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文檔簡(jiǎn)介

1、5 測(cè)量誤差的基本知識(shí)5-1 測(cè)量誤差及其分類研究測(cè)量誤差的來(lái)源、性質(zhì)及其產(chǎn)生和傳播的規(guī)律,解決測(cè)量工作中遇到的實(shí)際問(wèn)題而建立起來(lái)的概念和原理的體系,稱為測(cè)量誤差理論。在實(shí)際的測(cè)量工作中發(fā)現(xiàn):當(dāng)對(duì)某個(gè)確定的量進(jìn)行多次觀測(cè)時(shí),所得到的各個(gè)結(jié)果之間往往存在著一些差異,例如重復(fù)觀測(cè)兩點(diǎn)的高差,或者是多次觀測(cè)一個(gè)角或丈量若干次一段距離,其結(jié)果都互有差異。另一種情況是,當(dāng)對(duì)若干個(gè)量進(jìn)行觀測(cè)時(shí),如果已經(jīng)知道在這幾個(gè)量之間應(yīng)該滿足某一理論值,實(shí)際觀測(cè)結(jié)果往往不等于其理論上的應(yīng)有值。例如,一個(gè)平面三角形的內(nèi)角和等于180,但三個(gè)實(shí)測(cè)內(nèi)角的結(jié)果之和并不等于180,而是有一差異。這些差異稱為不符值。這種差異是測(cè)量

2、工作中經(jīng)常而又普遍發(fā)生的現(xiàn)象,這是由于觀測(cè)值中包含有各種誤差的緣故。任何的測(cè)量都是利用特制的儀器、工具進(jìn)行的,由于每一種儀器只具有一定限度的精密度,因此測(cè)量結(jié)果的精確度受到了一定的限制。且各個(gè)儀器本身也有一定的誤差,使測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生誤差。測(cè)量是在一定的外界環(huán)境條件下進(jìn)行的,客觀環(huán)境包括溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素??陀^環(huán)境的差異和變化也使測(cè)量的結(jié)果產(chǎn)生誤差。測(cè)量是由觀測(cè)者完成的,人的感覺(jué)器官的鑒別能力有一定的限度,人們?cè)趦x器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等等方面都會(huì)產(chǎn)生誤差。此外,觀測(cè)者的工作態(tài)度、操作技能也會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量(精度)產(chǎn)生影響。一觀測(cè)值與誤差1觀測(cè)值:測(cè)量的結(jié)果(l)2誤差:測(cè)量(儀器、

3、過(guò)程、方法),人,自然條件。l與觀測(cè)值的差值3真值:也叫理論值(找不到的測(cè)量對(duì)象理論值)【X】4觀測(cè):測(cè)量的過(guò)程5觀測(cè)條件:觀測(cè)者、測(cè)量?jī)x器和觀測(cè)時(shí)的外界條件是引起觀測(cè)誤差的主要因素(觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè),稱為等精度觀測(cè)。觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè),稱為非等精度觀測(cè))二誤差來(lái)源:觀測(cè)值中存在觀測(cè)誤差有下列三方面原因:1、觀測(cè)者 由于觀測(cè)者的感覺(jué)器官的鑒別能力的局限性,在儀器安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等工作中都會(huì)產(chǎn)生誤差。同時(shí),觀測(cè)者的技術(shù)水平及工作態(tài)度也會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響。2、測(cè)量?jī)x器 測(cè)量工作所使用的測(cè)量?jī)x器都具有一定的精密度,從而使觀測(cè)結(jié)果的精度受到限制。另外,儀器本身構(gòu)造上的缺陷,也會(huì)使觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)

