小學奧數(shù)專題--排列組合

1、最新 料推薦排列問題題型分類：1. 信號問題2. 數(shù)字問題3. 坐法問題4. 照相問題5. 排隊問題組合問題題型分類：1. 幾何計數(shù)問題2. 加乘算式問題3. 比賽問題4. 選法問題常用解題方法和技巧1. 優(yōu)先排列法2. 總體淘汰法3. 合理分類和準確分步4. 相鄰問題用捆綁法5. 不相鄰問題用插空法6. 順序問題用“除法”7. 分排問題用直接法8. 試驗法9. 探索法10. 消序法11. 住店法12. 對應法13. 去頭去尾法14. 樹形圖法15. 類推法16. 幾何計數(shù)法17. 標數(shù)法18. 對稱法- 1 -最新 料推薦分類相加，分步組合，有序排列，無序組合基 知 （數(shù)學概率方面的基本原理

2、）一 . 加法原理： 做一件事情， 完成它有 N 法，在第一 法中有 M1 中不同的方法，在第二 法中有 M2 中不同的方法，在第 N 法中有 Mn 種不同的方法，那么完成 件事情共有M1+M2+ +Mn 種不同的方法。二 . 乘法原理： 如果完成某 任 ，可分 k 個步 ，完成第一步有 n1 種不同的方法，完成第二步有 n2 種不同的方法，完成第步有 種不同的方法，那么完成此 任 共有 種不同的方法。三 . 兩個原理的區(qū) 做一件事，完成它若有 n 法，是分 ，每一 中的方法都是 獨立的，故用加法原理。每一類中的每一種方法都可以獨立完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同 ( 即分類不重

3、 ) ；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類( 即分類不漏 )做一件事，需要分n 個步 ， 步與步之 是 的，只有將分成的若干個互相 系的步 ，依次相 完成， 件事才算完成，因此用乘法原理任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續(xù)完成這n 步才能完成此任務；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同 完成一件事的分“類”和“ 步 ”是有本 區(qū) 的，因此也將兩個原理區(qū)分開來- 2 -最新 料推薦四 . 排列及組合基本公式1. 排列及 算公式從 n 個不同元素中，任取 m(mn) 個元素按照 一定的順序 排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的

4、一個 排列；從 n 個不同元素中取出 m(mn) 個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的 排列數(shù)，用符號 P mn 表示 .m2) (n -m+1)P n =n(n-1)(n-n!( 定 0!=1) .=(n-m)!2. 合及 算公式從 n 個不同元素中，任取 m(mn) 個元素 并成一組 ，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個 合；從 n 個不同元素中取出 m(mn) 個元素的所有 合的個數(shù)，叫做從n 個不同m元素中取出 m個元素的 合數(shù) . 用符號 Cn 表示 .mmn!Cn = P n /m!=(n-m)!m!一般當遇到 m比 大 （常常是mn-mm0.

5、5n ），可用 Cn = Cn 來 化 算。n0 定： C n =1, C n =1.3. n 的 乘 (n!) n 個不同元素的全排列nP n=n!=n (n-1) (n-2) 321五 . 兩個基本計數(shù)原理及應用1. 首先明確任 的意 【例 1】從 1、2、3、 20 二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù) 成等差數(shù)列， 的不同等差數(shù)列有_個。分析：首先要把復 的生活背景或其它數(shù)學背景 化 一個明確的排列 合 。設 a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 決定，又 2b 是偶數(shù)， a,c 同奇或同偶，即：從 1， 3， 5， 19 或 2， 4， 6， 8， 20 十個數(shù)中 出兩個

6、數(shù) 行排列，由此就可確定等差數(shù)列，- 3 -最新 料推薦如： a=1， =7，則 b=4（即每一組 a,c 必對應唯一的 b，另外 1、4、7 和 7、 4、 1 按同一種等差數(shù)列處理） C210 10990，同類（同奇或同偶）相加，即本題所求=2 90180?！纠?2】某城市有 4 條東西街道和 6 條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從 M到 N 有多少種不同的走法?分析：對實際背景的分析可以逐層深入（一）從 M 到 N 必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實上，當把向上的步驟決定后，

