寧夏大學(xué)第十章 曲線

1、第十章曲線10-1曲線概述 曲線的形成 曲線的分類(lèi) 曲線的投影 曲線的實(shí)長(zhǎng)一、曲線的形成曲線是點(diǎn)的集合曲線可看作是一個(gè)點(diǎn)在空間連續(xù)運(yùn)動(dòng)的軌跡曲面體的外形輪廓線曲表面與其它表面的交線（如截交線、相貫線）二、曲線的分類(lèi)二次曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線等）以及任一曲面與平面的交線平面曲線按點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否在同一平面曲線上任意連續(xù)四個(gè)點(diǎn)不在同一平面上，例如圓柱螺旋線空間曲線可用數(shù)學(xué)方法精確描述，如圓、正弦曲線、圓柱螺旋線規(guī)則曲線按點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有無(wú)規(guī)律可用數(shù)學(xué)方法精確描述，只能用圖和數(shù)據(jù)列表法表示，如海岸線等。不規(guī)則曲線三、曲線的投影EADBCaedbc曲線的投影一般仍為曲線屬于曲線上的點(diǎn)，它的投影屬于該

2、曲線在同一投影面上的投影屬于曲線某點(diǎn)的切線，它的投影與該曲線在同一投影面的投影仍相切與切點(diǎn)的投影四、曲線的實(shí)長(zhǎng)圖例說(shuō)明 將曲線分成若干段，定出各點(diǎn)的兩面投影 利用直角三角形求實(shí)長(zhǎng)的方法，求得各段曲線的近似實(shí)長(zhǎng)。 順次量取各段實(shí)長(zhǎng)求和即得近似實(shí)長(zhǎng)。10-2規(guī)則曲線 平面規(guī)則曲線 空間規(guī)則曲線平面規(guī)則曲線 平面規(guī)則曲線的投影特性平面曲線除具有曲線投影的性質(zhì)外，尚有下列投影性質(zhì)： 平面曲線所在的平面平行于某一投影面時(shí)，則在該投影面的投影，反映曲線的實(shí)形。 平面曲線所在的平面垂直于某一投影面時(shí)，則在該投影面的投影，積聚成一條直線。 平面曲線上某些奇異點(diǎn)的投影保持原有性質(zhì)， 即曲線的拐點(diǎn)、尖點(diǎn)及兩重點(diǎn)的

3、投影后仍為曲線投影的拐點(diǎn)、尖點(diǎn)及兩重點(diǎn)。 拋物線、雙曲線、橢圓等二次曲線投影后，一般性質(zhì)不變，即拋物線的投影為拋線、雙曲線的投影為雙曲線、橢圓的投影為橢圓等。平面規(guī)則曲線的概念：凡曲線上所有點(diǎn)都屬于同一平面，且該曲線可以用數(shù)學(xué)方法精確描述，則稱(chēng)為平面規(guī)則曲線。平面規(guī)則曲線圓的投影 圓的投影特性 傾斜于投影面的圓，它的投影為橢圓(解析法P144)。 傾斜于投影面的圓上任意一對(duì)相互垂直的直徑， 投影成橢圓上的一對(duì)共軛直徑(P144注)。 傾斜于投影面的圓上一對(duì)相互垂直的直徑，其中有一條直徑為投影面平行線時(shí)，則它們?cè)谠撏队懊娴耐队盀闄E圓的長(zhǎng)短軸。平面規(guī)則曲線橢圓的投影 橢圓的投影特性 在特定條件下，

4、橢圓的投影可為一圓。(解析法P144)。 橢圓有一對(duì)共軛直徑，投影后性質(zhì)不變?？臻g規(guī)則曲線凡是曲線上有任意四個(gè)連續(xù)的點(diǎn)不屬于同一平面，則稱(chēng)該曲線為空間曲線。螺旋線為常見(jiàn)的規(guī)則空間曲線?？臻g規(guī)則曲線(a)(b)螺旋線有左旋和右旋之分。當(dāng)點(diǎn)按右手定則（以右手拇指指點(diǎn)的移動(dòng)方向，四指彎曲指著點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方向）運(yùn)動(dòng)時(shí)，則稱(chēng)為右旋(a)， 反之，則稱(chēng)為左旋(b)。圓柱螺旋線：動(dòng)點(diǎn)沿著圓柱的軸線作等速移動(dòng)，同時(shí)又繞柱軸作等速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng) 點(diǎn)M的軌跡形成圓柱螺旋線動(dòng)點(diǎn)沿著圓柱面的母線作勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，該母線又繞圓柱面軸線 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)的這種復(fù)合運(yùn)動(dòng)的軌跡，稱(chēng)為圓柱螺旋線。當(dāng)母線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在母線上移