4、生誤差。3、外界觀測(cè)條件 外界觀測(cè)條件是指野外觀測(cè)過(guò)程中,外界條件的因素,如天氣的變化、植被的不同、地面土質(zhì)松緊的差異、地形的起伏、周?chē)ㄖ锏臓顩r,以及太陽(yáng)光線的強(qiáng)弱、照射的角度大小等。觀測(cè)誤差按其性質(zhì),可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。(1)系統(tǒng)誤差。由儀器制造或校正不完善、觀測(cè)員生理習(xí)性、測(cè)量時(shí)外界條件、儀器檢定時(shí)不一致等原因引起。在同一條件下獲得的觀測(cè)列中,其數(shù)據(jù)、符號(hào)或保持不變,或按一定的規(guī)律變化。在觀測(cè)成果中具有累計(jì)性,對(duì)成果質(zhì)量影響顯著,應(yīng)在觀測(cè)中采取相應(yīng)措施予以消除。(2) 偶然誤差。它的產(chǎn)生取決于觀測(cè)進(jìn)行中的一系列不可能?chē)?yán)格控制的因素(如濕度、溫度、空氣振動(dòng)等)的隨機(jī)擾動(dòng)。在同

5、一條件下獲得的觀測(cè)列中,其數(shù)值、符號(hào)不定,表面看沒(méi)有規(guī)律性,實(shí)際上是服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。隨機(jī)誤差又可分兩種:一種是誤差的數(shù)學(xué)期望不為零稱為“隨機(jī)性系統(tǒng)誤差”;另一種是誤差的數(shù)學(xué)期望為零稱為偶然誤差。這兩種隨機(jī)誤差經(jīng)常同時(shí)發(fā)生,須根據(jù)最小二乘法原理加以處理。(3)粗差。是一些不確定因素引起的誤差,國(guó)內(nèi)外學(xué)者在粗差的認(rèn)識(shí)上還未有統(tǒng)一的看法,目前的觀點(diǎn)主要有幾類:一類是將粗差看用與偶然誤差具有相同的方差,但期望值不同;另一類是將粗差看作與偶然誤差具有相同的期望值,但其方差十分巨大;還有一類是認(rèn)為偶然誤差與粗差具有相同的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),但有正態(tài)與病態(tài)的不同。以上的理論均是建立在把偶然誤差和粗差均為屬于連續(xù)

6、型隨機(jī)變量的范疇。還有一些學(xué)者認(rèn)為粗差屬于離散型隨機(jī)變量。當(dāng)觀測(cè)值中剔除了粗差,排除了系統(tǒng)誤差的影響,或者與偶然誤差相比系統(tǒng)誤差處于次要地位后,占主導(dǎo)地位的偶然誤差就成了我們研究的主要對(duì)象。從單個(gè)偶然誤差來(lái)看,其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒(méi)有一定的規(guī)律性,但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,就能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性,誤差個(gè)數(shù)愈多,規(guī)律性愈明顯。三 偶然誤差的特征從單個(gè)偶然誤差而言,它的大小和符號(hào)均沒(méi)有規(guī)律性,但就總體而言,卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。真誤差:觀測(cè)值和真值之間的差值。例:書(shū)P67:表51。通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果證明了偶然誤差具有如下特性:(1)有限性 在一定的觀測(cè)條件下,偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度

7、,(2)俱中性 絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的可能性大,(3)對(duì)稱性 絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等,(4)抵消性 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí),偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即上述第四個(gè)特性說(shuō)明,偶然誤差具有抵償性,它是由第三個(gè)特性導(dǎo)出的。從左圖就可以看出偶然誤差的分布情況。圖中橫坐標(biāo)表示誤差的大小,縱坐標(biāo)表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值。當(dāng)誤差個(gè)數(shù)足夠多時(shí),如果將誤差的區(qū)間間隔無(wú)限縮小,則圖中各長(zhǎng)方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑的曲線,稱為誤差分布曲線。在概率論中,把這種誤差分布稱為正態(tài)分布。掌握了偶然誤差的特性,就能根據(jù)帶有偶然誤差的觀測(cè)值求出未知量的最可靠值,并衡量其

8、精度。同時(shí),也可應(yīng)用誤差理論來(lái)研究最合理的測(cè)量工作方案和觀測(cè)方法。52 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測(cè)值精度的常用標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種一、中誤差在等精度觀測(cè)列中,各真誤差平方的平均數(shù)的平方根,稱為中誤差,也稱均方誤差,即【例】 設(shè)有兩組等精度觀測(cè)列,其真誤差分別為第一組-3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4;第二組+1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。解:比較m1和m2可知,第一組觀測(cè)值的精度要比第二組高。必須指出,在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè),由于它們對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布,因此,對(duì)于這一組中的每一個(gè)觀測(cè)值,雖然各真誤差彼此并不相等,有的甚至相差很大,但它們的

