02 貝葉斯決策理論.ppt

1、模式識(shí)別貝葉斯決策理論,mqy_,一 最簡(jiǎn)單的貝葉斯分類算法,還使用前面的例子：鱸魚(sea bass)和鮭魚(salmon)。,使用一個(gè)特征亮度對(duì)這兩種魚進(jìn)行表示。 新來(lái)了一條魚特征是x(亮度)，怎么根據(jù)特征x確定它到底是鱸魚1還是鮭魚2？ 已知數(shù)據(jù)：鱸魚類標(biāo)號(hào)1，鮭魚類標(biāo)號(hào)2。鱸魚總數(shù)量占所有魚總數(shù)量的比率為P(1)，鮭魚總數(shù)量占所有魚總數(shù)量的比率為P(2)。由鱸魚的分布得知這條魚的亮度x在分類為鱸魚時(shí)出現(xiàn)的概率為p(x|1),由鮭魚的分布得知這條魚的亮度x在分類為鮭魚時(shí)出現(xiàn)的概率為p(x|2)。,如何求解？可以求出x屬于鱸魚1的概率P(1|x)和x屬于鮭魚2的概率P(2|x)。如果P(1

2、|x)P(2|x)，就認(rèn)為x是鱸魚?，F(xiàn)在的問題是如何求P(1|x)和P(2|x)。,有一個(gè)概率公式：,從而推出：,換一種寫法：,這就是著名的貝葉斯公式。其中P(j)叫做先驗(yàn)概率，就是類別出現(xiàn)的可能性；p(x|j)叫條件概率，就是在j時(shí)x出現(xiàn)的可能性；p(j|x)叫后驗(yàn)概率；p(x)是該樣例出現(xiàn)的可能性。 因此：,對(duì)于上面的問題：,如果p(1|x)p(2|x)，那么就認(rèn)為x屬于1，即這條魚是鱸魚。同理于：,這幾個(gè)基本數(shù)據(jù)都已經(jīng)給出了，因此可以計(jì)算出不等式的結(jié)果。 如果p(1|x)p(2|x)，那么就認(rèn)為x屬于2，即這條魚是鮭魚。同理于：,二 貝葉斯決策算法,上面的分類有幾個(gè)主要限制： 特征向量中

3、只包含一個(gè)特征：亮度。 只有兩個(gè)類別：鱸魚和鮭魚。 僅僅允許分類，而不是根據(jù)分類采取行動(dòng)。同時(shí)，沒有加入損失控制：例如鱸魚比鮭魚貴。如果鱸魚的罐頭里裝入了鮭魚，那么客戶會(huì)很生氣；如果鮭魚的罐頭里裝入了鱸魚，那么客戶很難感到有損失。那么這個(gè)時(shí)候分類后采取的行動(dòng)就要偏向于便宜的鮭魚。 下面就看突破這幾個(gè)限制的比較通用的貝葉斯分類器是什么樣的。,為了解決第一個(gè)顯示，使用向量x代替原來(lái)的單變量x。x就叫做特征向量。比如鱸魚鮭魚分類的例子中，可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)特征向量(x1,x2)，其中x1表示亮度，x2表示長(zhǎng)度。,定義類別總共有c個(gè)：1,2,c，第j個(gè)分類為j。 此時(shí)，x屬于類別j的概率依然用這個(gè)公式計(jì)

4、算：,但是，并不是簡(jiǎn)單地將x歸于具有最大p(j|x)值的那個(gè)類別j。因?yàn)橐紤]損失： 定義進(jìn)行第i個(gè)行動(dòng)(比如將樣例歸于第i個(gè)類別)這種行為表示為：i。 在一個(gè)樣例的真正類別為j時(shí)，進(jìn)行第i個(gè)行動(dòng)造成的損失是：(i|j)。 那么進(jìn)行第i個(gè)行動(dòng)的總損失：,這里將每個(gè)類別為真正類別時(shí)采取第i個(gè)行動(dòng)造成的損失都加起來(lái)，作為采取第i個(gè)行動(dòng)的總損失。 那么每個(gè)行動(dòng)的總損失都可以求出來(lái)，采取其中總損失最小的行動(dòng)。比如行動(dòng)k最小，對(duì)應(yīng)的行動(dòng)是將樣例歸于第k個(gè)類別，那么就如此進(jìn)行分類。,舉例：貝葉斯決策算法在兩類問題中的決策。,定義,，是在一個(gè)樣例的真正類別為j時(shí)，進(jìn)行第i個(gè)行動(dòng)造成的損失。 采取第1個(gè)行動(dòng)時(shí)