7、剩下的步驟只能向右。從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)， 本題答案為： C38=56 。2. 注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合。采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前后統(tǒng)一。注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段(排序 )可轉化為排列問題?！纠?3】在一塊并排的10 壟田地中，選擇二壟分別種植A ，B 兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A， B 兩種作物的間隔不少于6 壟，不同的選法共有_ 種。分析： 條件中“要求 A、B 兩種作物

8、的間隔不少于6 壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類： A 在第一壟， B 有 3 種選擇；第二類： A 在第二壟， B 有 2 種選擇；第三類： A 在第三壟， B 有 1 種選擇，同理 A 、B 位置互換，共 12 種。- 4 -最新 料推薦1 恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位數(shù)有多少個?【分析與解】 6 、 7、 8、 9 的最小公倍數(shù)是504，五位數(shù)中，最小的是10000，最大 99999因 10000504：19 424，99999504=198 207所以，五位數(shù)中，能被504 整除的數(shù)有198-19=179 個所以恰好能被6，

9、 7， 8，9 整除的五位數(shù)有179 個2小明的兩個衣服口袋中各有13 卡片，每 卡片上分 寫著1， 2，3， 13如果從 兩個口袋中各拿出一 卡片來 算它 所寫兩數(shù)的乘 ，可以得到 多不相等的乘 那么，其中能被6 整除的乘 共有多少個?【分析與解】 些 中能被6 整除的最大一個是1312=266，最小是6但在 l 6266 之 的 6 的倍數(shù)并非都是兩 卡片上的乘 ，其中有 256，236，216，196，176 五個不是 所求的 共有 26-5=21 個3 1，2， 3， 4， 5， 6 這 6 個數(shù)中， 3 個數(shù)使它 的和能被3 整除那么不同的 法有幾種?【分析與解】被 3 除余 1 的

10、有 1， 4；被 3 除余 2 的有 2,5 ；能被 3 整除的有3， 6從 6 個數(shù)中 出3 個數(shù)，使它 的和能被3 整除， 只能是從上面3 中各 一個，因 每 中的 是相互獨立的， 共有 2 2 2=8 種不同的 法4 同 足以下條件的分數(shù)共有多少個?大于 1 ，并且小于 1 ；分子和分母都是 數(shù)；分母是兩位數(shù)65【分析與解】由知分子是大于 1，小于 20 的 數(shù)如果分子是2，那么 個分數(shù) 在2與 2之 ，在 之 的只有2 符合要求10811- 5 -最新 料推薦如果分子是3，那么這個分數(shù)應該在3 與 3之間， 15 與 18之間只有質數(shù)17，所以分數(shù)是3 151817同樣的道理，當分子是

11、5， 7， 11， 13， 17， 19 時可以得到下表分子分數(shù)分子分數(shù)221111 , 11115961331313 , 13 , 13176771735517171729,9789737191937,9741于是，同時滿足題中條件的分數(shù)共13 個5一個六位數(shù)能被11 整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個六位數(shù)的6 個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11 整除的六位數(shù)?【分析與解】設這個六位數(shù)為abcdef ，則有 (ace) 、 (bdf ) 的差為 0 或 11 的倍數(shù)且 a 、 b 、 c 、 d 、 e、 f 均不為 0，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)先考慮 a 、 c 、

12、 e 偶數(shù)位內， b 、 d 、 f 奇數(shù)位內的組內交換，有P33 P33=36 種順序；再考慮形如 badcfe 這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調換，也有33PP3 3 =36 種順序所以，用均不為0 的 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 最少可以排出36+36=72 個能被 11 整除的數(shù) ( 包含原來的 abcdef ) 所以最少還能排出72-1=71 個能被 11 整除的六位數(shù)6在大于等于 1998 ，小于等于 8991 的整數(shù)中，個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有多少個?先考慮 2000 8999 之間這 7000 個數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有2=6300【分析與解】710

