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1、1,計算方法4 常微分方程的差分方法,航空科學與工程學院,2,收斂性與穩(wěn)定性,差分方法的基本思想: 通過離散化，將微分方程轉化為差分方程(代數方程)。 合理性檢驗 解的收斂性。 當h=0時，yn是否會收斂到y(tǒng)(xn)?,3,收斂性問題 若 ，則稱該方法收斂。,4,Euler方法的收斂性 Euler格式：看看,5,令yn=y(xn)，則近似值：局部截斷誤差從而存在定數C，使,6,而：式中，L是f關于y的Lipschitz常數。 存在常數L，使對于任何一對點(x，y1)、(x，y2)，均有不等式 成立，L稱為Lipschitz常數。,7,令 ，從而有： 反復遞推有：設xn-x0=nhT(T為常數)

2、，則從而,8,顯然，如果初值準確，則有h0,en 0. Euler格式收斂。,9,穩(wěn)定性 每一步的計算并不嚴格準確，存在計算誤差的傳播問題擾動。 若則稱為穩(wěn)定的。,10,穩(wěn)定性問題的討論Euler格式和隱式Euler格式,11,Euler格式 設在節(jié)點值yn上有一擾動值n，它的傳播使節(jié)點值yn+1上產生大小為n+1的擾動值。假設Euler方法的計算過程不再引入新的誤差，則擾動值滿足：,12,擾動值滿足原來的差分方程，如果原差分方程的解是不增長的，即有這時就能保證Euler方法的穩(wěn)定性。 從而需要 Euler格式條件穩(wěn)定,13,隱式Euler方法 由于0，從而有 與 恒成立。 隱式Euler格式

3、是恒穩(wěn)定(無條件穩(wěn)定)的,14,方程組與高階方程的情況,對方程y=f，將y、f理解為向量。 一階方程組 令xn=x0+nh，n=1，2，以yn、zn表示節(jié)點xn上的近似解。,15,改進的Euler格式：預報校正,16,四階Runge-Kutta格式,17,高階微分方程(或方程組)的初值問題，歸結為一階方程組求解。 對如下二階方程 引入z=y，則可化為一階方程的初值問題,18,四階Runge-Kutta格式,19,邊值問題,考察如下邊值問題 取 設將求解區(qū)間a,b劃分為N等分，步長h=(b-a)/N，節(jié)點xn=x0+nh(n=0,1,N)，用差商代替導數，可將邊值問題離散化，導出如下差分方程組。,20,可整理得

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