第2講 解題有道四大數(shù)學(xué)思想

1、創(chuàng)新設(shè)計第2講解題有道四大數(shù)學(xué)思想1創(chuàng)新設(shè)計思想概述 高考數(shù)學(xué)以能力立意，一是考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能；二是考查基本數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)思維的深度、廣度和寬度.數(shù)學(xué)思想方法是指從數(shù)學(xué)的角度來認識、處理和解決問題，是數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)技能的升華和提高，中學(xué)數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.2創(chuàng)新設(shè)計類型一函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想的實質(zhì)就是用聯(lián)系和變化的觀點，描述兩個量之間的依賴關(guān)系，刻畫數(shù)量之間的本質(zhì)特征，在提出數(shù)學(xué)問題時，拋開一些非數(shù)學(xué)特征，抽象出數(shù)量特征， 建立明確的函數(shù)關(guān)系，并運用函數(shù)的知識和方法解決問題.有時需要根據(jù)已知量和未知量之間的制約關(guān)

2、系，列出方程(組)，進而通過解方程(組)求得未知量.函數(shù)與方程思想是相互聯(lián)系、互為所用的.3創(chuàng)新設(shè)計應(yīng)用1求解不等式、函數(shù)零點的問題【例 1】 (1)設(shè) 0a1，e 為自然對數(shù)的底數(shù)，則 a，ae，ea1 的大小關(guān)系為( ) A.ea1aaeB.aeaea1C.aeea1aD.aea10，則f(x)ex10，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0aae， 從而ea1aae.x(2)令 h(x)g(x)，得 xln x1kx，即1ln xk.5創(chuàng)新設(shè)計11若方程 xln xkx10 在區(qū)間e，e上有兩個不等實根，則函數(shù) f(x)ln xx與 y

3、k 在11 11 11區(qū)間e，e上有兩個不相同的交點，f(x)xx2，令xx20 可得 x1，當(dāng) xe，1時f(x)0，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)的極小值，也是111最小值為 f(1)1，而 fe1e，f(e)1e，又1e1e，所以，函數(shù)的最大值1為 e1.所以關(guān)于 x 的方程 xln xkx10 在區(qū)間e，e上有兩個不等實根，則實數(shù) k 的1取值范圍是1，1e.答案(1)B(2)B6創(chuàng)新設(shè)計探究提高1.第(1)題構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性與不等式的性質(zhì)求解.2.函數(shù)方程思想求解方程的根或圖象交點問題(1) 應(yīng)用方程思想把函數(shù)圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，應(yīng)用函數(shù)思想把方程根

4、的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題.(2) 含參數(shù)的方程問題一般通過直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)化為函數(shù)解決.7創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練 1】 (1)設(shè)函數(shù) f(x)xcos x，則方程 f(x)所有實根的和為( )24A.0B. 2C. 3x142D. 3 (2)(2019鄭州模擬)已知函數(shù) f(x)3xxsin x，若存在 x2，1，使得 f(x2x)1f(xk)0 在 x2，1上恒成立，函數(shù) f(x)在 x2，1（3 1）上單調(diào)遞增.9創(chuàng)新設(shè)計若存在x2，1，使得f(x2x)f(xk)0成立，則f(x2x)f(xk)f(x2x)f(kx)x2xx22x，即k(x22x)min，當(dāng)x2，1時，yx22x(x1)21

5、的最小值為1. 故實數(shù)k的取值范圍是(1，).答案(1)C(2)A10創(chuàng)新設(shè)計應(yīng)用2函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用【例2】設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S42，S50，S63. (1)求數(shù)列an的前n項和Sn；(2)求nSn的最小值.解(1)S42，S50，S63，a5S5S42，a6S6S53，又an是等差數(shù)列，則公差da6a51，5（a1a5）n（n1）n25n由于 S520，所以 a12，故 Sn2n22.11創(chuàng)新設(shè)計n35n2x35x23(2)由(1)知 nSn2，設(shè) f(x)2，則 f(x)2x25x(x0)，10101010令 f(x)0，得 x 3 ；令 f(x)0，得 0x0

