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文檔簡(jiǎn)介

1、專題七:直線與方程、圓與方程、軌跡方程2.24-2.25一、直線與方程【知識(shí)點(diǎn)一:傾斜角與斜率】(1)直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn):1、與x軸相交;2、x軸正向;3、直線向上方向。直線與軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為傾斜角的范圍(2)直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值,而傾斜角為的直線斜率不存在.記作 當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí), , 當(dāng)直線與軸垂直時(shí), ,不存在.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式是每條直線都有傾斜角,但并不是每條直線都有斜率.(3)求斜率的一般方法:已知直線上兩點(diǎn),根據(jù)斜率公式求斜率;已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)根據(jù)來求斜率;(4)利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法:已知

2、,若,則有A、B、C三點(diǎn)共線?!局R(shí)點(diǎn)二:直線平行與垂直】(1)兩條直線平行:對(duì)于兩條不重合的直線,其斜率分別為,則有特別地,當(dāng)直線的斜率都不存在時(shí),的關(guān)系為平行(2)兩條直線垂直:如果兩條直線斜率存在,設(shè)為,則有注:兩條直線垂直的充要條件是斜率之積為-1,這句話不正確;(由兩直線的斜率之積為-1,可以得出兩直線垂直;反過來,兩直線垂直,斜率之積不一定為-1。如果中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時(shí),互相垂直.)【知識(shí)點(diǎn)三:直線的方程】(1) 直線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式為直線上一定點(diǎn),為斜率不包括垂直于軸的直線斜截式為斜率,是直線在軸上的截距不包括垂直于軸

3、的直線兩點(diǎn)式不包括垂直于軸和軸的直線截距式是直線在軸上的非零截距,是直線在軸上的非零截距不包括垂直于軸和軸或過原點(diǎn)的直線一般式無(wú)限制,可表示任何位置的直線問題:過兩點(diǎn)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示? 【不一定】(1)若,直線垂直于軸,方程為;(2)若,直線垂直于軸,方程為;(3)若,直線方程可用兩點(diǎn)式表示直線的點(diǎn)斜式方程實(shí)際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式;利用斜截式求直線方程時(shí),需要先判斷斜率存在與否.用截距式方程表示直線時(shí),要注意以下幾點(diǎn):方程的條件限制為,即兩個(gè)截距均不能為零,因此截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線以及與坐標(biāo)軸平行的直線;用截距式方程最便于作圖,要注意截距是坐標(biāo)而不是長(zhǎng)度.

4、截距與距離的區(qū)別:截距的值有正、負(fù)、零。距離的值是非負(fù)數(shù)。截距是實(shí)數(shù),不是“距離”,可正可負(fù)。截距式方程的應(yīng)用與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)為: |a|+|b|+;直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為: S= ;直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則或直線過原點(diǎn),常設(shè)此方程為(2)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式【知識(shí)點(diǎn)四 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離】(1)兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是, 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。若方程組有唯一解,則這兩條直線相交,此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo);若方程組無(wú)解,則兩條直線無(wú)公共點(diǎn),此時(shí)兩條直線平行.(2)幾種距離兩點(diǎn)間的距離:平面上的兩點(diǎn)間的距離公式特別地,原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離點(diǎn)到直線的距離:點(diǎn)到直

5、線的距離兩條平行線間的距離:兩條平行線間的距離注:1求點(diǎn)到直線的距離時(shí),直線方程要化為一般式;2求兩條平行線間的距離時(shí),必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后,才能套用公式計(jì)算。二、圓與方程圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的半徑。圓的方程1、標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心,半徑為r;2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:,點(diǎn)在圓外,=,點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓內(nèi);3、一般方程當(dāng)時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為,半徑為當(dāng)時(shí),表示一個(gè)點(diǎn); 當(dāng)時(shí),方程不表示任何圖形。4、圓的一般方程的特征是:x2和y2項(xiàng)的系數(shù) 都為1 ,沒有 xy 的二次項(xiàng).5、求圓方程的方法:一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一

