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1、第二節(jié)矩形、菱形、正方形,考點一 矩形判定及性質(zhì)的相關(guān)計算 例1(2015云南省卷)如圖,在矩形ABCD中, AB4,AD6,M,N分別是AB,CD的中點, P是AD上的點,且PNB3CBN. (1)求證:PNM2CBN; (2)求線段AP的長,【分析】 (1)由MNBC,易得CBNMNB,由已知PNB3CBN,根據(jù)角的和差即可得出結(jié)論;(2)連接AN,根據(jù)矩形的軸對稱性,可知PANCBN,由(1)知PNM2CBN2PAN,由ADMN,可知PANANM,所以PANPNA,根據(jù)等角對等邊得到APPN,再用勾股定理列方程求出AP.,【自主解答】 (1)證明:四邊形ABCD是矩形,M,N分別是AB,
2、CD的中點, MNBC,CBNMNB, PNB3CBN, PNM2CBN;,(2)解:如解圖,連接AN,根據(jù)矩形的軸對稱性,可知PANCBN, MNAD,PANANM, 由(1)知PNM2CBN,PANPNA, APPN, ABCD4,M,N分別為AB,CD的中點,DN2, 設(shè)APx,則PD6x,,在RtPDN中,PD2DN2PN2, (6x)222x2,解得:x , AP .,1(2016昆明)如圖,E,F(xiàn),G,H分別是矩形ABCD各邊 的中點,AB6,BC8,則四邊形EFGH的面積是_.,24,考點二 菱形判定及性質(zhì)的相關(guān)計算 例2(2017云南省卷)如圖,ABC是以BC為 底的等腰三角形
3、,AD是邊BC上的高,點E、F 分別是AB、AC的中點 (1)求證:四邊形AEDF是菱形; (2)如果四邊形AEDF的周長為12,兩條對角線的和等于7,求四邊形AEDF的面積S.,【分析】 (1)先根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì),得出DE ABAE,DF ACAF,再根據(jù)ABAC,點E、F分別是 AB、AC的中點,即可得到AEAFDEDF,進而判定四邊形 AEDF是菱形;(2)設(shè)EFx,ADy,則xy7,進而得到x2 2xyy249,再根據(jù)RtAOE中,AO2EO2AE2,得到x2 y236,據(jù)此可得xy ,進而得到菱形AEDF的面積S.,【自主解答】(1)證明:ADBC,點E、F分別是AB、
4、 AC的中點, 在RtABD中,DE ABAE, 在RtACD中,DF ACAF, 又ABAC,點E、F分別是AB、AC的中點, AEAF, AEAFDEDF, 四邊形AEDF是菱形;,(2)解:如解圖,設(shè)AD與EF的交點為點O, 菱形AEDF的周長為12, AE3,設(shè)EFx,ADy, 則xy7, x22xyy249 , ADEF于O,,在RtAOE中,AO2EO2AE2, ( y)2( x)232,即x2y236 , 把代入,可得2xy13, xy ,菱形AEDF的面積S xy .,1(2015昆明)如圖,在菱形ABCD中, 對角線AC、BD相交于點O,下列結(jié)論: ACBD;OAOB;ADB
5、CDB; ABC是等邊三角形,其中一定成立的是( ) A B C D,D,2(2016云南省卷)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,ABCBAD12,BEAC,CEBD. (1)求tanDBC的值; (2)求證:四邊形OBEC是矩形,(1)解:四邊形ABCD是菱形, ADBC,DBC ABC, ABCBAD180, ABCBAD12,ABC60, DBC ABC30, tanDBCtan30 ;,(2)證明:BEAC,CEBD, BEOC,CEOB, 四邊形OBEC是平行四邊形, 四邊形ABCD是菱形, ACBD,即BOC90, 四邊形OBEC是矩形,考點三 正方形性質(zhì)的相關(guān)計算 例
6、3 如圖,在矩形ABCD中,AE平分BAD,交BC于E,過E作EFAD于F,連接BF交AE于P,連接PD. (1)求證:四邊形ABEF是正方形; (2)如果AB6,AD8,求tanADP的值,【分析】 (1)由矩形的性質(zhì)得出FABABE90,再由EFAB,證出四邊形ABEF是矩形,再證明ABBE,即可得出四邊形ABEF是正方形;(2)由正方形的性質(zhì)得出BPPF,BAAD,PAF45,得出ABPH,求出DHADAH5,在RtPHD中,由三角函數(shù)即可得出結(jié)果,【自主解答】(1)證明:四邊形ABCD是矩形, FABABE90, EFAD,AFE90, 四邊形ABEF是矩形, AE平分BAD,AFBE, FAEBAEAEB, ABBE, 四邊形ABEF是正方形,(2)解:過點P作PHAD于H,如解圖所示: 四邊形ABEF是正方形, BPPF,BAAD,PAF45,ABPH, AB6,AHPH3, AD8, DHADAH835, 在RtPHD中,PHD90. tanADP .,1(2016昆明)如圖,在正方形ABCD中,AC為對角線,E為 AB上一點,過點E作EFAD,與AC、DC分別交
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