因動點產(chǎn)生的直角三角形問題(中考壓軸題)

1、因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“12廣州24”，拖動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當直線與圓相切時，符合AMB90的點M只有1個請打開超級畫板文件名“12廣州24”，拖動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當直

2、線與圓相切時，符合AMB90的點M只有1個思路點撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個2當直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合AMB90的點M有2個；當直線l與圓相切時，符合AMB90的點M只有1個3靈活應用相似比解題比較簡便滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當ACD的面積等于ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側(cè)有對應的點D設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H由BD/AC，得D

3、BGCAO所以所以，點D的坐標為因為AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標為圖2 圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了聯(lián)結(jié)GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以點M1的坐標為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性，直線l還可以是考點伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO

4、3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點C例2 2012年杭州市中考第22題在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點A(1,k)和點B(1,k)（1）當k2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值動感體驗請打開幾何畫板文件名“12杭州22”，拖動表示實數(shù)k的點在y軸上運動，可以體驗到，當k0并且在拋物線的對稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大觀察拋物線的頂點Q與O的位置

5、關(guān)系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上請打開超級畫板文件名“12杭州22”，拖動表示實數(shù)k的點在y軸上運動，可以體驗到，當k0并且在拋物線的對稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大觀察拋物線的頂點Q與O的位置關(guān)系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上 思路點撥1由點A(1,k)或點B(1,k)的坐標可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是題目中的k都是一致的2由點A(1,k)或點B(1,k)的坐標還可以知道，A、B關(guān)于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O3根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當Q落在O上是，ABQ是以AB為直徑的直角三角形滿分解答（1）因為反比例函數(shù)的圖象過點A(1,k)，所以

6、反比例函數(shù)的解析式是當k2時，反比例函數(shù)的解析式是（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k0當k0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大拋物線yk(x2x1)的對稱軸是直線 圖1所以當k0且時，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大（3）拋物線的頂點Q的坐標是，A、B關(guān)于原點O中心對稱，當OQOAOB時，ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如圖2），（如圖3）圖2 圖3考點伸展如圖4，已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否

7、成為正方形？如圖5，當A、C關(guān)于直線yx對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例3 2011年沈陽市中考第25題如圖1，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C(0，3)，對稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求直線BC的函數(shù)表達式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限當線段時，求tanCED的值；當以C、D、E為頂點的三角形

8、是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補出圖形，以便作答圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11沈陽25”，拖動點E或F在y軸上運動，可以體驗到，CDE有兩次機會成為等腰直角三角形雙擊按鈕“PQ3”可以準確顯示時的位置思路點撥1第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題2第（3）題的關(guān)鍵是求點E的坐標，反復用到數(shù)形結(jié)合，注意y軸負半軸上的點的縱坐標的符號與線段長的關(guān)系3根據(jù)C、D的坐標，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點E的坐標就簡單了滿分解答（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，代入點C(0，3)，得所以拋物線的函數(shù)

9、表達式為（2）由，知A(1，0)，B(3，0)設直線BC的函數(shù)表達式為，代入點B(3，0)和點C(0，3)，得 解得，所以直線BC的函數(shù)表達式為（3）因為AB4，所以因為P、Q關(guān)于直線x1對稱，所以點P的橫坐標為于是得到點P的坐標為，點F的坐標為所以，進而得到，點E的坐標為直線BC:與拋物線的對稱軸x1的交點D的坐標為（1，2）過點D作DHy軸，垂足為H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，圖2 圖3 圖4考點伸展第（3）題求點P的坐標的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標，再求出CE的中點F的坐標，把點F的縱坐標代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個

10、值就是點P的橫坐標例4 2011年浙江省中考第23題設直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線（1）已知直線；和點C(0，2)，則直線_和_是點C的直角線（填序號即可）；（2）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線l1與l2的解析式 圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11浙江23”，拖動點P在OC上運動，可以體驗到，APB有兩個時刻可以成為直角，此時BCPPOA答案（1）直線和是