13、P10但是 1998，8992 8998 這些數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字也不同，且1998 在 1998 8991 內， 8992 8998 這 7 個數(shù)不在 1998 8991 之內- 6 -最新 料推薦所以在 1998 8991 之內的個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的有6300+1-7=6294 個7 個位、十位、百位上的3 個數(shù)字之和等于12 的三位數(shù)共有多少個 ?【分析與解】 12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7= 1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2

14、 +4 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 2 + 8= 3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4其中三個數(shù)字均不相等且不含0 的有 7 ，每 有 P33 種排法，共 7 P33=42 種排法；其中三個數(shù)字有只有 2 個相等且不含 0的有 3 ，每 有 P33 2種排法，共有3 P33 2=9 種排法；其中三個數(shù)字均相等且不含0 的只有 1 ，每 只有 1 種排法；在含有 0 的數(shù) 中，三個數(shù)字均不相同的有3 ，每 有2 P22 種排法，共有3 2 P22=12 種排法；在含有 0 的數(shù) 中，二個數(shù)字相等的只有1 ，每 有 2P22 2種排法，共有 2 種排法

15、所以， 足條件的三位數(shù)共有42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66個8一個自然數(shù)，如果它 著看和倒 來看都是一 的，那么稱 個數(shù) “回文數(shù)”例如 1331， 7， 202 都是回文數(shù)，而220 不是回文數(shù) ：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個?其中的第 1996 個數(shù)是多少 ?【分析與解】我 將回文數(shù)分 一位、二位、三位、六位來逐 算所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有9 個；在二位數(shù)中，必 aa 形式的，即有 9個 ( 因 首位不能 0，下同 ) ；在三位數(shù)中，必 aba ( a 、 b 可相同，在本 中，不同的字母代表的數(shù)可以相同) 形式的，即有 910 =90 個；在四位數(shù)中，必 ab

16、ba 形式的，即有9 10 個；在五位數(shù)中，必 abcba 形式的，即有9 10 10=900 個；在六位數(shù)中，必 abccba 形式的，即有 91010 =900 個所以共有 9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998個，最大的 999999，其次 998899，再次 997799而第 1996 個數(shù) 倒數(shù)第 3 個數(shù)，即 997799所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有1998個，其中的第1996 個數(shù)是 997799- 7 -最新 料推薦9 一種電子表在6 時 24 分 30 秒時的顯示為6:24 30 ，那么從 8 時到 9 時這段時間里，此表的 5 個數(shù)字都不相

17、同的時刻一共有多少個?【分析與解】設 A:BC DE 是滿足題意的時刻，有A 為 8，B、 D 應從 0， 1，2， 3， 4， 5這 6 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有P62 種選法，而C、 E 應從剩下的7 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有P72 種選法，所以共有P62 P72 =1260 種選法，即從 8 時到 9 時這段時間里，此表的5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260 個10有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1， 2， 3， 4，5，并且任意相鄰兩位數(shù)字( 大減小 ) 的差都是1問這樣的五位數(shù)共有多少個?【分析與解】如下表，我們一一列出當首位數(shù)字是5， 4，3 時的情況首位數(shù)字543

18、所有滿足題意的數(shù)字列表55545454454533545544454433333444332221331453224331232211321滿足題意的6912數(shù)字個數(shù)因為對稱的緣故，當首位數(shù)字為1 時的情形等同與首位數(shù)字為5 時的情形，首位數(shù)字為2 時的情形等同于首位數(shù)字為4 時的情形所以，滿足題意的五位數(shù)共有6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42個- 8 -最新 料推薦11 用數(shù)字 1， 2 成一個八位數(shù)，其中至少 四位都是1 的有多少個 ?【分析與解】當只有四個 的 1 ，可以 11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112， * * *