6、個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F(xiàn);求圓的方程時(shí),要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上(2)圓心在任一弦的中垂線上(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線6、直線與圓的位置關(guān)系:直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況:(1)設(shè)直線,圓,圓心到l的距離為 ,則有; ; (2)過圓外一點(diǎn)的切線:k不存在,驗(yàn)證是否成立k存在,設(shè)點(diǎn)斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過此點(diǎn)的切線方

7、程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 7、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。設(shè)圓,兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線四條;當(dāng)時(shí)兩圓外切,連心線過切點(diǎn),有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;當(dāng)時(shí)兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點(diǎn),只有一條公切線;當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)含; 當(dāng)時(shí),為同心圓。注意:已知圓上兩點(diǎn),圓心必在中垂線上;已知兩圓相切,兩圓心與切點(diǎn)共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)三、軌跡方程求軌跡方程的注意事項(xiàng): 1

8、. 求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中,發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系,因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜,變中求不變。 來表示,若要判斷軌跡方程表示何種曲線,則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。 3. 求出軌跡方程后,應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意,既要檢驗(yàn)是否增解,(即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上),又要檢驗(yàn)是否丟解。(即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示),出現(xiàn)增解則要舍去,出現(xiàn)丟解,則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法:研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形。 1. P是橢圓=1上的動(dòng)點(diǎn),過P作橢圓長(zhǎng)軸的垂線,垂足為M,則PM中點(diǎn)軌跡中點(diǎn)的軌跡方程:( ) A、 B、 C、 D、=12. 圓心在拋物線上,并且與

9、拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是( )A B C D 3: 一動(dòng)圓與圓O:外切,而與圓C:內(nèi)切,那么動(dòng)圓的圓心M的軌跡是:A:拋物線B:圓 C:橢圓 D:雙曲線一支4: 點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)M(2x0,y0)的軌跡是 ( )A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 D. 焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線一:用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一,求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,通過坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系,在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時(shí),要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用,

10、只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線定義時(shí),通過待定系數(shù)法就可以直接得出方程。例1:已知的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-4,0),(4,0),C 為動(dòng)點(diǎn),且滿足求點(diǎn)C的軌跡?!军c(diǎn)評(píng)】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。(1) 圓:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)(2) 橢圓:到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)的距離)(3) 雙曲線:到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于兩定點(diǎn)的距離)(4) 到定點(diǎn)與定直線距離相等?!咀兪?】: 1:已知圓的圓心為M1,圓的圓心為M2,一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切,求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。二:用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例2: 一條線段AB的長(zhǎng)等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B

11、分別在x軸和y軸上滑動(dòng),求AB中點(diǎn)P的軌跡方程?一般直譯法有下列幾種情況:1)代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系:若動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出,則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2)列出符合題設(shè)條件的等式:有時(shí)題中無(wú)坐標(biāo)系,需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系,再根據(jù)題設(shè)條件列出等式,得出其軌跡方程。3)運(yùn)用有關(guān)公式:有時(shí)要運(yùn)用符合題設(shè)的有關(guān)公式,使其公式中含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4)借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì):有時(shí)動(dòng)點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯,這時(shí)可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等,從而分析出其數(shù)量的關(guān)系,這種借助幾何定理的方法

12、是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法.【變式2】: 動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩定點(diǎn)A(3,0)和B(3,0)的距離的比等于2(即),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程?三:用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù),求出參數(shù)方程,最后消參,化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A點(diǎn),l2交y軸于B點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。四:用代入法等其它方法求軌跡方程 例4. 軌跡方程。 四、題型鞏固直線、圓與方程1.下列敘述中不正確的是( )A.若直線的斜率存在,則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng) B.每條直線都唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)傾斜角C.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是0或90 D.

