一元二次方程及其解法應(yīng)用

1、.,一元二次方程及其解法,.,知識點(diǎn)回顧,1、整式方程,等號兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程,2、一元二次方程,一個整式方程整理后如果只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次項的次數(shù)為2次的方程，叫做一元二次方程,.,3、一元二次方程的一般形式,方程ax2bxc=0(a、b、c為常數(shù)，a0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別叫做二次項，一次項和常數(shù)項，a、b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù),4、一元二次方程的解,能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解,.,5、一元二次方程分類,.,探究交流,（1）判斷方程X（X10）=X23是否是一元二次方程？ （2）方程3 X22

2、X=1的常數(shù)項是1，方程 3 X22X6=0的一次項系數(shù)是2，這種說法對嗎？,答案：（1）化簡后為10X3=0,所以它是一元一次方程。,（2）要將一元二次方程化為一般形式，且系數(shù)包括它前面的性質(zhì)符號。,.,練習(xí)：,（1）方程（m2）X|m|3mx1=0是關(guān)于X的一元二次方程，求m的值。,答案：m=2,（2）當(dāng)m= 時，方程（m21）x2（m1）x1=0是關(guān)于x的一元一次方程。,答案：m=1,（3）已知關(guān)于x的一元二次方程（m1） x23x1=0有一個解是0，求m的值。,答案：m=1,（4）m為何值時，關(guān)于x的一元二次方程 mx2m2x1= x2x 沒有一次項？,答案：m=1,.,活動1,如圖，

3、有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm 在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出 的部分折起，就能制作一個無蓋方盒如果要制作的 無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去 多大的正方形？(課件：制作盒子),問題1,.,例 已知：關(guān)于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求：m的取值范圍.,解：原方程是一元二次方程，2m-10， m .,.,方程的解的定義,使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做這個方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X25X6=0 的根。 注意：一元二次方程可以無解，若有解，就一定有

4、兩個解。,.,活動2,猜測下列方程的根是什么？,方程的根：使一元二次方程等號兩邊相等 的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.,.,4.（1）下列哪些數(shù)是方程,的根？從中你能體會根的作用嗎？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4,活動2,（2）若x2是方程 的一個,根，你能求出a的值嗎？,根的作用： 可以使等號成立.,.,活動3,鞏固練習(xí),1你能根據(jù)所學(xué)過的知識解出下列方程的解嗎？ （1） ； （2） .,.,一元二次方程的解法(1) -開平方法,.,當(dāng)ac0時 ，,形如 （a0，c 0）的一元二次方程的解法：,當(dāng)ac0時 ，此方程無實(shí)數(shù)解.,.,-3x2+7=0.,解：,.,例題講解

5、,.,解：系數(shù)化1，得,開平方，得,解這兩個一元一次方程，得,或,.,小結(jié),如何解形如 的一元二次方程?,.,小結(jié)與思考,方程可化為一邊是 _,另一邊是_,那么就可以用直接開平方法來求解.,1、怎樣的一元二次方程可以用直接開平方法 來求解?,含未知數(shù)的完全平方式,一個常數(shù),2、直接開平方法的理論依據(jù)是什么?,平方根的定義及性質(zhì),.,例題講解,.,拓展與提高：,.,一元二次方程的解法(2) -配方法,.,用配方法解一元二次方程的步驟:,移項:把常數(shù)項移到方程的右邊; 配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù) 一半的平方; 開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方; 求解:解一元一次方程; 定解:寫出原方程的解

6、.,.,(1)x28x =(x4)2 (2)x23x =(x )2 (3)x212x =(x )2,填空,配方時,若二次項系數(shù)為1，則配上的 常數(shù)是一次項系數(shù)一半的平方.,.,請同學(xué)解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9,上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，,那么可得,如：4x2+16x+16=（2x+4）2,x=,（p0）,或mx+n=,.,做一做,用配方法解下列方程: (1)x26x=1 (2)x2=65x (3) x24x3=0,.,鞏固練習(xí),1.在用配方法解 時,方程的兩邊應(yīng)同時加上( ),2.解方程:,

7、.,3、說明多項式 的值恒大于0,4、先用配方法說明：不論x取何值，代數(shù)式 值總大于0，再求出當(dāng)x取何值時，代數(shù)式 的值最??？最小值是多少？,.,你能行嗎,解下列方程. 1.x2 2 = 0; 2.x2 -3x- =0 ; 3.x24x2； 4.x26x10 ；,5.3x2 +8x 3=0 ;,這個方程與前4個方程不一樣的是二次項系數(shù)不是1,而是3.,基本思想是: 如果能轉(zhuǎn)化為前4個方程的形式,則問題即可解決.,你想到了什么辦法?,.,配方法,例2 解方程 3x2+8x-3=0.,1.化1:把二次項系數(shù)化為1;,3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;,4.變形:方程左分解因式,右