6、，a1a24，a3a26.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若對任意nN*，kan，Sn，1成等差數(shù)列，求實數(shù)k的值.a1（1q）4，解 (1)a1a24，a3a26，2a1（q q）6，q0，q3，a11，an13n13n1(nN*)， 故數(shù)列an的通項公式為an3n1.14創(chuàng)新設(shè)計1（13n）3n1(2)由(1)知 an3n1，Sn3n1132，kan，Sn，1 成等差數(shù)列，2Snkan1.則 22k3 n11，解得 k3.15創(chuàng)新設(shè)計應(yīng)用3函數(shù)與方程思想在幾何問題中的應(yīng)用【例3】 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個頂點，直線ykx(k0) 與線段AB相交于點D

7、，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點.(1) 若ED6DF，求 k 的值；(2) 求四邊形 AEBF 面積的最大值.16創(chuàng)新設(shè)計x2解(1)依題意得橢圓的方程為4 y2ykx(k0).1，直線 AB，EF 的方程分別為 x2y2，如圖，設(shè)D(x0 ，kx0)，E(x1 ，kx1)，F(xiàn)(x2 ，kx2)，其中x1 x2 ，且x1 ，x2 滿足方程(14k2)x24，故 x x 2.2114k2由ED6DF知 x0x16(x2x0)，17創(chuàng)新設(shè)計得 x15 10714k07(6x2x1)7x22；由D在AB上知x02kx02，10714k2 2 2得 x .所以，012k12k化簡得 24k225k60，解得

8、 k23或3k8.18(2) 根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點E，F(xiàn)到AB的距離分別為創(chuàng)新設(shè)計|x12kx12|52（12k14k2）5（14k2）h1，|x22kx22|52（12k 14k2）5（14k2）h2.又 |AB| 2212 5， |AB|(h所以四邊形 AEBF 的面積為 S1h )1 4（12k）21214k24k14k211 4k4k2（12k）255（14k214k22222，）19創(chuàng)新設(shè)計當(dāng)且僅當(dāng) 4k21(k0)，即當(dāng) k所以 S 的最大值為 22.12時，上式取等號.即四邊形 AEBF 面積的最大值為 22.20創(chuàng)新設(shè)計探究提高 解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐

9、曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)， 求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，找準函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的求法來求解，這是求面積、線段長最值(范圍)問題的基本方法.21創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練 3】 已知圓 M：x2y2r2(r0)與直線 l1：x 3y40 相切，設(shè)點 A 為圓上一動點，ABx 軸于點 B，且動點 N 滿足AB2NB，設(shè)動點 N 的軌跡為曲線 C.(1) 求曲線C的方程.(2) 直線l與直線l1垂直且與曲線C交于P，Q兩點，求OPQ(O為坐標(biāo)原點)面積的最大值.22創(chuàng)新設(shè)計解 (1)設(shè)動點 N(x，y)，A(x0，y0)，因為 ABx

10、 軸于 B，所以 B(x0，0)，由已知得，r |4|2，13所以圓M的方程為x2y24.因為AB2NB，x0x，所以(0，y0)2(x0x，y)，即y02y，22x22又 A 點在圓上，所以 x0y04，即動點 N 的軌跡方程為4 y1.23創(chuàng)新設(shè)計(2)由題意，設(shè)直線 l： 3xym0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y 3xm，2聯(lián)立直線 l 與橢圓 C 的方程x13x283mx4m240，4y24，消去 y，得192m2413(4m24)16(m213)0，解得 m20，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 個零點則 a 的取值范圍是( )A.1，0)B.0，)C.1，)D.