9、精度均相同,即都為同精度觀測(cè)值。二、容許誤差由偶然誤差的第一特性可知,在一定的觀測(cè)條件下,偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是容許誤差或稱極限誤差。此限值有多大呢?根據(jù)誤差理論和大量的實(shí)踐證明,在一系列的同精度觀測(cè)誤差中,真誤差絕對(duì)值大于中誤差的概率約為32%;大于2倍中誤差的概率約為5%;大于3倍中誤差的概率約為0.3%。也就是說(shuō),大于3倍中誤差的真誤差實(shí)際上是不可能出現(xiàn)的。因此,通常以3倍中誤差作為偶然誤差的極限值。在測(cè)量工作中一般取2倍中誤差作為觀測(cè)值的容許誤差,即容=2m(6-4)當(dāng)某觀測(cè)值的誤差超過(guò)了容許的2倍中誤差時(shí),將認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差,而應(yīng)舍去不用或重測(cè)。三、相對(duì)

10、誤差對(duì)于某些觀測(cè)結(jié)果,有時(shí)單靠中誤差還不能完全反映觀測(cè)精度的高低。例如,分別丈量了100m和200m兩段距離,中誤差均為0.02m。雖然兩者的中誤差相同,但就單位長(zhǎng)度而言,兩者精度并不相同,后者顯然優(yōu)于前者。為了客觀反映實(shí)際精度,常采用相對(duì)誤差。觀測(cè)值中誤差m的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值S的比值稱為相對(duì)中誤差。它是一個(gè)無(wú)名數(shù),常用分子為1的分?jǐn)?shù)表示,即 |1|mDDmK= 上例中前者的相對(duì)中誤差為,后者為,表明后者精度高于前者。對(duì)于真誤差或容許誤差,有時(shí)也用相對(duì)誤差來(lái)表示。例如,距離測(cè)量中的往返測(cè)較差與距離值之比就是所謂的相對(duì)真誤差,即 與相對(duì)誤差對(duì)應(yīng),真誤差、中誤差、容許誤差都是絕對(duì)誤差。53 誤差

11、傳播定律當(dāng)對(duì)某量進(jìn)行了一系列的觀測(cè)后,觀測(cè)值的精度可用中誤差來(lái)衡量。但在實(shí)際工作中,往往會(huì)遇到某些量的大小并不是直接測(cè)定的,而是由觀測(cè)值通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算出來(lái)的。例如,水準(zhǔn)測(cè)量中,在一測(cè)站上測(cè)得后、前視讀數(shù)分別為a、b,則高差h=a-b,這時(shí)高差h就是直接觀測(cè)值a、b的函數(shù)。當(dāng)a、b存在誤差時(shí),h也受其影響而產(chǎn)生誤差,這就是所謂的誤差傳播。闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。本節(jié)就以下四種常見(jiàn)的函數(shù)來(lái)討論誤差傳播的情況。一線性函數(shù)1倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)式中k為常數(shù),x為直接觀測(cè)值,其中誤差為mx,現(xiàn)在求觀測(cè)值函數(shù)Z的中誤差mZ。設(shè)x和Z的真誤差分別為x和Z,由

12、上式知它們之間的關(guān)系為Z=kx若對(duì)x共觀測(cè)了n次,則 (i=1,2,n)將上式兩端平方后相加,并除以n,得按中誤差定義可知所以上式可寫(xiě)成或即觀測(cè)值倍數(shù)函數(shù)的中誤差,等于觀測(cè)值中誤差乘倍數(shù)(常數(shù))?!纠?用水平視距公式D=kl求平距,已知觀測(cè)視距間隔的中誤差ml=1cm,k=100,則平距的中誤差mD=100ml=1 m。2和差函數(shù)設(shè)有函數(shù) 式中x、y為獨(dú)立觀測(cè)值,它們的中誤差分別為mx和my,設(shè)真誤差分別為x和y,由上式可得若對(duì)x、y均觀測(cè)了n次,則 將上式兩端平方后相加,并除以n得上式中各項(xiàng)均為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的特性,當(dāng)n愈大時(shí),式中最后一項(xiàng)將趨近于零,于是上式可寫(xiě)成根據(jù)中誤差定義,

