數(shù)學人教版九年級上冊一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系.ppt

1、,根與系數(shù)關(guān)系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,填寫下表：,猜想：,如果一元二次方程 的兩個根 分別是 、 ，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,求證：,推導:,如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 ，那么：,這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達定理。,1.,3.,2.,4.,5.,口答下列方程的兩根之和與兩根之積。,1.已知一元二次方程的 兩 根分別為 ，則：,2.已知一元二次方程的 兩根 分別為 ，則：,3.已知一元二次方程的 的一個根為1 ，則方程的另一根為_， m

2、=_：,4.已知一元二次方程的 兩 根分別為 -2 和 1 ，則：p =_ ; q=_,另外幾種常見的求值,1、下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？,2、設 x1 、 x2是方程 利用 根與系數(shù)的 關(guān)系，求下列各式的值：,返回,的值。,解：,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系:,例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 兩個根的；（1）平方和；（2）倒數(shù)和,解：設方程的兩個根是x1 x2，那么,返回,例1. 不解方程，求方程 的 兩根的平方和、倒數(shù)和。,運用根與系數(shù)的關(guān)系解題,二、典型例題,例題1：已知方程 x22x1的兩根為x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1x2）2 （2）x13x2

3、x1x23 （3）,解：設方程的兩根分別為 和 ， 則： 而方程的兩根互為倒數(shù) 即： 所以： 得：,2.方程 的兩根互 為倒數(shù)，求k的值。,設 X1、X2是方程X24X+1=0的兩個根，則 X1+X2 = _ X1X2 = _， X12+X22 = ； ( X1-X2)2 = ；,基礎練習,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一個根，則另 一個根是_，m =_。 2、設 X1、X2是方程X24X+1=0的兩個根，則 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ = _ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ 3、判斷正誤： 以2

4、和-3為根的方程是X2X-6=0 （ ） 4、已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則這兩個數(shù)是 _ 。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基礎練習,（還有其他解法嗎？）,1. 已知方程 的一個根是2，求它的另一個根及k的值.,解：設方程 的兩個根 分別是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一個根是 ，k=-7,例題2： （1）若關(guān)于x的方程2x25xn0的一個根是2，求它的另一個根及n的值。 （2）若關(guān)于x的方程x2kx60的一個根是2，求它的另一個根及k的值。,1.已知一元二次方程的 的一個根為1 ，則方程的另一根為_， m=_：,2、已知方程

5、 的一個根是 1， 求它的另一個根和m的值。,解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 X1+X2=-k， X1X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 當k=4時， 0 當k=-2時，0 k=-2,解得：k=4 或k=2,題8 已知方程的兩個實數(shù)根 是且 求k的值。,例2. 已知方程 的 兩根為 、 ， 且 ，求 k的值。,例題,4、已知關(guān)于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的兩根的平方和比兩根之積的3倍少 10，求k的值.,補充規(guī)律：,兩根均為負的條件： X1+X2 且X1X2 。,兩根均

6、為正的條件： X1+X2 且X1X2 。,兩根一正一負的條件： X1+X2 且X1X2 。 當然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac0,例6 方程x2(m1)x2m10求m滿足什么條件時,方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 兩根互為相反數(shù) 兩根之和m10,m1,且0 m1時,方程的兩根互為相反數(shù).,兩根互為倒數(shù) m26m5, 兩根之積2m11 m1且0, m1時,方程的兩根互為倒數(shù). 方程一根為0, 兩根之積2m10 且0, 時,方程有一根為零.,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若兩根互為相反數(shù),則b

7、0; （2）若兩根互為倒數(shù),則ac; （3）若一根為0,則c0 ; （4）若一根為1,則abc0 ; （5）若一根為1,則abc0; （6）若a、c異號,方程一定有兩個實數(shù)根.,一正根， 一負根,0 X1X20,兩個正根,0 X1X20 X1+X20,兩個負根,0 X1X20 X1+X20,2.應用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時， 首先要把已知方程化成一般形式.,3.應用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時， 要特別注意，方程有實根的條件，即在初 中代數(shù)里，當且僅當 時，才 能應用根與系數(shù)的關(guān)系.,1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是什么?,總結(jié)歸納,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,題9 方程 有一個正根，一個負根，