現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答. (1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率; (2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是,答對(duì)每 道乙類題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù),求X的分布列 和數(shù)學(xué)期望.,考點(diǎn)二均值與方差 1.(2017浙江,8,4分)已知隨機(jī)變量i滿足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=

29、1,2.若0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),答案A本題考查隨機(jī)變量的概念及其分布列,隨機(jī)變量的期望、方差的計(jì)算,考查推理運(yùn)算能力,利用作差比較法比較兩式的大小,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較兩式的大小. 解法一:E(1)=0(1-p1)+1p1=p1, 同理,E(2)=p2,又00,(p1-p2)(1-p1-p2)0. D(1)D(2).故選A. 解法二:同解法一知E(1)E(2),D(1)=p1-,D(2)=p2-, 令f(x)=x-x2,則f(x)在上為增函數(shù),0p1p2,f(p1)f(p2),即D(1)D(2).故選A.,2.(2014浙江,9,5分)

30、已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球,乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m3,n3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒中. (a)放入i個(gè)球后,甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為i(i=1,2); (b)放入i個(gè)球后,從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i=1,2). 則() A.p1p2,E(1)E(2) C.p1p2,E(1)E(2)D.p1p2,E(1)E(2),答案A當(dāng)i=1時(shí),若從乙盒中抽取的1個(gè)球?yàn)榧t球,記從甲盒中取1個(gè)球是紅球的事件為A1,則P(A1)=. 若從乙盒中抽取的1個(gè)球?yàn)樗{(lán)球,記從甲盒中取1個(gè)球是紅球的事件為A2,則P(A2)= ,而A1與A2互斥,則p1=P(A1+A2)=P(

31、A1)+P(A2)=.此時(shí),1的取值為1或2,P(1=1)= ,P(1=2)=,則E(1)=1+2=.當(dāng)i=2時(shí),若從乙盒中抽取的2個(gè)球都為紅 球,記從甲盒中取1個(gè)球是紅球的事件為B1,則P(B1)=. 若從乙盒中抽取的2個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球,記從甲盒中取1個(gè)球是紅球的事件為B2,則P(B2)=. 若從乙盒中抽取的2個(gè)球都是藍(lán)球,記從甲盒中取1個(gè)球是紅球的事件為B3,則P(B3)=.因 為B1,B2,B3互斥,則p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)= =.則p1-p2=0,即有p1p2.此時(shí),2的取值為1,2,3.P(2=1)=,P(2,=2)=,P(2=3)=

32、,則E(2)=1+2+3=3p2=,則有E (1)p2,E(1)E(2),故選A.,評(píng)析本題考查隨機(jī)事件的概率,組合數(shù)的計(jì)算,離散型隨機(jī)變量的分布列和期望.考查分類討論思想和運(yùn)算求解能力,屬于難題.,3.(2014浙江,12,4分)隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(=0)=,E()=1,則D()=.,答案,解析設(shè)P(=1)=p,則P(=2)=-p,從而由E()=0+1p+2=1,得p=.故D()=(0-1)2+ (1-1)2+(2-1)2=.,4.(2016江蘇,4,5分)已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是.,答案0.1,解析=5.1, 則該組數(shù)據(jù)的方差 s

33、2= =0.1.,5.(2016四川,12,5分)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.,答案,解析同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,至少有一枚硬幣正面向上的概率為1-=,且XB , 均值是2=.,評(píng)析判斷X服從二項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵.,6.(2015天津,16,13分)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)

34、會(huì)”,求事件A發(fā)生的概率; (2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,解析(1)由已知,有 P(A)=. 所以,事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). 所以,隨機(jī)變量X的分布列為,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1+2+3+4=.,評(píng)析本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式,互斥事件,離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.屬中等難度題.,7.(2015福建,16,13分)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該

35、銀行取錢(qián)時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定. (1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率; (2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,評(píng)析本題主要考查古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí),考查必然與或然思想.,8.(2014福建,18,13分)為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸

36、出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額. (1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求: (i)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率; (ii)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由.,解析(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X元. (i)依題意,得P(X=60)=, 即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.

37、 (ii)依題意,得X的所有可能取值為20,60. P(X=60)=,P(X=20)=, 即X的分布列為,所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)=200.5+600.5=40(元). (2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元. 所以,先尋找期望為60元的可能方案. 對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1. 對(duì)于面值由20元和40元組成的情況,同

38、理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2. 以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析: 對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1元,則X1的分布列為,9.(2014大綱全國(guó),20,12分)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立. (1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率; (2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.,解析記Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備,i=0,1,2, B表示事件:甲需使

39、用設(shè)備, C表示事件:丁需使用設(shè)備, D表示事件:同一工作日至少3人需使用設(shè)備. (1)D=A1BC+A2B+A2C, P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3分) 所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2C) =P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C) =0.31.(6分) (2)X的可能取值為0,1,2,3,4,則 P(X=0)=P(A0) =P()P(A0)P() =(1-0.6)0.52(1-0.4) =0.06,P(X=1)=P(BA0+A0C+A1) =P(B)P(A