11、點C的直角線（2）當APB90時，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當OP6時，l1：， l2：y2x6如圖3，當OP1時，l1：y3x1， l2：圖2 圖3例5 2010年北京市中考第24題在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上（1）求點B的坐標；（2）點P在線段OA上，從點O出發(fā)向點A運動，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到點D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當點P運動時，點C、D也隨之運動）當?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；若點P從點O出發(fā)向點A作勻

12、速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從點A出發(fā)向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位（當點Q到達點O時停止運動，點P也停止運動）過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點F，延長QF到點M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當點Q運動時，點M、N也隨之運動）若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10北京24”，拖動點P從O向A運動，可以體驗到，兩個等腰直角三角形的邊有三個時刻可以共線思路點撥1這個題目最大的障礙，莫過于無圖了2把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表

13、示這些線段的長3點C的坐標始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計算此刻OP的長4當兩個等腰直角三角形有邊共線時，會產(chǎn)生新的等腰直角三角形，列關(guān)于t的方程就可以求解了滿分解答(1) 因為拋物線經(jīng)過原點，所以 解得，（舍去）因此所以點B的坐標為（2，4）(2) 如圖4，設OP的長為t，那么PE2t，EC2t，點C的坐標為(3t, 2t)當點C落在拋物線上時，解得如圖1，當兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時，點P、Q重合此時3t10解得如圖2，當兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此時解得如圖3，當兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，PQC是等腰直角

14、三角形，PQPD此時解得 圖1 圖2 圖3考點伸展在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值如圖5，當P、Q重合時，兩圓內(nèi)切，如圖6，當兩圓外切時， 圖4 圖5 圖6例6 2009年嘉興市中考第24題如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N，使M、N兩點重合成一點C，構(gòu)成ABC，設（1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09嘉興24”，拖動點B在AN上運動，可以體驗到，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；CAB和ACB可以

15、成為直角，CBA不可能成為直角；觀察函數(shù)的圖象，可以看到，圖象是一個開口向下的“U”形，當AB等于1.5時，面積達到最大值思路點撥1根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關(guān)于x的不等式組，可以求得x的取值范圍2分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性3把ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況滿分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無實根若AB為斜邊，則，解得，滿足若BC為斜邊，則，解得，滿足因此當或時，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作

16、于D，設，ABC的面積為S，則如圖2，若點D在線段AB上，則移項，得兩邊平方，得整理，得兩邊平方，得整理，得所以（）當時（滿足），取最大值，從而S取最大值 圖2 圖3如圖3，若點D在線段MA上，則同理可得，（）易知此時綜合得，ABC的最大面積為考點伸展第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運算：設，例如在圖2中，由列方程整理，得所以因此例 7 2008年河南省中考第23題如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度當

17、其中一個動點到達終點時，他們都停止運動設M運動t秒時，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設點M在線段OB上運動時，是否存在S4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由；在運動過程中，當MON為直角三角形時，求t的值圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖動點M從A向B運動，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗到，當M在AO上時，圖象是開口向下的拋物線的一部分；當M在OB上時，S隨t的增大而增大觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4觀察MON的形狀，可以體驗到，MON可以兩次成為直角三角形，不存在ONM90的可能思路點撥1第（1）題說明ABC是等腰三角形，暗示了兩個

18、動點M、N同時出發(fā)，同時到達終點2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對應的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90的可能滿分解答（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點A的坐標是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所以如圖2，當M在AO上時，OM2t，此時定義域為0t2如圖3，當M在OB上時，OMt2，此時定義域為2t5 圖2

19、圖3把S4代入，得解得，（舍去負值）因此，當點M在線段OB上運動時，存在S4的情形，此時如圖4，當OMN90時，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當OMN90時，N與C重合，不存在ONM90的可能所以，當或者時，MON為直角三角形 圖4 圖5考點伸展在本題情景下，如果MON的邊與AC平行，求t的值如圖6，當ON/AC時，t3；如圖7，當MN/AC時，t2.5 圖6 圖7例8 2008年河南省中考第23題如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動設M運動t秒時，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設點M在線段OB上運動時，是否存在S4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由；在運動過程中，當MON為直角三角形時，求t的值圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