13、若直線的傾斜角為,則直線的斜率為k=tan2.給出下列命題:任何一條直線都有唯一的傾斜角;一條直線的傾斜角可以為-30;傾斜角為0的直線只有一條,即x軸;按照傾斜角的概念,直線傾斜角的集合|00 B.A0,B0, C=0C.AB0,C=010.已知直線l的方程為9x-4y=36,則l在y軸上的截距為( )A.9 B.-9 C.4 D.-411.兩條直線2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交點(diǎn)在y軸上,那么k的值是( )A.-24 B.6 C.6 D.不同于A、B、C的答案12.x軸上任一點(diǎn)到定點(diǎn)(0,2)、(1,1)距離之和的最小值是( )A. B. C. D.13.點(diǎn)P(m-n,-m)到

14、直線的距離等于( )A. B. C. D.14.點(diǎn)P(x,y)在直線x+y-4=0上,則x2+y2的最小值是( )A.8 B. C. D.1615以A(1,3),B(5,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是()A3xy80 B3xy40 C3xy60 D3xy2016直線1過第一、二、三象限,則()Aa0,b0 Ba0,b0 Ca0 Da0,b017.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是( )A.a-2或 B. C.-2a0 D.18.若曲線x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0關(guān)于直線y-x=0對(duì)稱的曲線仍是其本身,則實(shí)數(shù)a為( )A. B. C.或

15、D.或19.過原點(diǎn),且在x、y軸上的截距分別為p、q(p0,q0)的圓的方程是( )A.x2+y2-px-qy=0 B.x2+y2+px-qy=0 C.x2+y2-px+qy=0 D.x2+y2+px+qy=020.由方程x2+y2+x+(m-1)y+=0所確定的圓中,最大面積是( )A. B. C.3 D.不存在21以點(diǎn)P(2,3)為圓心,并且與y軸相切的圓的方程是()A(x2)2(y3)24 B(x2)2(y3)29 C(x2)2(y3)24 D(x2)2(y3)2922點(diǎn)P(m2,5)與圓x2y224的位置關(guān)系是()A在圓內(nèi) B在圓外 C在圓上 D不確定23若點(diǎn)(4a1,3a2)不在圓(

16、x1)2(y2)225的外部,則a的取值范圍是()Aa B1a0)到直線l:xy30的距離為1,則a()A. B2 C.1 D.125直線l過點(diǎn)A(3,4)且與點(diǎn)B(3,2)的距離最遠(yuǎn),那么l的方程為()A3xy130 B3xy130 C3xy130 D3xy13026.兩直線ax+y-4=0與x-y-2=0相交于第一象限,則a的取值范圍是_.27.若兩平行直線2x+y-4=0與y=-2x-k-2的距離不大于5,則k的取值范圍是( )A.-11,-1 B.-11,0C.-11,-6)(-6,-1) D.-1,+)28直線4x3y20與圓x2y22x4y110的位置關(guān)系是()A相離 B相切 C相

17、交過圓心 D相交不過圓心29圓x2y24上的點(diǎn)到直線xy20的距離的最大值為()A2 B2 C. D030已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值為()A2 B4 C6 D831.圓x2+y2-2x=0和圓x2+y2+4y=0的位置關(guān)系是( )A.相離 B.外切 C.內(nèi)切 D.相交32.若兩圓x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A.1m121 B.1m121 C.1m11 D.1m1133.一圓過圓x2+y2-2x=0和直線x+2y-3=0的交點(diǎn),且圓心在y軸上,則這個(gè)圓的方程是( )A.x2+y2-4x-4y+6=

18、0 B.x2+y2+4y-6=0 C.x2+y2-2x=0 D.x2+y2+4x-6=034圓心為(3,0)且與直線xy0相切的圓的方程為() A(x)2y21 B(x3)2y23 C(x)2y23 D(x3)2y2935若直線xy2被圓(xa)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2,則實(shí)數(shù)a的值為()A1或 B1或3 C2或6 D0或436已知兩圓的圓心距是6,兩圓的半徑分別是方程x26x80的兩個(gè)根,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是()A外離B外切 C相交 D內(nèi)切37已知兩圓相交于A(1,3),B(m,1),兩圓的圓心均在直線xyc0上,則m2c的值為()A1B1 C3 D0軌跡方程1平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A,B,且|AB|4,動(dòng)點(diǎn)P滿足|4,則點(diǎn)P的軌跡是()A線段B半圓C圓D直線2若點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離的積為2 015,則點(diǎn)M的軌跡方程是()Axy2 015 Bxy2 015Cxy2 015 Dxy2 015(x0)3與點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(1,0)的連線的斜率之積為1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程

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