11、1，)27創(chuàng)新設(shè)計解析(1)在同一坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)yx21，yx3，y13x的圖象如圖： 由圖可知，在實數(shù)集R上，minx21，x3，13x為yx3上A點下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC，與直線y13x上點C下方的部分的組合圖.顯然， 在區(qū)間0，)上，在C點時，yminx21，x3， 13x取得最大值.yx3，解方程組y13x得點 C(5，8).所以 f(x)max8.28創(chuàng)新設(shè)計(2)函數(shù)g(x)f(x)xa存在2個零點，即關(guān)于x的方程f(x)xa有2個不同的實根， 即函數(shù)f(x)的圖象與直線yxa有2個交點，作出直線yxa與函數(shù)f(x)的圖象， 如圖所示，由圖可知，a1，解得

12、a1.答 案 (1)C (2)C29創(chuàng)新設(shè)計探究提高1.第(1)題利用函數(shù)的圖象求最值，避免分段函數(shù)的討論；第(2)題把函數(shù)的零點或方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，利用幾何直觀求解.2.探究方程解的問題應(yīng)注意兩點：(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)一般可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題.(2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準為原則， 不要刻意去用數(shù)形結(jié)合.30創(chuàng)新設(shè)計1【訓(xùn)練 4】 已知函數(shù) f(x)（x）2，x0，函數(shù) g(x)是周期為 2 的偶函數(shù)且當(dāng)log5x，x0，x0，1時，g(x)2x1，則函數(shù) yf(x)g(x)的零點個數(shù)是( )A

13、.5B.6C.7D.831創(chuàng)新設(shè)計解析在同一坐標(biāo)系中作出yf(x)和yg(x)的圖象如圖所示，由圖象可知當(dāng)x0時，有4個零點，當(dāng)x0時，有2個零點，所以一共有6個零點.答案B32創(chuàng)新設(shè)計應(yīng)用2數(shù)形結(jié)合求解不等式與平面向量問題【例 5】 (1)已知ABC 是邊長為 2 的等邊三角形，P 為平面 ABC 內(nèi)一點，則PA( PBPC)的最小值是( )A.2B.3C.423x1，D.1(2)若實數(shù) x，y 滿足不等式組xy10，2xy20，則 x2y2 的最小值是( )A.25B.5C.4D.133創(chuàng)新設(shè)計解析 (1)如圖，以等邊三角形 ABC 的底邊 BC 所在直線為 x 軸，以 BC 的垂直平分線

14、為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 A(0， 3)，B(1，0)，C(1，0).設(shè) P(x，y)，則PA(x，3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y).所以PA( PBPC)(x， 3y)( 2x，2y)2 32322x2y2.當(dāng) x0，y 3PA( PBPC)取得最小值32 時，2.34創(chuàng)新設(shè)計x1，(2)作出不等式組xy10，表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分).2xy20x2y2的最小值表示陰影部分(含邊界)中的點到原點O(0，0)的距離的最小值的平方.x1，由得 A(1，2).xy10，(x2y2)min|OA|212225.答案(1)B(2)B35創(chuàng)新設(shè)計探究提高 1.平面向量中數(shù)形結(jié)合關(guān)注

15、點：(1)能建系的優(yōu)先根據(jù)目標(biāo)條件建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)重視坐標(biāo)運算、數(shù)量積及有關(guān)幾何意義求解.2.求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系解決問題.36創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練 5】 (1)若不等式|x2a|12xa1 對 xR 恒成立，則 a 的取值范圍是 .(2)(2019長沙調(diào)研)已知 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c 滿足(ac)( bc)0，則|c|的最大值是( )D. 2A.1B.2C.2 237創(chuàng)新設(shè)計2x解析 (1)在同一坐標(biāo)系中，作出y|x2a|和y1a1

16、 的簡圖.依題意可知2a22a解得 a12.(2)因為(ac)( bc)0，所以(ac)(bc).如圖所示，設(shè)OCc，OAa，OBb，則CAac，CBbc，所以ACBC.38創(chuàng)新設(shè)計又因為OAOB，所以 O，A，C，B 四點共圓，當(dāng)且僅當(dāng) OC 為圓的直徑時，|c|最大，且最大值為 2.1答 案 (1)，2 (2)C39創(chuàng)新設(shè)計應(yīng)用3圓錐曲線中的數(shù)形結(jié)合思想【例6】 已知拋物線的方程為x28y，點F是其焦點，點A(2，4)，在此拋物線上求一點P，使APF的周長最小，此時點P的坐標(biāo)為 .解析 因為(2)20，a1)在1，2上的最大值為 4，最小值為 m，且函數(shù) g(x)(14m)x在0，)上是增

