高等數(shù)學(xué)B資料：4_2_3-一階線性方程x_第1頁
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1、1,4.2.3、一階線性微分方程,1、一階線性微分方程,2、伯努利方程,第四章,2,一、一階線性微分方程,一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若 Q(x) 0,稱為非齊次方程 .,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程 ;,3,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2. 解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,即,即,作變換,兩端積分得,4,例1. 解方程,解: 先解,即,積分得,即,用常數(shù)變易法求特解. 令,則,代入非齊次方程得,解得,故原方程通解為,5,例2 解微分方程,解：如果將上式寫為,顯然不是線性微分方程.,如果改寫為,將 看作 的函數(shù)，則是形如,

2、的線性微分方程,6,7,例3. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同號(hào),由一階線性方程通解公式 , 得,故方程可,變形為,所求通解為,8,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,令,求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得,換回原變量即得伯努利方程的通解.,解法:,(線性方程),9,例3. 求方程,的通解.,解: 令,則方程變形為,其通解為,將,代入, 得原方程通解:,10,內(nèi)容小結(jié),1. 一階線性方程,方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.,方法2 用通解公式,化為線性方程求解.,2. 伯努利方程,11,思考與練習(xí),判別下列方程類型:,提示:,可分離 變量

3、方程,齊次方程,線性方程,線性方程,伯努利方程,12,備用題,1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),使其滿足下列方程:,提示:,令,則有,利用公式可求出,13,2. 設(shè)有微分方程,其中,試求此方程滿足初始條件,的連續(xù)解.,解: 1) 先解定解問題,利用通解公式, 得,利用,得,故有,14,2) 再解定解問題,此齊次線性方程的通解為,利用銜接條件得,因此有,3) 原問題的解為,15,( 雅各布第一 伯努利 ),書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.,標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年,版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多,1694年他首次給出了直角坐,1713年出,這是組合數(shù)學(xué)與概率論史,此外, 他對(duì),雙紐線, 懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究 .,作 業(yè),習(xí) 題 三,（P224）,1（3）（5）（9）（11）（13）（14）(15)； 2（1）（4）（6）

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