8、邊合并同類;,5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:寫出原方程的解.,2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;,.,成功者是你嗎,用配方法解下列方程. 6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ; 7. 3x2 + 2x 3 = 0 ; 8. 2x2 + x 6 = 0 ; 9.4x2+4x+10 =1-8x .,10. 3x2 - 9x +2 = 0 ; 11. 2x2 +6=7x ; 12. x2 _x +56 = 0 ; 13. -3x2+22x-24=0.,.,回味無窮,本節(jié)課復(fù)習(xí)了哪些舊知識呢？ 繼續(xù)請兩個“老朋友”助陣和加深對“配方法”的理解運(yùn)

9、用: 平方根的意義: 完全平方式:式子a22ab+b2叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2. 本節(jié)課你又學(xué)會了哪些新知識呢？ 用配方法解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程的步驟: 1.化1:把二次項系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項系數(shù)); 2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊; 3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方; 4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類; 5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:寫出原方程的解. 用一元二次方程這個模型來解答或解決生活中的一些問題(即列一元二次方程解應(yīng)用題).,如果x2=a,那么x=,.,一元二次方程

10、的解法(3) -求根公式法,.,設(shè)a0，a,b,c 都是已知數(shù)，并且 b2-4ac0，試用配方法解方程： ax2 +bx+c = 0.,?,b2-4ac0,因為,解,.,一元二次方程ax2+bx+c=0( a0)的 求根公式 x= （b2-4ac0）,.,例： 解方程步驟 ( 1 ) 3y2-2y=1,一般步驟： （1）先把方程化為一般形式 （2）確定a,b,c （3）判定=b2-4ac的值 （4）代入求根公式,（2）,.,利用公式法解下列方程，從中你能發(fā)現(xiàn)么？,解,.,用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的 情況你有什么結(jié)論？,.,結(jié)論1,（1）當(dāng) 時，一元二次方程 有實(shí)數(shù)根,.,結(jié)論2,（2）當(dāng)

11、 時，一元二次方程 有實(shí)數(shù)根,.,結(jié)論3,（3）當(dāng) 時，一元二次方程 無實(shí)數(shù)根.,.,一元二次方程的解法(4) -因式分解法,.,自學(xué)檢測題,1、 什么樣的一元二次方程可以用因式分解法來解？,2、用因式分解法解一元二次方程，其關(guān)鍵是什么？,3、用因式分解法解一元二次方程的理論依據(jù)是什么?,4、用因式分解法解一元二方程，必須要先化成一般形式嗎？,.,用因式分解法解一元二次方程的步驟,1o方程右邊化為 。 2o將方程左邊分解成兩個 的乘積。 3o至少 因式為零，得到兩個一元一次方程。 4o兩個 就是原方程的解。,零,一次因式,有一個,一元一次方程的解,.,例：解方程：x2=3x,解：移項，得x2-

12、3x=0,將方程左邊分解因式，得x(x-3)=0,x=0 或x-3=0,原方程的解為：x1=0 x2=-3,這種解一元二次方程的方法叫因式分解法。,特點(diǎn)：在一元二次方程的一邊是0， 而另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式 分解法來解。,.,例1、解下列方程 1、x23x10=0 2、(x+3)(x-1)=5,解：原方程可變形為 解：原方程可變形為 (x5)(x+2)=0 x2+2x8=0 (x2)(x+4)=0 x5=0或x+2=0 x2=0或x+4=0 x1=5 ,x2=-2 x1=2 ,x2=-4,.,快速回答：下列各方程的根分別是多少？,.,例2 解下列方程：,（1） x2-3x

13、-10=0,（2） （x+3）（x-1）=5,.,填空題練習(xí)：,（1）方程x（x+1）=0的根是_.,（2）已知x=0是關(guān)于x的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一個根， 則m=_.,（3）若方程ax2+bx+c=0的各項系數(shù)之和 滿足a-b+c=0，則此方程必有一根是_.,.,選擇題訓(xùn)練 1.對于方程(x-a)(x-b)=0,下列結(jié)論正確的是( ) （A） x-a=0 （B）x-a=0或x-b=0 （C） x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 2、方程x(x-2)=2(2-x)的根為( ) （A）-2 （B）2 （C） 2 （D）2、2 3、方程(x-1)=(1-x

