反比例函數的神奇

1、讓我們一起領略反比例函數的神奇一、個人對反比例函數的幾點困惑與感悟1.為何正比例函數的比例系數是比，而反比例函數的比例系數卻不是比？2.為何我市中考的反比例函數問題總不像其它函數那么深入？只探究一些皮毛問題！至多探究一下的幾何意義（面積），例如2016年臺州市中考考查的也是“函數的研究通法”，并非專門深入研究反比例函數.3.過去我們遇到稍難一點的反比例函數問題，就只有“暴力設元”這一途徑，總無法避開多元方程、分式方程、高次方程.4.個人認為作為老師，不應該只應付中考，而應該研究更純粹的數學，站在更高的位置來了解數學本質！做到居高臨下、解有依據！5.實際上，反比例函數中也存在很多的“比”，斜比、

2、直比（縱比、橫比、縱橫比）、面積比，可以說“比比皆是”！現(xiàn)在就讓我們一起來比出精彩、比出神奇. 二、一道曾經困惑我多時的中考題某年寧波市中考的填空壓軸題: 如圖，的頂點(，)，雙曲線經過點、，當以、為頂點的三角形與的相似時，則 .1.常規(guī)性解法： 通過設元，例如設(，)，則(，)，再根據條件列方程： (1)利用、或列方程； (2)利用列方程； (3)利用“一線三等角”模型、和列方程. 實際上，在上述常規(guī)處理方法中，已經透著一點智慧、一點靈性了，具體操作方法中也具備了一定的技巧性. 但我本人對此，卻一直難言滿意，耿耿于懷！ 2.挖掘隱含性質，巧解此題 (1)實際上，此圖中含有一些很重要的性質：

3、過點作軸于，連接，直線分別交坐標軸于點、. 則有； ，； ，. 基于以上這些性質，有如下解法. (2)我的第一種解法（整體思想）： 由，可得，即，于是， (3)我一個同事的解法（斜邊轉直比）： 由，可得，轉為橫比，因此， (4)我一個學生的解法（斜等轉直等）： 由得，則， (5)我的第二種解法（平行導角度）： 由得，于是， (6)下面我們要著重解決兩件事： 上述性質是否永遠成立？如何證明？ 解題技巧除上述方法：整體思想、斜邊轉直比、斜等轉直等、平行導角度外，還有斜長轉直長、面積比與邊比互轉、純面積轉化等等，后面將一、一介紹.三、探究性質1.如圖，雙曲線與矩形邊交于點、，直線交坐標軸于點、.如圖

4、1，若，則 ；如圖2，若，則 ；如圖3，若，則 ，直線與的位置關系是 ，與的大小關系 . 圖1 圖2 圖32.如圖1，雙曲線與直線交于點、，軸于點，軸于 點，請?zhí)骄恐本€與的位置關系，線段與的大小關系.如圖2，雙曲線與直線交于點、，軸于，軸于，軸于，軸于，請?zhí)骄恐本€與、的位置關系，以及線段與的大小關系.圖1 圖2四、最常見思想方法（斜轉直）：斜邊轉直比、斜等轉直等、斜長轉直長1.如圖，直線反比例函數()圖象交直線于點、，且， 則的值為 . (1)常規(guī)方法（斜長轉直長）：，則，可設(，)，則(，)，列方程解決； (2)口算巧解（斜邊轉直比）： 由，得，轉為橫比得，則， 2.同類變式題：如圖，直線交

5、坐標軸于點、，雙曲線交直線于點、.若，則的值為 ；3.難題展示（中國數學教育名師講堂，每日一題第8題，2017/3/29） 如圖，點(，)，在雙曲線上，分別交，軸于， 分別交，軸于，. (1)求的面積； (2)求證：.4.原創(chuàng)清新小題和近年的中考題： (1)如圖1，的面積為，則的值為 . (2)如圖2，點，在雙曲線上運動，軸，.在運動過程中，的面積是不是定值？答： ；若，且是正三角形，則點的坐標為 . (3)如圖3，中，雙曲線經過點和中點，則該雙曲線的解析式為 . (4)如圖4，直線與分別與雙曲線交于點、， 則的值為 .圖1 圖2 圖3 圖4(5)(十堰)如圖5，正的邊長為，雙曲線經過點、，且

6、，則的值為 . (6)如圖6，雙曲線與直線交于點、. (原創(chuàng)、鋪墊)若、，且，則 ； (常州模擬改編)若，且，則 ； (杭州模擬改編)若，且，則 . (7)(據上題改編)如圖7，為雙曲線上的動點，過點作矩形，直線的解析式為，交矩形邊于，則 .圖5 圖6 圖7五、面積比、邊比互轉1.(原創(chuàng)、鋪墊)如圖1，直線與雙曲線交于點，為雙曲線上一點，射線交軸于點，若的面積為，則點坐標為 ； (成都)如圖1，直線與雙曲線交于點、，為雙曲線上一點，射線交軸于點，若的面積為，則點坐標為 .2.(無錫)如圖2，軸，軸，雙曲線過點、，且，已知的面積為，則的值為 .圖1 圖1 圖33.(寧波)如圖3，正的頂點在雙曲線

