第六節(jié) 曲面與曲線(xiàn)

1、第六節(jié)一、曲面曲面與曲線(xiàn)曲面的實(shí)例： 水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：如果曲面S 與三元方程F ( x, y, z) = 0有下述關(guān)系：（1） 曲 面S 上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程；（2） 不在曲面S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足方程；那么，方程F ( x, y, z) = 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的圖形以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.建立球心在點(diǎn)M0 ( x0 , y0 , z0 )、半徑為R例 1的球面方程.設(shè)M ( x, y, z)是球面上任一點(diǎn)，解| MM0 |= R根據(jù)題意有(x - x0 )+ ( y - y)+ (z - z)

2、22200= R(x - x0 )+ ( y - y)+ (z - z)= R222200所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為 x2 + y2 + z2 = R2例 2 求與原點(diǎn)O 及M0 (2,3,4)的距離之比為1 : 2 的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.解設(shè)M ( x, y, z)是曲面上任一點(diǎn)，| MO |= 1 ,根據(jù)題意有| MM0 |2+ y2 + z 2x 2= 1,(x - 2)2 + ( y - 3)2+ (z - 4)222 24 2116()2x +y + 1+ z + 3 =.所求方程為39例 3 已知A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求線(xiàn)段AB 的垂直平分面的方程.

3、設(shè)M ( x, y, z)是所求平面上任一點(diǎn)，根據(jù)題意有| MA |=| MB |,(x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 3)2解(x - 2)2 + ( y + 1)2 + (z - 4)2 ,=2 x - 6 y + 2z - 7 = 0.化簡(jiǎn)得所求方程方程z = ( x - 1)2 + ( y - 2)2- 1的圖形是怎樣的？z例4z -1解根據(jù)題意有用平面z = c 去截圖形得圓：( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 1 + c(c -1)c當(dāng)平面z = c 上下移動(dòng)時(shí)， 得到一系列圓oy1 + c圓心在(1,2, c)，半徑為半徑隨c 的增大而增大.x圖形

4、上不封頂，下封底以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論柱面、二次曲面）1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)程:播放柱面舉例zz平面= 2xyy2ooyy = xxx拋物柱面從柱面方程看柱面的特征：只含x, y 而缺z的方程F ( x, y) = 0 ，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線(xiàn)平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線(xiàn)為xoy 面上曲線(xiàn)C. （其他類(lèi)推）y2z2+c2= 1實(shí)例/ x軸橢圓柱面b2x22

5、- yz=1/軸/ y 軸雙曲柱面a2x2b2= 2 pz拋物柱面2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸播放旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：zM1 (0, y1 , z1 )f ( y, z) = 0y dM如圖設(shè) M( x, y, z),(1)z = z1（2）點(diǎn)M 到z 軸的距離oxd =+ y2=| y|x21將 z = z,y= + y2x2代入11f ( y1 , z1 ) = 0f ( y1 , z1 ) = 0將 z = z,y= + y2x2代入11f (+ y2 ,z)= 0,x2得方程yoz 坐標(biāo)面上的已知曲線(xiàn) f (

6、 y, z) = 0 繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.同理： yoz 坐標(biāo)面上的已知曲線(xiàn) f ( y, z) = 0繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為f (y,+ z2 )= 0.x2直線(xiàn)L 繞另一條與L 相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，例 5所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面兩直線(xiàn)的交點(diǎn)叫圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線(xiàn)的夾角a 0 a p 叫圓錐面的半頂2 角試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z 軸，半頂角為a的圓錐面方程zzyoz 面上直線(xiàn)方程為z =y cota圓錐面方程解M(0, y , z)111ooyyxx+ y2 cotaM( x, y, z)z = x2例6將下列各曲線(xiàn)繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程x 2z

7、 2（1）雙曲線(xiàn)-= 1分別繞a 2c 2x軸和 z軸；+ z2x2y2旋轉(zhuǎn)雙曲面-= 1x繞軸旋轉(zhuǎn)a2x2c2+ y2z2-c2= 1繞 z 軸旋轉(zhuǎn)a2 y22+ z= 1繞y軸和 z2c22a（）橢圓軸； x = 0+ z2y2x2旋轉(zhuǎn)橢球面繞y 軸旋轉(zhuǎn)+= 1a2x2c2+ y2z2+c2= 1繞z 軸旋轉(zhuǎn)a2 y2 = 2 pz繞 z 軸；3（）拋物線(xiàn)x = 0+ y2 = 2 pzx2旋轉(zhuǎn)拋物面3.小結(jié)曲面方程的概念 F ( x, y, z) = 0.旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念(母線(xiàn)、準(zhǔn)線(xiàn)).思考題指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？(1) x = 2

8、;(3)y = x + 1.+ y2 = 4;x2(2)思考題解答方程平面解析幾何中空間解析幾何中x = 2平行于y 軸的直線(xiàn)平行于yoz 面的平面x2 + y2 = 4圓心在(0,0)，半徑為2 的圓以z 軸為中心軸的圓柱面y = x + 1斜率為1的直線(xiàn)平行于z 軸的平面練習(xí)題一、填 空題：1、與 Z 軸和點(diǎn)A(1 , 3 ,-1)等距離的點(diǎn)的軌跡方程是 ；2、以 點(diǎn)O(2 ,-2 , 1)為球心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程是 ；+ y2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4z - 7 = 0 的球心是3、球 面： x 2點(diǎn) ，半徑R = ；x2y2z2=1，當(dāng)a = b 時(shí)，曲面可由

9、4、設(shè) 曲面方程+a2b2c2xoz 面上以曲線(xiàn) 繞 軸旋轉(zhuǎn)面成，或由yoz 面上以曲線(xiàn) 繞 軸旋轉(zhuǎn)面成 ;5、若 柱面的母線(xiàn)平行于某條坐標(biāo)軸，則柱面方程的特點(diǎn)是 ；y2面 x-+ z = 1是由 繞 軸放26、曲 4置一周所形成的；面(z - a)2 = x 2+ y2 是由 繞 7、曲 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的；8、方 程x = 2 在平面解析幾何中表示 在空間解析幾何中表示 ；+ y2 = 4x 29、方 程在 平 面 解 析 幾 何 中 表 示 ， 在 空 間 解 析 幾 何 中 表 示 .二、畫(huà) 出下列各方程所表示的曲面：1、( x - a )2 + y2 = ()2 ；a22x 2 +

10、z 2=1 ；2、943、z = 2 - x 2 .練習(xí)題答案一、1、z 2 - 2 x - 6 y + 2z + 11 = 0；+ y2+ z 2- 4 x + 4 y - 2z = 0；3、(1,-2,2),4； 2、x 2x 2 + z 2y2 + z 2x 2y2= 1, z,b2= 1, z,+a 2= 1, y, 4、a 2c2c2b2y2 + z 2=1, y ； 5、不含與該坐標(biāo)軸同名的變量； b2c2y2-= 1, y ；2 6、xoy 面上的雙曲線(xiàn)x4 7、yoz 面上的直線(xiàn) z =y + a, z ； 8、平行于 y 軸的一條直線(xiàn),與yoz 面面平行的平面； 9、圓心在原

11、點(diǎn),半徑為 2 的圓,軸為z 軸 ,半徑為 2 的圓柱面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2

12、. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所

13、成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)程:1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)程:1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)

14、程:1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)程:1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)程:1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)程:1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)程:1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成過(guò)程:1. 柱面定義平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線(xiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn) L 叫柱面的母線(xiàn).觀察柱面的形成