17、函數(shù)，則 a .解析若 a1，有 a24，a1m.解得 a2，m12.4此時 g(x) x為減函數(shù)，不合題意.若 0a1，有 a14，a2m，故 a1，m 1 16，檢驗知符合題意.答案1446創(chuàng)新設(shè)計探究提高指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a，因此，當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確定時，應(yīng)分0a1兩種情況討論.47創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練7】 (1)(2019濟南調(diào)研)已知Sn為數(shù)列an的前n項和且Sn2an2，則S5S4的值為()A.8B.10C.16D.32sin（x2），1x0，(2)函數(shù) f(x)ex1，x0.若 f(1)f(a)2，則 a 的取值集合是 .48創(chuàng)新設(shè)計解析(1)當(dāng)n1時，a1S12a1

18、2，解得a12.因為Sn2an2，當(dāng)n2時，Sn12an12，兩式相減得，an2an2an1，即an2an1，則數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則an2n，有S5S4a52532.49創(chuàng)新設(shè)計(2)f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.當(dāng)a0時，f(a)1ea1，所以a1.當(dāng)1a0時，f(a)sin(a2)1，2所以 a22k(kZ).2所以 a22k1(kZ)，k 只能取 0，此時 a22 .因為1a1，則當(dāng) x，1時，f(x)0.所以f(x)在x1處取得極小值.若a1，則當(dāng)x(0，1)時，ax1x10.所以1不是f(x)的極小值點.綜上可知，a的取值范圍

19、是(1，).52創(chuàng)新設(shè)計探究提高1.若遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進行分類討論.2.如果參數(shù)有明確的幾何意義，在討論時還應(yīng)適當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想.注意分類標(biāo)準要明確統(tǒng)一，做到“不重不漏”.53創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練8】 已知函數(shù)f(x)mx2xlnx.若在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為 .12mx2x1解析 f(x)2mx1xx(x0)，即2mx2x10 時，由于函數(shù) y2mx2x1 的圖象的對稱軸 x 1 0，故需且只需 0，11即 18m0，故 m8.綜上所述，實數(shù) m 的取值范圍為，8.1答案 ，8 54創(chuàng)新設(shè)計

20、應(yīng)用3由圖形位置或形狀引起的分類討論x0，【例 9】 (1)已知變量 x，y 滿足的不等式組y2x，表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數(shù) k( )kxy10A.1112B.2C.0D.2或 055創(chuàng)新設(shè)計x2y2(2)設(shè)點 A，B 是橢圓 C：3 m1 長軸的兩個端點.若 C 上存在點 M 滿足AMB120則 m 的取值范圍是( )A.(0，19，)B.(0， 39，)C.(0，14，)D.(0， 34，)56x0，解析(1)不等式組y2x，kxy10表示的可行域如圖(陰影部分)所示.創(chuàng)新設(shè)計x0，由圖可知，若要使不等式組y2x，kxy10表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當(dāng)直線kxy1

21、0 與直線 y 軸或 y2x 垂直時才滿足.結(jié)合圖形可知斜率 k 的值為 01或2.57創(chuàng)新設(shè)計(2)當(dāng) 0m3 時，焦點在 x 軸上，若曲線 C 上存在點 M 滿足AMB120atan 60 3，即 3 3，得 03 時，焦點在 y，則batan 60 3m軸上，依題設(shè)，則b m即3 3，得 m9.故 m 的取值范圍為(0，19，)，故選 A.答案(1)D(2)A58創(chuàng)新設(shè)計探究提高1.相關(guān)計算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論.2.圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點的位置不同來分類討論.59創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練 9】 (1)

