能帶理論及其應用

1、1,能帶理論的學習及應用,14 級 張鑫方,2,一、能帶理論,我們研究過金屬自由電子理論，在那里沒有考慮電子間的相互作用及電子與離子實的作用。在考慮電子間的屏蔽效應時，采用獨立準電子近似，有其合理性，但仍忽略構成晶格的離子實的作用，所以仍不能說明晶體可以區(qū)分為導體、半導體和絕緣體以及導電的本質等基本問題。 但如果嚴格按照晶體內的實際情況考慮，將是一個復雜的多電子問題。仍需要建立簡化模型，方能解決問題。,3,考慮到離子實及電子間的相互作用，則提出一種新的簡化模型，即單電子近似。 由于電子間的庫侖作用很強，如果電子密度高，則每個電子受到其他電子的作用將會接近于平均作用，密度越高越接近。所以可用某種

2、平均勢來近似描述電子間的相互作用。再加上離子實產生的周期勢，則每個電子都在一個相同的勢場中運動，就化成單電子問題。,4,單電子所處周期性勢場圖示,能帶理論是一種絕熱近似下的單電子近似理論。,5,能帶理論基本思想,具有周期性的晶格結構，因而等效勢場V(r)也應具有周期性。,理想晶體,晶體中的電子,是在一個具有晶格周期性的等效勢場中運動，其波動方程為（即單電子薛定諤方程）：,解此方程得到單電子能譜，是由準連續(xù)能級組成 的能帶，所以稱為能帶理論。,6,能帶理論,是一種絕熱近似下的單電子近似理論。由于得到的單電子能譜，是由準連續(xù)能級組成的能帶，故稱為能帶理論。,7,能帶理論的處理方法,（1）電子的共有

3、化運動：認為固體中的電子不再束縛于個別的原子，而是在整個固體內運動。 （2）微擾處理：在討論共有化電子運動狀態(tài)時，假定原子實處在其平衡位置，而把原子實偏離平衡位置的影響看成微擾。,8,能帶理論建立基礎,(1)絕熱近似 (2)單電子近似,絕熱近似：是將電子運動與離子運動分開來考慮： (1)研究離子運動時，認為電子能跟上離子位置變化，不考慮其影響即晶格振動問題，描述原子或離子圍繞平衡位置的小振動問題。 (2)研究電子運動時，假定離子實靜止在平衡位置上，晶格具有嚴格周期性，而晶格振動對電子影響當作微擾來處理即能帶理論，研究固體中的電子狀態(tài)。 單電子近似：含有大量電子的體系中，每個電子受到其它電子作用

4、比較接近于平均作用，故用“平均勢場”來替代電子的真實相互作用，即每個電子都在一個相同的有效勢場中運動。這種方法稱為單電子近似，對于晶格，單電子有效勢由兩部分組成，即晶格離子勢和電子間平均作用勢。,9,能帶理論是一種近似方法,晶體中電子有兩類,外層價電子 能量高； 晶體勢場較弱； 電子行為類似于自由電子； 故晶體勢場對電子運動的影響看作微擾處理。,近自由電子近似,內層電子 能量低； 晶體勢場較強； 電子基本上圍繞原子核運動；故相鄰原子的影響看作是微擾處理。,緊束縛近似,10,布洛赫定理,1 布洛赫定理： 具有晶格平移對稱性的單電子哈密頓 的本征函數 可以表示為 為實數矢量， 是一個晶格周期函數,

5、1,11,對布洛赫定理的說明,（1）布洛赫定理是由于單電子勢 具有晶格平移周期性的結果。 （2）定理與 具體形式無關，是普遍成立的。 （3）布洛赫函數： 滿足布洛赫定理的波函數 稱為布洛赫函數。 與自由電子的波函數相比，布洛赫函數多了一個晶格周期函數 。它相當于自由電子平面波的振幅部分，起調幅的作用。 故布洛赫函數是被晶格周期函數 調幅的平面波。 （4）布洛赫電子： 由布洛赫函數描述的電子稱為布洛赫電子。,12,能帶及其對稱性,1 能量本征值 將布洛赫函數帶回單電子薛定諤方程得 滿足的方程 對于一個給定的 ，上式可解出無窮多個能量本征值和本征函數（由量子力學解薛定諤方程的本征值） 波矢 （由前

6、面證布洛赫定理時已給出，由邊界條件可得出, 為整數）， 相鄰取值相差很小。,13,2 能帶： 對于同一個n的 由不同的 組成許多靠得很近的能級組，稱為能帶。 3 能帶結構 對于不同的n， 形成單電子能譜。 的總體稱為晶體的能帶結構。 所以單電子能譜是由許多能帶組成（每個n對應一個能帶）。 對一個能帶中的 是 的準連續(xù)函數（分立值，靠得很近為準連續(xù)）相鄰能帶 和 之間可以相接，重疊或分開。 4 禁帶（帶隙） 如果相鄰能帶之間分開，則出現的能量間隙稱為禁帶或帶隙。,1,14,出現能隙的物理原因,由于晶格周期場的作用出現能隙。對于近自由電子近似，以自由電子作為零級近似，波函數為平面波。當波矢不滿足布