40、0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P() =0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25, P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分) 數(shù)學(xué)期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+4 0.06

41、=2.(12分),10.(2014安徽,17,12分)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比 賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率; (2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).,解析用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”, 則P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+

42、P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) =+=. 所以甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率為. (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4),評(píng)析本題考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生、互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生、分布列、均值等概率知識(shí);考查應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算求解能力;準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵,準(zhǔn)確運(yùn)算求解是得

43、分的關(guān)鍵. 以下為教師用書(shū),11.(2014江蘇,22,10分)盒中共有9個(gè)球,其中有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球,這些球除顏色外完全相同. (1)從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球,求取出的2個(gè)球顏色相同的概率P; (2)從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球,其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為x1,x2,x3,隨機(jī)變量X表示x1,x2,x3中的最大數(shù).求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X).,以下為教師用書(shū)專用,因此隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 E(X)=2+3+4=.,解析(1)取到的2個(gè)顏色相同的球可能是2個(gè)紅球、2個(gè)黃球或2個(gè)綠球, 所以P=. (2)隨機(jī)變量X所有可能的取值為2,3,4. X=4表示的隨機(jī)事件是“取到的

44、4個(gè)球是4個(gè)紅球”,故P(X=4)=; X=3表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是3個(gè)紅球和1個(gè)其他顏色的球或3個(gè)黃球和1個(gè)其他顏色的球”,故P(X=3)=; 于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-=. 所以隨機(jī)變量X的概率分布如下表:,評(píng)析本題主要考查排列與組合、離散型隨機(jī)變量的均值等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.,12.(2014湖南,17,12分)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和. 現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立. (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率; (2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元;若

45、新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.,解析記E=甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功,F=乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功,由題設(shè)知P(E)=,P()=,P(F)= ,P()=,且事件E與F,E與,與F,與都相互獨(dú)立. (1)記H=至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功,則=, 于是P()=P()P()=, 故所求的概率為P(H)=1-P()=1-=. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬(wàn)元),則X的可能取值為0,100,120,220,因?yàn)镻(X=0)=P()=,P (X=100)=P(F)=,P(X=120)=P(E)=, P(X=220)=P(EF)=. 故所求的分布列為,數(shù)學(xué)期望為 E(X)=

46、0+100+120+220 =140.,1.(2017浙江寧波二模(5月),4)隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,則D(X)=() A.B. C.D.,三年模擬,一、選擇題,A組 20152017年高考模擬基礎(chǔ)題組,答案B設(shè)P(X=1)=m,則P(X=2)=-m,所以0+1m+2=1,因此m=,所以D(X)=E(X2)- E(X)2=02+12+22-12=,故選B.,2.(2017浙江臺(tái)州期末質(zhì)量評(píng)估,3)已知隨機(jī)變量B,則E()=() A.3B.2C.D.,答案C由二項(xiàng)分布的期望公式知,E()=.,知識(shí)拓展如果隨機(jī)變量服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布(即B(n,p),

47、則其期望與方差分別是E()=np,D()=np(1-p).,3.(2017浙江溫州2月模擬,5)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為,則EX=2的充要條件是() A.p1=p2B.p2=p3 C.p1=p3D.p1=p2=p3,答案C由p1+p2+p3=1,得p2=1-p1-p3. 若EX=2,則p1+2p2+3p3=2,將代入,得p1=p3. 反之檢驗(yàn),亦成立.故選C.,4.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,8)某校高三有四名同學(xué)想?yún)⒓痈咝＝M織的三位一體招生考試,他們每人只能從三所高校中隨機(jī)選擇一所進(jìn)行報(bào)考,假設(shè)每人對(duì)三所高校的選擇都是等可能的,最終被這四名同學(xué)選擇的高校有所,則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)

48、期望是( ) A.B. C. D.,答案D的所有可能值為1,2,3. P(=1)=;P(=2)=;P(=3)= .因此,E=1+2+3=,故選D.,5.(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷四,6)隨機(jī)變量X的分布列如下:,若數(shù)學(xué)期望E(X)=10,則方差D(X)=() A.30B.35C.40D.50,答案D由條件得解得a=0.4,b=0.2,故D(X)=(0-10)20.1+(5-10)20.4+(10-10)20.2+ (20-10)20.3=50.,二、填空題,答案1;,解析由期望的定義知,E=0+1+2=1,方差D=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=.,答案3;2,7.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,14)袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球,每次從中任取一個(gè)球,每次取出黑球不再放回,直到取出白球?yàn)橹?設(shè)取球次數(shù)為,則E=,D=.,解析隨機(jī)變量的分布列如下:,8.(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一,15)甲、乙兩個(gè)袋子中均裝有紅、白兩種顏色的小球,這些小球除顏色外完全相同,其中甲袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)白球,乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球.現(xiàn)分