22、設(shè)圓錐曲線 C 的兩個焦點分別為 F1，F(xiàn)2，若曲線 C 上存在點 P 滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線 C 的離心率等于 .(2)設(shè)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對邊的長分別是 a，b，c，且 b3，c1，ABC的面積為 2，則 a 的值為 .解析(1)不妨設(shè)|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0.若該曲線為橢圓，則有|PF1|PF2|6t2a，|F F|3t2c，ec2c3t112a2a6t2；若該曲線為雙曲線，則有|PF1|PF2|2t2a，60創(chuàng)新設(shè)計| F F |3t2c，ec2c .3t312a2a2t2曲線 C13(2)的離心率為2或2.1222

23、2由三角形面積公式，得231sin A 2，故 sin A3.因為 sinAcosA1所以 cos A1sin2A18193.61創(chuàng)新設(shè)計當(dāng)cosA1時，由余弦定理，得 a2b2c22bccosA321221318，所3以 a22.12223221當(dāng)cos A3時，由余弦定理，得 a b c 2bccos A3 1 213312所以 a23.綜上所述，a22或 23.答案 (1)1或3 (2)22或 232262創(chuàng)新設(shè)計類型四轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法適用于在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，思維受阻或試圖尋求簡單方法或 從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情形使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是

24、解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式.63創(chuàng)新設(shè)計應(yīng)用1特殊與一般的轉(zhuǎn)化【例 10】 (1)過拋物線 yax2(a0)的焦點 F，作一直線交拋物線于 P，Q 兩點.若線段PF 與 FQ 的長度分別為 p，q11( )，則pq等于2aA.2aB. 1 aC.4aD.4(2)已知向量 a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是 ，最大值是 .64創(chuàng)新設(shè)計221 1 解析(1)拋物線 yax (a0)的標(biāo)準方程為 x ay(a0)，焦點 F0，4a.不妨設(shè)過焦點 F 作直線垂直于 y 軸，則|PF|QF| 1 ，114a.2apq(2)由題意，不妨設(shè)b(2，0)，a(cos

25、，sin )，則ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin ).令y|ab|ab|（2cos ）2sin2（cos 2）2sin254cos 54cos ， 則 y21022516cos216，20.65創(chuàng)新設(shè)計由此可得(|ab|ab|)max 2025，(|ab|ab|)min 164，即|ab|ab|的最小值是 4，最大值是 25.答案(1)C (2)4 2566創(chuàng)新設(shè)計探究提高1.一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果.2.對于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是

26、一個定值時， 可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案.67創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練 10】(1)如果 a1，a2，a8 為各項都大于零的等差數(shù)列，公差 d0，那么( ) A.a1a8a4a5B.a1a8a4a5D.a1a8a4a52tan(2)(2019許昌模擬)在ABC 中，三邊長 a，b，c 滿足 ac3b，則 tanAC2的值5為 ( ) A.14B.1D.C.1223 68創(chuàng)新設(shè)計解析(1)取特殊數(shù)列an，其中ann(nN*).顯然a1a880 恒成立，f（2）0，（log2x）24log2x30，則即2f（2）0，（log2x） 10，解得 log2x3，即 0x8，21故實數(shù) x 的取

27、值范圍是0，2(8，).71(2)g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)， 則g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立.創(chuàng)新設(shè)計由得 3x2(m4)x20，即 m423x.xt當(dāng) x(t，3)時恒成立，m423t 恒成立，則 m41，即 m5；由得 m423x，當(dāng) x(t，3)時恒成立，則 m429，即 m37x3 3 .37使函數(shù) g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)的 m 的取值范圍是，5.3137答案 (1)0，2(8，) (2) 3 ，572創(chuàng)新設(shè)計探究提高 1.第(1)題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于t的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以巧妙選取其中的參數(shù)，將其看作是“主元”，而把其它變元看作是參數(shù).2. 第(2)題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其 ，體現(xiàn)“正難則反”的原則.73創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練11】 (1)(2019日照調(diào)研)由命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，得m的取值范圍是(，a)，則實數(shù)a的取值是() A.(，1)B.(，2)%0.1 D.2(2)已知