19、21111 ，因 *號 可以任意填寫 1 或 2，所以 些數(shù)依次有 23， 22， 22，22， 23 個，共 28 個；當有五個 的l ，可以 111112 * * ， 2111112 * ， *2111112 ， * * 211111，依次有 22， 2， 2， 22 個，共 12 個；當有六個 的1 ，可以 1111112 * ， 21111112， * 2111111 ，依次有 2， 1，2 個，共 5 個；當有七個 的1 ，可以 11111112， 21111111，共 2 個：當有八個 的l ，只能是11111111，共 1 個所以 足條件的八位數(shù)有 28 + 12 + 5 + 2

20、 + 1=48個12在 1001， 1002， 2000 這 1000 個自然數(shù)中，可以找到多少 相 的自然數(shù)， 足它 相加 不 位?【分析與解】設 1bcd , xyzw 足條件的兩個 自然數(shù)，有xyzw =1bcd +1我 只用考察1bcd 的取 情況即可我 先不考 數(shù)字9 的情況 ( 因 d 取 9， w 為 0，也有可能不 位) ，則 d 只能取 0， 1， 2，3， 4； c 只能取 0， 1， 2，3， 4； b 只能取 0，1， 2， 3，4； 的有 555=125 數(shù)當 d =9 ，有 1bc9 的下一個數(shù) 1b(c1)0，要想在求和 不 位，必 c( c 1) 9，所以 c

21、此 只能取0， ， ，；而b也只能取0， ， ，；共有55=25 數(shù)12341 2 34當 cd =99 ，有 1b99 的下一個數(shù) 1(b1)00 ，要想在求和 不 位，必 b +( b+1) 9，所以 b 此 只能取0， 1， 2，3， 4；共有5 數(shù)所以，在 1001， 1002， 2000 這 1000 個自然數(shù)中，可以找到125 + 25+ 5 = 155 相 的自然數(shù)， 足它 相加 不 位13把 1995， 1996，1997， 1998， 1999 這 5 個數(shù)分 填入 20-1 中的 、南、西、北、中5 個方格內，使橫、 3 個數(shù)的和相等那么共有多少種不同填法?【分析與解】 然

22、只要有“ ” +“西” =“南” +“北”即可，剩下的一個數(shù)字即 “中”- 9 -最新 料推薦因為題中五個數(shù)的千位、百位、十位均相同，所以只用考慮個位數(shù)字，顯然有 5 + 9 = 6 + 8，5 + 8 = 6 + 7，6 + 9 = 7 + 8 先考察 5 + 9 =6 + 8，可以對應為“東” +“西” =“南” +“北”，因為“東”、“西”可以調換，“南”、“北”可以對調，有22=4 種填法，而“東、西”，“南、北”可以整體對調，于是有42=8 種填法5 + 8 = 6 + 7， 6 + 9 = 7 + 8同理均有8 種填法，所以共有83=24 種不同的填法14 在圖 20-2 的空格內

23、各填人一個一位數(shù)，使同一行內左面的數(shù)比右面的數(shù)大，同一列內上面的數(shù)比下面的數(shù)小，并且方格內的6 個數(shù)字互不相同，例如圖20-3 為一種填法那么共有多少種不同的填法?23圖 20-2642753圖 20-3【分析與解】為了方便說明，標上字母：CD2AB3要注意到， A 最大， D 最小， B、 C 的位置可以互換但是， D 只能取 4， 5， 6，因為如果取7，就找不到3 個比它大的一位數(shù)了當 D取 4，5， 6 時分別剩下5，4， 3 個一位大數(shù)有B、 C可以互換位置所有不同的填法共C53 2+ C43 2+ C33 2=10 2+4 2+12=30 種補充選講問題(2003 年一零一中學小升

