第六章6 6廣義積分

1、第六節(jié)反常積分無窮限的反常積分函數(shù)的反常積分小結(jié)一、無窮限的反常積分設(shè)函數(shù) f ( x)在區(qū)間a,+)上連續(xù)，取定義 1bb a ，如果極限limf ( x)dx存在，則稱此極ab+限為函數(shù) f ( x) 在無窮區(qū)間a,+) 上的反常積+分，記作af ( x)dx.+bf ( x)dx =limf ( x)dxaab+當(dāng)極限存在時，稱反常積分收斂；當(dāng)極限不存在時，稱反常積分發(fā)散.類似地可定義:bb=limf ( x)dxf ( x)dx-aa-+f (x)dxcf ( x)dx=+f (x)dx-ccb=+ limb+lima-f (x)dxf (x)dxac+cc,中有一個不存在,則稱若f

2、(x)dxf (x)dx-+-f ( x)dx不存在反常積分aa 1 + x2b+0 1 +=lim arctan xa+ lim arctan x0ab+= p +p = p.dx+.例1計算反常積分1 + x2- dx1 + x2 dx1 + x2 dx1 + x2+0=+b解-010 1dx2x0b2 2a-可替換為b+= arctanx |0+arctanx |+-0= arctan0 -lim arctanx + lim arctanx - arctan0x-x+= -(- p) + p = p22+bDf ( x)dx =lim f ( x)dx =lim F (b) - F (a

3、) =F(x) |+=a - lim arctabna+ +a lim arctanbb+a=lim dx + lim 若f(x)的一個原函數(shù)為F(x),則+dx1例2x + x 2 1 x p+dx 當(dāng) p1時收斂，例 3證明反常積分1當(dāng) p 1時發(fā)散. 1 x p1x+1+= +=p = 1,dx=,dx(1)ln x證11+ ,p 1+1- p 1 x p x= 1+(2)p 1,1dx = p - 11 - p11p - 1因此當(dāng) p 1時反常積分收斂，其值為當(dāng) p 1時反常積分發(fā)散.；+例4sinxdx計算-+0解: - sin xdx = sin xdx +sin xdx-0+0+

4、0sin xdx =cosx |Q=lim cosx + 1不存在x+sinxdx發(fā)散+ 0sin xdx發(fā)散 -+說明: 若f(x)為奇函數(shù),反常積分- f (x)dx未必為0但若f(x)為偶函數(shù),則- f (x)dx = 20f (x)dx+二、定義 2函數(shù)的反常積分設(shè)函數(shù) f ( x)在區(qū)間(a, b上連續(xù)，而在 取 e 0 ， 如果極限點 a 的右鄰域內(nèi)blimf ( x)dx 存在，則稱此極限為函數(shù) f ( x)a+ee +0bf ( x)dx.(a, b在區(qū)間上的反常積分，記作abb= limf ( x)dxf ( x)dxa+ee +0a當(dāng)極限存在時，稱反常積分收斂；當(dāng)極限不存在

5、時，稱反常積分發(fā)散.類似地可定義:b-eb(2)f (x)在x b-時f (x)dx = lim,f (x)dx,e0+aa(3)f(x)在x c(a c b),bcbf ( x)dx =f ( x)dx +f ( x)dxaacc-eb=f ( x)dx + limlimf ( x)dxc+e ae +0e +0注意: e和e可以有不同的收斂速度定義中C為瑕點，以上積分稱為瑕積分.記號:設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x),b(1)f (x)在x a+,f (x)dx =F(x) |=bF(b) -lim F(x)a+axab(2)f (x)在x b-,f (x)dx =F(x) |=blim

6、F(x) -F(a)a-axb(3)f(x)在x c(a c 0).例5計算反常積分- x2a201= +,Q lim解- x2a2xa-0 x = a 為被積函數(shù)的無窮間斷點. dx dxa-ea= lim- x2- x2a2a200e +0x a-ea - ep2= lim arcsin= lim arcsin- 0 =.e +0e +0aa0 1 xq1q 1, q 111-q= 1 x10(2)q 1,=dx1 - q01 - q因此當(dāng)q 1時反常積分收斂，其值為1；當(dāng)q 1時反常積分發(fā)散.1 - q例7 1 dx111x0= 1dx +dx-1 x-1 x01x1x1dx =ln x |= - lim ln x1不存在Q0x0+01 dx發(fā)散11 dx發(fā)散-1 x0dx3.x = 1瑕點例8計算反常積分2( x - 1)30dxdx133= (+)解223( x - 1)( x - 1)3001 dx= lim dx= 311-e02( x - 1)dx20( x - 1)dxe 0+3333= lim= 3 32,23+e23( x - 1)1e 0+( x - 1)1dx3= 3(1 +32).23( x - 1)0 1x(1 + x)+例9dx-在x=0,無窮限積分0+ 2d(x)0=x |+= 2arctan= p01 + (x)2三、