2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章2.1.2余弦定理課件北師大必修.pptx

1、1.2余弦定理,1.余弦定理 (1)語(yǔ)言敘述 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍. (2)公式表達(dá):在ABC中, a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C. 【做一做1】在ABC中,符合余弦定理的是() A.c2=a2+b2-2abcos CB.c2=a2-b2+2bccos A C.b2=a2-c2-2bccos A 解析:根據(jù)余弦定理可知A正確,其余均錯(cuò).注意余弦定理形式,特別是正負(fù)號(hào)問(wèn)題. 答案:A,歸納總結(jié)對(duì)余弦定理的理解 (1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.

2、(2)結(jié)構(gòu)特征:“平方”“夾角”“余弦”. (3)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式,它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系. (4)主要功能:余弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.,2.余弦定理的變形 在ABC中,【做一做2】在ABC中,若a=3, ,c=2,則B等于() A.30 B.45 C.60 D.120 答案:C,思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)余弦定理僅適用于鈍角三角形或銳角三角形. () (2)在ABC中,若sin2Csin2A+sin2B,則ABC為鈍角三角形. () (3)在A

3、BC中,若已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角的類型問(wèn)題,則求解時(shí)都只有一個(gè)解. () 答案:(1)(2)(3),探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例1】 在ABC中,已知 ,B=45,求角A,C及邊c. 分析:給出條件為兩邊一角,容易想到先利用正、余弦定理都可以進(jìn)行求解得出第三條邊,再使用正弦定理或余弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為180求出另外兩角的大小. 解法一:由正弦定理得,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解法二:由利用余弦定理b2=a2+c2-2accos B,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),可使用正弦定理和余弦定理兩種方法求解,其

4、中解法一需對(duì)A進(jìn)行討論,但計(jì)算較簡(jiǎn)單;解法二雖不需分類討論,但計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜. 2.應(yīng)用余弦定理解三角形主要有以下三種情形:,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1(1)在ABC中,若a=5,b=3,C=120,則c=. (2)在ABC中,已知 ,求這個(gè)三角形的最小角. (1)答案:7 (2)解:因?yàn)閍bc,所以A是最小角.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例2】 在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,試確定ABC的形狀. 分析:一種思路是將邊化為角,通過(guò)三角變換判斷角的關(guān)系;另一種思路是將角轉(zhuǎn)化

5、為邊,通過(guò)代數(shù)變形尋求邊的關(guān)系. 解法一:由正弦定理,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解法二:因?yàn)锳+B+C=180, 所以sin C=sin(A+B). 又因?yàn)?cos Asin B=sin C, 所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin(A-B)=0. 因?yàn)锳,B均為三角形的內(nèi)角,所以A=B. 又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 得(a+b)2-c2=3ab, 即a2+b2-c2=ab,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟判斷三角形形狀的方法 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí),主要有如下兩種方法: (1)利用正、余弦定理

6、把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀; (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=這個(gè)結(jié)論. 特別提醒:在上述兩種方法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2(1)在ABC中,若a=2,b=5,c=4,則ABC的形狀為. (2)在ABC中,已知 (a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),判斷ABC的形狀.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例3】 (2016甘肅河西五

7、市聯(lián)考)已知在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且b2,c2是關(guān)于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的兩根. (1)求角A的大小; (2)若 ,設(shè)B=,ABC的周長(zhǎng)為y,求y=f()的最大值. 分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理將ABC的周長(zhǎng)y表示成關(guān)于的函數(shù),再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:(1)在ABC中,依題意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟?qū)τ谡叶ɡ?、余弦定理的綜合問(wèn)題,關(guān)鍵要選好突破口,即先用哪個(gè)定理,后用哪個(gè)定理.如果與其他三角知識(shí)結(jié)合,

8、那么要充分利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、三角變換等知識(shí).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3,探究一,探究二,探究三,思維辨析,因忽視構(gòu)成三角形的隱含條件而致誤 【典例】在不等邊三角形ABC中,a為最大邊,若a2b2+c2,求A的取值范圍.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯(cuò)心得本題中錯(cuò)解的原因是沒(méi)有充分利用已知條件,要知道題設(shè)中a為最大邊,ABC為不等邊三角形暗含 的信息.因此,處理三角形中的此類問(wèn)題要注意題目中的隱含條件.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練,設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且C=2A,a+c=10,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,2.在ABC中,若bcos A=acos B,則ABC是() A.等邊三角形B.等腰三角形 C.直角三角形D.銳角三角形,答案:B,1,2,3,4,5,3.在ABC中,若sin Asin Bsin C=324,則c