5、動(dòng)的距離，稱(chēng)為導(dǎo)程。導(dǎo)圓柱面的直徑、母線的旋轉(zhuǎn)方向和導(dǎo)程是確定圓柱螺旋線的三要素， 已知三要素即可作出其投影圖。圓柱螺旋線的投影圖一般取螺旋線的軸線垂直于投影面，如取軸線垂直于H面，則螺旋線的水平投影為一圓周，直徑等于導(dǎo)圓柱面的直徑d ；正面投影為正弦曲線。具體作圖方法如下（圖6-（a）：把水平投影圓周分為若干等份（例如12等份），把導(dǎo)程h 分為同樣多的等份，設(shè)始點(diǎn)為o，每旋轉(zhuǎn)一份等分角，則上升一個(gè)等分距離，這樣得到下面投影中一系列的點(diǎn)，用曲線連接起來(lái)，即為螺旋線的正面投影。螺旋線隨導(dǎo)圓柱面展開(kāi)時(shí)成直線（圖6-（b）。一個(gè)導(dǎo)程的圓柱面展開(kāi)后成矩形，矩形的邊長(zhǎng)為d 和h 。矩形的對(duì)角線即為螺旋線

6、展開(kāi)后的位置，該直線與底圓展開(kāi)后所得直線的夾角叫做螺旋線的升角，它的余角稱(chēng)為螺旋角。不規(guī)則曲線10-3概述自由曲線廣泛用于汽車(chē)、飛機(jī)、輪船、火箭等計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中，涉及的問(wèn)題有兩個(gè)方面：一是由已知的離散點(diǎn)確定曲線；二是對(duì)已知自由曲線，通過(guò)交互方式予以修改，使其滿足設(shè)計(jì)者的要求。不規(guī)則曲線的描述與表示(一)曲線的樣條表示對(duì)于曲線而言，最具實(shí)際意義的莫過(guò)于樣條曲線。樣條曲線是在生產(chǎn)實(shí)踐 的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。傳統(tǒng)的處理方法是模線間的設(shè)計(jì)人員在繪制模線時(shí)，先按給定的數(shù)據(jù)將型值點(diǎn)準(zhǔn)確地“點(diǎn)”到圖板上。然后，采用一種稱(chēng)為“樣條”的工具(一根富有彈性的有機(jī)玻璃條或木條)，用壓鐵強(qiáng)迫它通過(guò)這些型值點(diǎn)，再

7、適當(dāng)調(diào)整這些壓鐵，讓樣條的形態(tài)發(fā)生變化，直至取得合適的形狀，才沿著樣條畫(huà)出所需的曲線。近年來(lái)，計(jì)算機(jī)能夠方便地處理樣條曲線問(wèn)題，復(fù)雜曲線形狀不可能用單一的曲線模擬，而由幾段曲線段彼此首尾相連拼接，要求曲線連接處有連續(xù) 的一階和二階導(dǎo)數(shù)，從而保證各曲線的光滑連接，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條 曲線即指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線。不規(guī)則曲線的描述與表示(二)插值與逼近給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱(chēng)為插值曲線。構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。插值和逼近則統(tǒng)稱(chēng)為擬合。(三) 曲線段的數(shù)學(xué)表示(略)注：本教材中還介紹了Hermite插值樣條曲線(Ferguson曲線)、三次Bezier 曲線以及它們之間的關(guān)系等。大家在以后的學(xué)習(xí)中再深入的學(xué)習(xí)。畫(huà)法幾何學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)址 /draw/jinpin/jxdg.htm 09/kechenzx/03-2-3.htm 09/kechenzx/04-2-4.htm /files/study/sinde