7、拉格條件時，晶格影響弱，電子不受阻礙。電子波在晶體中的傳播相當于X射線通過晶體。 當波矢滿足布拉格條件（勞厄條件），電子波被晶格的某一族晶面反射，電子不能自由通過，能級發(fā)生劈裂。（形成駐波，兩個波函數對應兩個分布幾率峰值兩個能量斷開。）,15,E(k)圖與能帶,能帶,禁帶,內層電子的能帶較窄。 外層電子的能帶較寬。,16,二、導體、絕緣體與半導體,用能帶理論可以說明晶體為什么可以區(qū)分為導體、絕緣體與半導體. 能帶的填充與導電性 1 沒有外電場時 無外電場時，能帶中電子的分布是對稱的， 和 狀態(tài)的電子數相等。電子的平均速度在 與 處大小相等，方向相反。所以 和 兩個狀態(tài)中的電子產生的電流相抵消，

8、不產生宏觀電流。,17,2有外場時,（1）能帶填滿的情況 所有電子的狀態(tài)均以同樣速率變化。由于 的周期性，使得整個能帶電子分布無變化。 所以滿帶在電場作用下不會產生電流。,18,（2）能帶不滿 能帶部分狀態(tài)被電子占據，在電場作用下，整個電子分布向電場反方向移動。因為有 （a）布洛赫振蕩：剛有外場時，由于 是 的周期函數，故電子速度發(fā)生周期性振蕩，電子在實空間位置也發(fā)生振蕩，此效應稱為布洛赫振蕩。 （b）當電子運動時，受到晶格振動、雜質和缺陷的散射，達到一個穩(wěn)定的不對稱分布，不再振蕩。此時，沿電場正反方向電子數不相等，總的電流不為零。,19,電子與空穴,1 近滿帶中的電流 在近滿的能帶中，大部分

9、狀態(tài)被電子占據，只有少量狀態(tài)是空的。假設在一個能帶中只有一個波矢為K的狀態(tài)是空的，其余狀態(tài)均被電子占滿，缺少一個電子的近滿帶能導電。 電流密度 只有 處無電子，故求和不包括 。而總的滿帶狀態(tài)的速度求和 （對所有K求和就是滿帶情況，滿帶時無電流） 故,20,空穴,上面看到近滿帶中的電流可表示為 與一個帶正電荷的假想粒子以速度 運動時所產生的電流相同，所以把近滿帶中的空狀態(tài)看成是一種帶正電荷的準粒子，稱為空穴。 與 作為空穴的波矢與速度。,21,導體、絕緣體與半導體的區(qū)分,根據能帶的填充情況可判斷晶體是否為導體。滿帶電子不導電，只有不滿帶的電子才導電。孤立原子中的滿殼層電子將填滿相應的能帶，只需考

10、慮價電子的能帶填充情況就可判斷晶體的導電性。由于一個能帶能容納2N個電子。 （1）當每個原胞含有奇數個價電子時，必有不滿的能帶。這種晶體應是導體。例：單價金屬，只有一個價電子，填充半個能帶。 （2）每個原胞有偶數個價電子時，可填滿一個或幾個能帶。 （a）最高滿帶與最低空帶有重疊，晶體仍是導體。 （b）滿帶與空帶有較少重疊，只有少量電子從滿帶轉移到空帶，導電性能比普通金屬差，稱為半金屬。 ( c ) 最高滿帶與最低空帶沒有重疊，被禁帶分開，這種晶體是絕緣體半導體。,22,金屬（導體）、半導體和絕緣體的能帶模型,能帶模型如圖,23,三、石墨烯能帶結構的緊束縛近似計算,緊束縛近似 認為原子結合成晶體

11、后，其價電子仍束縛在原子周圍，基本保持原子狀態(tài)特征，其他原子的影響很弱看成是微擾。 這種模型稱為緊束縛近似。 這種模型適合于原子間距比較大，價電子波函數重疊很少的晶體，或晶體中束縛比較緊的內層電子。,24,緊束縛近似的晶格勢場,晶格中 格點附近任意點A的電子勢能為：,25,石墨烯是由碳六元環(huán)組成的二維周期蜂窩狀點陣結構， 如圖 1 所示。 每個碳原子都具有四個價電子， 并按平面正三角形等距離的和 3 個碳原子相連，每個碳原子以 sp 2雜化和周圍的 3 個碳原子形成 3 個 鍵。,26,石墨烯的電子能帶理論,在碳形成晶體時，四個價電子緊緊地束縛在離子周圍，因為各原子核對電子的束縛作用強，晶體中的電子狀態(tài)和孤立原子之間的差別不是特別明顯。此時對于材料的電子結構，可以近似考慮電子為孤立原子的電子，并將離子形成的周期性勢場看作微擾，也就是緊束縛模型。 在石墨烯中，進一步可以考慮費米面能級附近有主要貢獻的pz電子。,27,因此，在緊束縛近似下，只考慮最近林原子間的相互作用，對每一個C原子，它有3個最近臨原子