5、的總損失：,采取第2個(gè)行動(dòng)時(shí)的總損失：,那么當(dāng),時(shí)，采取第1個(gè)行動(dòng)。即：,比如對(duì)于上面的例子11=22=0。鱸魚1比鮭魚2貴。如果鱸魚1的罐頭里裝入了鮭魚2，那么客戶會(huì)很生氣；如果鮭魚2的罐頭里裝入了鱸魚1，那么客戶很難感到有損失。那么這個(gè)時(shí)候分類后采取的行動(dòng)就要偏向于便宜的鮭魚。因此設(shè)當(dāng)真正類別是鮭魚2的時(shí)候，將x歸類為鱸魚1(造成鱸魚1的罐頭里裝入了鮭魚2)的損失12=2，設(shè)當(dāng)真正類別是鱸魚1的時(shí)候，將x歸類為鮭魚2(造成鮭魚2的罐頭里裝入了鱸魚1)的損失21=0.2?？梢钥吹剑厦娴墓阶兂闪耍?三 判別函數(shù),在模式識(shí)別里，經(jīng)常用gi(x)來(lái)表示x屬于第i個(gè)類別的可能性。 如果對(duì)于所有的

6、j!=i都有：gi(x)gj(x)，那么認(rèn)為x屬于第i個(gè)類別i。 比如令gi(x)=-R(i|x)。 上面是一個(gè)不等式關(guān)系，如果不等式兩邊都乘以相同的正數(shù)，或加上相同的樹，或取自然對(duì)數(shù)。那么不等式的關(guān)系是不變的。因此不考慮損失時(shí)的貝葉斯判別函數(shù)：,可以寫成：,四 正態(tài)分布,貝葉斯公式中的p(x|j)是條件概率，代表在類別為j時(shí)，x的概率。比如在j為鱸魚時(shí)，一個(gè)特定亮度x的概率。條件概率分布中常見的一個(gè)分布是高斯分布(正態(tài)分布)。 正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre于1733年首次提出的，但由于德國(guó)數(shù)學(xué)家Gauss(Carl Friedrich G

7、auss，17771855)率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布。,高斯分布的形狀是鐘形曲線。,很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述。例如： 同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo)； 百度高個(gè)吧投票的身高分布：,在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、抗壓強(qiáng)度、口徑、長(zhǎng)度等指標(biāo)； 同一種種子的重量； 測(cè)量同一物體的誤差； 某個(gè)地區(qū)的年降水量； 學(xué)生的智力水平，包括學(xué)習(xí)能力，實(shí)際動(dòng)手能力等呈正態(tài)分布。,單變量正態(tài)分布的概率密度函數(shù) ：,其中是均值，是標(biāo)準(zhǔn)差。 均值就是所有數(shù)的平均數(shù)，就是把所有數(shù)都加起來(lái)再除以個(gè)數(shù) 2方差就是把每個(gè)數(shù)減去它們的平均數(shù)再平方，把這些平方加起來(lái)再除以個(gè)

8、數(shù)。方差表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的離散程度。 經(jīng)?？梢园焉厦娴墓胶?jiǎn)寫成：p(x)N(,2)。,多變量正態(tài)分布的概率密度函數(shù) ：,其中是d維平均向量。是d*d的協(xié)方差矩陣。|是它的行列式，-1是它的轉(zhuǎn)置。 經(jīng)?？梢园焉厦娴墓胶?jiǎn)寫成：p(x)N(,)。,五 正態(tài)分布下的判別函數(shù),將多變量正態(tài)分布公式帶入下面的判別函數(shù)：,得到：,將單變量正態(tài)分布公式帶入下面的判別函數(shù)：,得到：,1. i=2I,當(dāng)所有變量都相互獨(dú)立，且每個(gè)變量的方差都是2的時(shí)候，所有的協(xié)方差矩陣都相等：i=2I。 此時(shí)，判別函數(shù)簡(jiǎn)化成了：,此時(shí)判別函數(shù)就變成了一個(gè)線性判別函數(shù)。,當(dāng)p(i)與p(j)相等的時(shí)候，一二三維高斯分布：,如下求分割線