選修4-4 第二講 參數(shù)方程(直線的參數(shù)方程) 教案

1、三 直線的參數(shù)方程教學(xué)目標(biāo)：掌握直線的參數(shù)方程，理解參數(shù)t的幾何意義；會應(yīng)用直線的參數(shù)方程解決有關(guān)線段長度問題及直線與二次曲線相交的弦長、中點(diǎn)、最值等問題。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：用直線的參數(shù)方程解決有關(guān)距離問題；參數(shù)方法與普通方法之甄別。直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)M0(x0, y0)，傾斜角為a的直線l的普通方程為y-y0=tan(x-x0) 怎樣建立直線l的參數(shù)方程呢？如圖，在直線l上任取一點(diǎn)M(x, y)，則 直線的方向向量，；，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即于是，即，因此，經(jīng)過定點(diǎn)M0(x0, y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)） 問題：由，直線參數(shù)方程中的參數(shù)t有什么幾何意義？因?yàn)?，所以，?/p>

2、，所以，因此|t|即為直線上的動點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)M0(x0, y0)的距離；當(dāng)00，直線的單位方向向量總是向上的，因此有結(jié)論：t0：則的方向向上，即M0在M的上方；t0時. 其中的t才具有上述幾何意義。例1.已知直線l: x+y-1=0與拋物線y=x2交于A, B兩點(diǎn)，求線段AB的長度和點(diǎn)M(-1, 2)到A, B兩點(diǎn)的距離之積解法一：由，得設(shè)，,由韋達(dá)定理得：由（*）解得，所以則解法二、因?yàn)橹本€過定點(diǎn)M，且的傾斜角為，所以它的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）， 即 （為參數(shù)）把它代入拋物線的方程，得，解得，由參數(shù)的幾何意義得：，探究：直線 （t為參數(shù)）與曲線y=f(x)交于M1, M2兩點(diǎn)，對應(yīng)的

3、參數(shù)分別為t1, t2（1）曲線的弦M1M2的長是多少？（2）線段M1M2的中點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)t的值是多少？例2、經(jīng)過點(diǎn)M(2, 1)作直線l，交橢圓于A,B兩點(diǎn)如果點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程解：設(shè)過點(diǎn)M(2, 1)的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入橢圓方程，整理得 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)，這個方程必有兩個實(shí)根，設(shè)A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2，則因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以，即于是直線l的斜率因此，直線的方程是，即例3 當(dāng)前臺風(fēng)中心P在某海濱城市O向東300km處生成，并以40km/h的速度向西偏北45度方向移動. 已知距臺風(fēng)中心250km以內(nèi)的地方都屬于臺風(fēng)侵襲的范圍，

4、那么經(jīng)過多長時間后該城市開始受到臺風(fēng)侵襲?海濱城市O受臺風(fēng)侵襲大概持續(xù)多長時間？如果臺風(fēng)侵襲的半徑也發(fā)生變化（比如：當(dāng)前半徑為250km，并以10km/m的速度不斷增大），那么問題又該如何解決？例4 如圖所示，AB，CD是中心為O的 的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P.兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為1，2. 求證：|PA| |PB|PC| |PD|.例題選：一、求直線上點(diǎn)的坐標(biāo)例1 已知過點(diǎn)P(2,0)，斜率為4/3的直線和拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)解：設(shè)過點(diǎn)P(2,0)的直線AB的傾斜角為，由已知可得：，所以，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入y2=2

5、x，整理得中點(diǎn)M的相應(yīng)參數(shù)是，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是例2 求點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線l：2x 3y +1 =0的對稱點(diǎn)A 的坐標(biāo)。解：由條件，設(shè)直線AA 的參數(shù)方程為 (t是參數(shù))，A到直線l的距離d = ， t = AA = ，代入直線的參數(shù)方程得A ( ，)二、求解中點(diǎn)問題例1 已知雙曲線 ，過點(diǎn)P（2，1）的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問題與弦長有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1 +t2=0。解：設(shè)M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，則直線P1P2的方程是(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t

6、 + (2x02 y02 2) = 0，由題意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直線P1P2的斜率 ，點(diǎn)P（2，1）在直線P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。三、求定點(diǎn)到動點(diǎn)的距離例1 直線l過點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為(t是參數(shù))，直線l與直線 2x +y 2 =0 交于點(diǎn)Q，求PQ。解：將直線l的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入 2x +y 2 =0得 t =， PQ = | t| = 。例2 經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，傾斜角為/4 的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A，B兩點(diǎn)，求PA +PB和PA PB的值。解：直線l的方程可寫成，代入圓的

7、方程整理得：t2 +t4=0，設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別是t1 ，t2，則t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由t1 與t2的符號相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = =，PA PB =| t1 t2 | = 4。四、求直線與曲線相交弦的長例1 已知拋物線y2 = 2px，過焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：AB=。分析：弦長AB = |t1 t2|。解：由條件可設(shè)AB的方程為，代入拋物線方程，得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0，由韋達(dá)定理：， AB = |t1 t2| = = = 。例2 求經(jīng)過點(diǎn)（1，1）。傾斜角為1350的直線截橢圓所得的弦長。解：由條件可知直線的參數(shù)方程是：（t為參數(shù)）代入橢圓方程可得： 即設(shè)方程的兩實(shí)根分別為。則則直線截橢圓的弦長是 例3 已知橢圓的中心在原點(diǎn)。焦點(diǎn)在y軸上且長軸長為4，短軸長為2。直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).當(dāng)m為何值時，直線l被橢圓截得的弦長為？例4 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過橢圓左焦點(diǎn)F且傾斜角為60的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若FA =2FB，求則橢圓的離心率。分析：FA =2FB轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中的 t1= 2t2或|t1|