14、)的根是( ) （A）0 （B）1 （C）-1和0 （D）1和0,B,C,D,.,用因式分解法解下列方程：,y2=3y,(2a3)2=(a2)(3a4),x2+7x+12=0,(x5)(x+2)=18,.,t(t+3)=28,(4x3)2=(x+3)2,.,我最棒 ,用分解因式法解下列方程,參考答案：,1. ;,2. ；,4. ;,.,2.解一元二次方程的方法： 直接開平方法 配方法 公式法 因式分解法,小 結(jié)：,1o方程右邊化為 。 2o將方程左邊分解成兩個 的乘積。 3o至少 因式為零，得到兩個一元一次方程。 4o兩個 就是原方程的解,零,一次因式,有一個,一元一次方程的解,1.用因式分解

15、法解一元二次方程的步驟：,.,右化零左分解 兩因式各求解,簡記歌訣：,.,一元二次方程應(yīng)用,.,列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟,1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系. 2.解決應(yīng)用題的一般步驟： 審(審題目，分清_、_、等量關(guān)系等)； 設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)； 列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需_，將所求量表示清晰)； 驗（檢驗方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）答(寫出答案，切忌答非所問).,.,一元二次方程應(yīng)用題的主要類型,1.數(shù)字問題 如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：_. 幾個連續(xù)整

16、數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1. 如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為_，_. 幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2. 如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為_，_.,.,2.平均變化率問題,(1)增長率問題：平均增長率公式為_ (a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)， b為增長后的量.)(2)降低率問題：平均降低率公式為_ (a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)， b為降低后的量.),.,3.利息問題,(1)概念： 本金：顧客存入銀行的錢叫本金. 利息：銀行付給顧客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期數(shù)：存入銀行的時間

17、叫期數(shù). 利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率. (2)公式: 利息=_ 利息稅=利息稅率 本金(1+利率期數(shù))=本息和 本金1+利率期數(shù)(1-稅率)=本息和(收利息稅時),.,4.利潤(銷售)問題,利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系： 利潤=_-_ (成本) 總利潤=每件的利潤總件數(shù),.,數(shù)字問題,例1已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)是多少 【變式】有一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字少2，求這個兩位數(shù).,.,例2.某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸,這兩個月平均每個月增長的百分率是多少?,分析:2月份比一月份增產(chǎn) 噸. 2月份的產(chǎn)

18、量是 噸 3月份比2月份增產(chǎn) 噸 3月份的產(chǎn)量是 噸,5000(1+x),5000 x,5000(1+x)x,5000(1+x)2,解:平均每個月增長的百分率為x 列方程 5000(1+x)2 =7200 化簡 (1+ x)2 =1.44 x1=0.2 x2=-2.2 檢驗: x2= -2.2(不合題意), x1=0.2 =20% 答:平均每個月增長的百分率是20%.,.,例2:某月餅原來每盒售價96元,由于賣不出去，結(jié)果兩次降價,現(xiàn)在每盒售價54元,平均每次降價百分之幾?,總結(jié):1.兩次增長后的量=原來的量(1+增長率)2 若原來量為a,平均增長率是x,增長后的量為A 則 第1次增長后的量是

19、A=a(1+x) 第2次增長后的量是A=a(1+x)2 第n次增長后的量是A=a(1+x)n 這就是重要的增長率公式.,2.兩次降價后價格=原價格(1-降價率)2 公式表示：A=a(1-x)2,.,例3某商店從廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價，若每件商品售價為a元，則可賣出(350-10a)件，但物價局限定每件商品加價不能超過進(jìn)價的20%，商店計劃要賺400元，需要賣出多少件商品?每件商品售價多少元?,.,【變式】某產(chǎn)品原來每件是600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為384元，如果兩次降價的百分?jǐn)?shù)相同，求平均每次降價率.,.,例4 如圖所示，某幼兒園有一道長為16米的墻，計劃

20、用32米長的圍欄靠墻圍成一個面積為120平方米的矩形草坪ABCD，求該矩形草坪BC邊的長,.,一.復(fù)習(xí)填空: 1、某工廠一月份生產(chǎn)零件1000個，二月份生產(chǎn)零件1200個，那么二月份比一月份增產(chǎn) 個？ 增長率是多少 。 2、銀行的某種儲蓄的年利率為6%，小民存 1000元，存滿一年，利息= 。 存滿一年連本帶利的錢數(shù)是 。,200,20%,1060元,利息= 本金利率,增長量=原產(chǎn)量 增長率,60元,.,4.康佳生產(chǎn)一種新彩霸,第一個月生產(chǎn)了5000臺,第二個月增產(chǎn)了50%,則:第二個月比第一個月增加了 _ 臺,第二個月生產(chǎn)了 _ 臺;,500050%,5000(1+50%),3.某產(chǎn)品，原來每件的成本價是500元，若每