13、可得即觀測(cè)值和差函數(shù)的中誤差平方,等于兩觀測(cè)值中誤差的平方之和?!纠?在ABC中,C=180AB,A和B的觀測(cè)中誤差分別為3和4,則C的中誤差。3一般線性函數(shù)設(shè)有線性函數(shù)z=k1x1k2x2knxn式中x1、 x2、xn為獨(dú)立觀測(cè)值,k1、 k2、kn為常數(shù),則mz2=(k1m1)2(k2m2)2+ (knmn)2【例】 有一函數(shù),其中x1、x2、x3的中誤差分別為3mm、2mm、1mm,則。二非線性函數(shù)設(shè)有一般函數(shù)式中x1、x2、xn為獨(dú)立觀測(cè)值,已知其中誤差為mi (i=1,2, ,n)。當(dāng)xi具有真誤差i時(shí),函數(shù)Z則產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差z, 因?yàn)檎嬲`差是一微小量,故將(6-15)取全微分,

14、將其化為線性函數(shù),并以真誤差符號(hào)“”代替微分符號(hào)“d”,得式中是函數(shù)對(duì)xi取的偏導(dǎo)數(shù)并用觀測(cè)值代入算出的數(shù)值,它們是常數(shù),因此,上式變成了線性函數(shù),按式得上式是誤差傳播定律的一般形式。前述的(6-9)、(6-12)、(6-14)式都可看著上式的特例。【例】 某一斜距S=106.28m,斜距的豎角,中誤差、,求改算后的平距的中誤差。解:全微分化成線性函數(shù),用“”代替“d”,得應(yīng)用公式后,得 cm在上式計(jì)算中,單位統(tǒng)一為厘米,是將角值的單位由秒化為弧度。54 等精度直接觀測(cè)平差一 算術(shù)平均值和觀測(cè)值的中誤差設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè),觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L2、Ln,其真值為X,真誤差

15、為1、2、n。觀測(cè)值的真誤差公式為 (i=1,2,n)將上式相加后,得故若以x表示上式中右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值,即則 上式右邊第二項(xiàng)是真誤差的算術(shù)平均值。由偶然誤差的第四特性可知,當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增多時(shí),則,即算術(shù)平均值就是觀測(cè)量的真值。在實(shí)際測(cè)量中,觀測(cè)次數(shù)總是有限的。根據(jù)有限個(gè)觀測(cè)值求出的算術(shù)平均值x與其真值X僅差一微小量。故算術(shù)平均值是觀測(cè)量的最可靠值,通常也稱為最或是值(most probable value)。由于觀測(cè)值的真值X一般無(wú)法知道,故真誤差也無(wú)法求得。所以不能直接求觀測(cè)值的中誤差,而是利用觀測(cè)值的最或是值x與各觀測(cè)值之差V來(lái)計(jì)算中誤差,V被稱為改正數(shù),即V=x-L實(shí)際工作中利用改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差的實(shí)用公式稱為白塞爾公式。即二 算術(shù)平均值中誤差的計(jì)算公式在求出觀測(cè)值的中誤差m后,就可應(yīng)用誤差傳播定律求觀測(cè)值算術(shù)平均值的中誤差M,推導(dǎo)如下:應(yīng)用誤差傳播定律有由上式可知,增加觀測(cè)次數(shù)能削弱偶然誤差對(duì)算術(shù)平均值的影響,提高其精度。但因觀測(cè)次數(shù)與算術(shù)平均值中誤差并不是線性比例關(guān)系,所以,當(dāng)觀測(cè)次數(shù)達(dá)到一定數(shù)目后,即使再增加觀測(cè)次數(shù),精度卻提高得很少。因此,除適當(dāng)增加觀測(cè)次數(shù)外,還應(yīng)選用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)儀器和觀測(cè)方法,選擇良好的外界環(huán)境,才能有效地提高精度。5-5 不等精度直接觀測(cè)平差1概念:觀測(cè)條件不同的觀測(cè)結(jié)果2計(jì)算:例:4個(gè)測(cè)回:3271.

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