24、初第 12 題) 將一些數(shù)字分別填入下列各表中， 要求每個小格中填入一個數(shù)字， 表中的每橫行中從左到右數(shù)字由小到大，每一豎列中從上到下數(shù)字也由小到大排列(1) 將 1 至 4 填入表 1 中，方法有 _ 種：(2) 將 1 至 6 填入表 2 中，方法有 _ 種；(3) 將 1 至 9 填入表 3 中，方法有 _ 種【分析與解】(1)2種：如圖， 1 和 4 是固定的，另外兩格任意選取，故有2 種；- 10 -最新 料推薦(2)5 種： 1 和 6 是固定的，其他的格子不確定有如下5 種：(3)42種：由 (2) 的規(guī)律已經知道， 32 是 5 種：1 、 2、 3 確定后，剩下的6 個格子是

25、32，為 5 種如下：同理也各對應5 種；注意到例外，對應的不是5 種，因為第一排右邊的數(shù)限制了其下方的數(shù)字，滿足條件的只有如下幾種：共計 5 + 5 + 5 + 4 + 2 = 21種另外，將以上所有情況翻轉過來，也是滿足題意的排法，所以共212=42 種15 從 1 至 9 這 9 個數(shù)字中挑出6 個不同的數(shù)填在圖20 4 的 6 個圓圈內，- 11 -最新 料推薦使任意相鄰兩個圓圈內數(shù)字之和都是質數(shù)那么共能找出多少種不同的挑法?(6 個數(shù)字相同、排列次序不同的都算同一種)【分析與解】顯然任意兩個相鄰圓圈中的數(shù)一奇一偶，因此，應從2、4、 6、8 中選 3 個數(shù)填入 3 個不相鄰的圓圈中第

26、一種情況：填入 2、4、6，這時 3 與 9 不能同時填入 ( 否則總有一個與6 相鄰，和 3+6 或 9+6 不是質數(shù) ) 沒有 3、 9 的有 1 種；有 3 或 9 的，其他 3 個奇數(shù) l 、 5、 7 要去掉 1 個，因而有2 3=6 種，共 1+6 7 種第二種情況：填入 2、 4、 8這時 7 不能填入 ( 因為 7+2，7+8 都不是質數(shù) ) ，從其余4 個奇數(shù)中選3 個，有 4種選法，都符合要求第三種情況 ：填入 2、 6、 8這時 7不能填入，而3與 9 只能任選 1 個，因而有 2 種選法第四種情況 ：填入 4、 6、 8這時 3與 9 只能任選1個， 1 與 7 也只能

27、任選 1 個因而有 2 2=4 種選法總共有 7 + 4 + 2 + 4 = 17種選法20一個骰子六個面上的數(shù)字分別為0，1，2，3，4， 5，現(xiàn)在擲骰子，把每次擲出的點數(shù)依次求和，當總點數(shù)超過12 時就停止不再擲了，這種擲法最有可能出現(xiàn)的總點數(shù)是幾？- 12 -最新 料推薦1.從甲地到乙地有2 種走法，從乙地到丙地有4 種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3 種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有種2. 甲、乙、丙 3 個班各有三好學生 3，5， 2 名，現(xiàn)準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有種不同的推選方法3. 從甲、乙、丙三名同學中選出兩名參加某天的一項活動，其中

28、一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動有種不同的選法4.從 a、b、 c、 d 這 4 個字母中，每次取出3 個按順序排成一列，共有種不同的排法5.若從 6 名志愿者中選出4 人分別從事翻譯、 導游、導購、保潔四項不同的工作，則選派的方案有種6.有 a，b， c， d，e 共5個火車站，都有往返車，問車站間共需要準備種火車票7.某年全國足球甲級聯(lián)賽有14 個隊參加，每隊都要與其余各隊在主、客場分別比賽一場，共進行場比賽8.由數(shù)字 1、 2、 3、 4、5、6 可以組成個沒有重復數(shù)字的正整數(shù)9.用 0 到 9 這 10 個數(shù)字可以組成個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)10.（ 1）有 5本不同的書，從中選出3 本送給 3 位同學每人 1