7、上，雙曲線與邊交于點，連接，則的面積為 .4.(麗水)如圖4，雙曲線與直線交于點、，軸，設點的橫坐標為.用含的式子表示 ；若與四邊形的面積和為，則 .5.如圖5，雙曲線與直線交于點、. (常州模擬)若，且，則 ； (改編自)若、，且，則 .圖3 圖4 圖56.如圖6，軸，為中點，延長到，延長到，若雙曲線恰好經過點，且，則 .7.如圖7，雙曲線過點，過點，若，均與軸平行， ，且它們之間的距離長為，則 .8.如圖8，直線交雙曲線于點，若，則 .圖6 圖7 圖89.如圖，點在雙曲線上，軸，延長線交軸于，若 的面積為，則的值為 .10.如圖，點、在雙曲線上，軸，軸，垂足、分別在軸的正半軸和負半軸上，是

8、的中點，若面積是的倍，則的值為 .六、反比例函數圖象中的“一線三等角”構造，初探黃金比例1.如圖1，中，雙曲線經過點、，且點的 縱坐標為，則的值為 . (1)剖析：對于坐標系中的一個直角，若兩條邊均“傾斜”，我們經常構造“”形全等或相似，即“一線三等角”模型，或叫“矩形大法”，見圖2，得.(2)后感：我們可以發(fā)現(xiàn)，矩形恰好是一個“黃金矩形”，這到底是一種偶然的巧合，還是一種必然的存在呢？這有待于我們進一步探究 (3)探究(2016臨沭模擬)：如圖3，雙曲線與矩形的邊交于點，若設點的坐標為(，)，且有，則 .圖1 圖2 圖32.類似題：(2015臨海模擬填空壓軸題)如圖， ，雙曲線經過點，雙曲線

9、經過點，已知點的縱坐標為，則 ，點的坐標為 . (個人原創(chuàng))如圖2，中，雙曲線經過點，雙曲線經過點，且點的縱坐標為，則的值為 . 3.難題展示（常州于新華老師原創(chuàng)題） (1)如圖1，點(，)，均在雙曲線上，過點作軸垂線，過點作軸垂線，兩垂線交于點，垂足分別為，將沿翻折，點恰好落在軸上的點處. 求點的坐標. (2)如圖2，點(，)，均在雙曲線上，過點作軸垂線，過點作軸垂線，兩垂線交于點，垂足分別為，將沿翻折，點恰好落在軸上的點處. 求點的坐標.圖1 圖24.如圖，矩形的邊的解析式為，頂點，在雙曲線上. 若，則點的坐標為 ； 連接，若是等邊三角形，則 .后感：若能發(fā)現(xiàn)，本題將更簡單！ 拓展：如圖，

10、正方形的頂點、在雙曲線上，、在雙曲線上，則正方形的面積為 .5.(2013湖州模擬) 如圖1，矩形的頂點、在雙曲線上，若點(，)，則點的坐標為 .6.如圖2，矩形中，點(，)，點，在雙曲線上，若為中點，則的值為 .圖1 圖27.如圖1，點，在雙曲線上運動，以為底邊作等腰直角，則點也在一條雙曲線上運動，則該雙曲線的解析式為 ； 如圖2，點，在雙曲線上運動，以為底邊作等腰，則點也在一條雙曲線上運動，若，則該雙曲線解析式為 ； 如圖3，點，在雙曲線上運動，以為底作等腰，點在另一雙曲線上運動，若，請用，表示 .圖1 圖2 圖3七、平行導角度，角度導比例1.如圖，點，在雙曲線上，經過原點，過點作軸，連接并延長，交雙曲線于點. 求證：； 求的值. 根據本題的發(fā)現(xiàn)，改編了一個清新小題： 如圖，點，在雙曲線上，經過原點，過點的直線交該雙曲線于點，分別交軸，軸于點，若，. 求的值.2.如圖，直線交在雙曲線于點、，經過原點，過作交軸于點，連接并延長，交雙曲線于點.求的值.3.如圖，雙曲線與過原點的直線交于點、，點在雙曲線上，直線、分別交軸于點、. 若設，則 .4.如圖，雙曲線經過點、，求證：. 八、純面積推導1. 如圖，點(，)，在雙曲線上，分別交，軸于， 分別交，軸于，. 求證：. (此方法感謝江蘇