直線與橢圓的位置關系練習題目與答案

1、直線與橢圓的位置關系練習（2）1. 橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標原點）的值為（ ） a4b2 c8 d解：如圖所示，設橢圓的另一個焦點為，由橢圓第一定義得，所以，又因為為的中位線，所以，故答案為a2. 若直線與橢圓恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍 解法一：由可得，即解法二：直線恒過一定點當時，橢圓焦點在軸上，短半軸長，要使直線與橢圓恒有交點則即當時，橢圓焦點在軸上，長半軸長可保證直線與橢圓恒有交點即綜述：解法三：直線恒過一定點要使直線與橢圓恒有交點，即要保證定點在橢圓內部即3. 已知橢圓及直線（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程3.

2、 解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：解得方程為4. 已知橢圓的左右焦點分別為f1,f2，若過點p（0，-2）及f1的直線交橢圓于a,b兩點，求abf2的面積4. 解法一：由題可知：直線方程為由可得，解法二：到直線ab的距離由可得，又解法三：令則，其中到直線ab的距離由可得，評述在利用弦長公式（k為直線斜率）或焦（左）半徑公式時，應結合韋達定理解5. 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長5. 分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還

3、可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設，為方程兩根，所以， 從而6. 已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的兩準線間的距離為2，若橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點的橫坐標是，求橢圓的方程6. 解法一：令橢圓方程為，由題得：，由可得，又即 橢圓方程為解法二：令橢圓方程為，由題得：，由作差得又即 橢圓方程為7. 已知長方形abcd, ab=2,bc=1.以ab的中點為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系.()求以a、b為焦點，且過c、d兩點的橢圓的標準方程;oabcd圖8()過

4、點p(0,2)的直線交()中橢圓于m,n兩點,是否存在直線,使得以弦mn為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.7. 解析 ()由題意可得點a,b,c的坐標分別為.設橢圓的標準方程是.橢圓的標準方程是()由題意直線的斜率存在,可設直線的方程為.設m,n兩點的坐標分別為聯(lián)立方程: 消去整理得, 有若以mn為直徑的圓恰好過原點,則,所以,所以,即所以,即得所以直線的方程為,或.所以存在過p(0,2)的直線:使得以弦mn為直徑的圓恰好過原點. 8. 已知橢圓的中心在坐標原點o，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于p和q，且opoq，|pq|=，求橢圓方程 8.解 設橢圓

5、方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，p(x1,y1),q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由opoq,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,將m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1 9. 橢圓與直線交于、兩點，且，其中為坐標原點（1）求的值；（2）若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸的取值范圍 9. （1）設，由op oq x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又將，代入化簡得 . (2) 又由（1）知，長軸 2

6、a .10.設直線過點p（0，3），和橢圓順次交于a、b兩點，若試求l的取值范圍.10 。解：當直線垂直于x軸時，可求得;當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點p在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 .由 ， 解得 ，所以 ，yo.mx.綜上 .11.已知橢圓的一個焦點為f1(0,-2)，對應的準線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點m、n，且線段mn恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。10.（1）解：依題意e ， a3，c2，b1， 又f1(0

7、，2)，對應的準線方程為 橢圓中心在原點，所求方程為 (2)假設存在直線l，依題意l交橢圓所得弦mn被平分直線l的斜率存在。 設直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點m、n，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290設 m(x1,y1),n(x2,y2) 把代入式中得，k或k直線l傾斜角12. 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標的關系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標系設點坐標為，由，知點的軌跡是以、

8、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，有，故其方程為（2）設，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）13. 已知動圓過定點，且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程11. 分析：關鍵是根據(jù)題意，列出點p滿足的關系式解：如圖所示，設動圓和定圓內切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法14. 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 12. 分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解：設弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得