數(shù)學(xué)分析下冊課件：12-2正項(xiàng)級數(shù)

1、2 正項(xiàng)級數(shù),三、積分判別法,返回,收斂性是級數(shù)研究中最基本的問題, 本節(jié)將 對最簡單的正項(xiàng)級數(shù)建立收斂性判別法則.,一、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的一般判別原則,二、比式判別法和根式判別法,*四、拉貝判別法,一、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的一般判別原則,若數(shù)項(xiàng)級數(shù)各項(xiàng)的符號都相同, 則稱它為同號級數(shù).,對于同號級數(shù), 只須研究各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級,數(shù)(稱正項(xiàng)級數(shù)).若級數(shù)的各項(xiàng)都是負(fù)數(shù),則它乘以,-1后就得到一個正項(xiàng)級數(shù),它們具有相同的斂散性.,有界, 即存在某正數(shù)M, 對一切正整數(shù) n 有,單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界(單調(diào)有界,定理).這就證明了定理的結(jié)論.,僅靠定義和定理12.5來判斷正項(xiàng)級數(shù)的收斂性

2、是不,容易的，因此要建立基于級數(shù)一般項(xiàng)本身特性的收,斂性判別法則.,定理12.6 (比較原則),級數(shù), 如果存在某正數(shù)N, 對一切 n N 都有,則,證 因?yàn)楦淖兗墧?shù)的有限項(xiàng)并不影響原有級數(shù)的斂,散性,因此不妨設(shè)不等式(1)對一切正整數(shù)都成立.,由(1)式可得,對一切正整數(shù) n, 都有,則由(2)式對一切 n 有,(ii)為(i)的逆否命題,自然成立.,例1,解,例2 若級數(shù),在實(shí)際使用上,比較原則的極限形式通常更方便.,正項(xiàng)級數(shù),若,則,n N時(shí),恒有,或,(ii) 當(dāng)l = 0時(shí),由(4)式右半部分及比較原則可得,若,則對于正數(shù)1, 存在相應(yīng)的正數(shù)N,當(dāng),n N 時(shí), 都有,也發(fā)散.,例4

3、 正項(xiàng)級數(shù),散.,行比較. 由于,注意到,二、比式判別法和根式判別法,本段所介紹的兩個方法是以等比級數(shù)作為比較對象,而得到的, 但在使用時(shí)只要根據(jù)級數(shù)一般項(xiàng)本身的,特征就能作出判斷.,定理12.7(達(dá)朗貝爾判別法, 或比式判別法)設(shè),為正項(xiàng)級數(shù), 且存在某正整數(shù),證,把前n-1個不等式按項(xiàng)相乘后,得到,原則及上述不等式可得,數(shù)，且,則,N,當(dāng) n N 時(shí), 有,由上述不等式,的左半部分及比式判別法的 (i), 得正項(xiàng)級數(shù),是收斂的.,根據(jù)上述不等式的左半部分,例6 級數(shù),由于,根據(jù)推論1，級數(shù)收斂.,解 因?yàn)?根據(jù)推論1,當(dāng) 0 1時(shí)級數(shù)發(fā),發(fā)散的.,(1例5),卻是發(fā)散的(1例3).,若某級

4、數(shù)的(7)式的極限不存在,則可應(yīng)用上、下極,限來判別收斂性.,若(7)中q = 1,這時(shí)用比式判別法不能對級數(shù)的斂散,*例8 研究級數(shù),的斂散性, 其中 0 b c.,解 由于,故有,于是當(dāng)c 1時(shí),級數(shù)(8)發(fā)散;,但當(dāng)b 1 c時(shí),比式判別法無法判斷級數(shù)(8)的斂散,性.,項(xiàng)級數(shù), 且存在某正數(shù),于情形(ii), 由(10)式可得,不可能以零為極限, 因而由級數(shù),則,n N, 有,于是由根式判別法就得到推論所要證明的結(jié)論.,數(shù),且,解 由于,所以級數(shù)是收斂的.,若在(11)式中 l =1,則根式判別法仍無法對級數(shù)的斂,發(fā)散的.,來判斷.,則當(dāng),(i) l 1 時(shí)級數(shù)收斂;,(ii) l 1

5、 時(shí)級數(shù)發(fā)散.,散性，其中,解 由于,故,因此級數(shù)是收斂的.,如果應(yīng)用比式判別法, 由于,我們就無法判斷其收斂性.,根據(jù)第二章總練習(xí)題 4 (7), 當(dāng),時(shí), 必有,這說明凡能由比式判別法判別收斂性的級數(shù), 也能,由根式判別法來判別, 亦即根式判別法較之比式判,故比式判別法無法鑒別此級數(shù)的收斂性. 但應(yīng)用根,式判別法卻能判定此級數(shù)是收斂的(例9).那么, 是,否就不需要比式判別法了？請看下面例子.,例11 判別下列級數(shù)的斂散性：,解 (i) 因?yàn)?由比式判別法，原級數(shù)為收斂.,(ii) 因?yàn)?由根式判別法, 原級數(shù)為收斂.,不采用根式法.,三、積分判別法,由于比式和根式判別法的比較對象是幾何級

6、數(shù),局,限性較大, 所以還需要建立一些更有效的判別法.,收斂或同時(shí)發(fā)散.,f 在1, A上可積,于是,依次相加可得,若反常積分收斂,則由(12)式左邊,對任何正整數(shù)m,有,一正整數(shù) m(1)有,因?yàn)閒 (x)為非負(fù)減函數(shù), 故對任何正數(shù) A, 都有,發(fā)散的.,例12 討論,知它也是發(fā)散的.,例13 討論下列級數(shù),的斂散性.,解,由于比式和根式判別法的比較對象是幾何級數(shù), 如,果級數(shù)的通項(xiàng)收斂速度較慢, 它們就失效了, 如 p,級數(shù). 拉貝(Raabe)判別法是以 p 級數(shù)為比較對象,這類級數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢, 因此較比式,或根式法在判斷級數(shù)收斂時(shí)更精細(xì).,*四、拉貝判別法,證 (i),

7、故存在正數(shù)N, 使對任意n N ，都有,這樣,于是, 當(dāng)n N 時(shí)，有,且極限,存在, 則,當(dāng)s =1, 2, 3時(shí)的斂散性.,例14 討論級數(shù),解 無論s =1, 2, 3哪一值,級數(shù)(14)的比式極限,所以用比式判別法無法判別級數(shù)(14)的斂散性. 現(xiàn),應(yīng)用拉貝判別法來討論. 當(dāng) s =1時(shí),因,故級數(shù)(14)是發(fā)散的. 當(dāng)s = 2時(shí), 利用極限形式, 有,無法對級數(shù)(14)的作出判斷. 但由于,由拉貝法的非極限形式知級數(shù)(14)發(fā)散. 當(dāng) s =3時(shí),所以級數(shù)(14)收斂.,根式法更廣泛, 但當(dāng) r =1 時(shí)仍無法判別. 而從例12,似乎可以得出這樣得結(jié)論：沒有收斂得“最慢”的,收斂級數(shù). 因此任何判別法都只能解決一類級數(shù)的,收斂問題,而不能解決