三重積分的計(jì)算方法小結(jié)與例題

1、三重積分的計(jì)算方法介紹：三重積分的計(jì)算是化為三次積分進(jìn)行的。其實(shí)質(zhì)是計(jì)算一個(gè)定積分（一重積分）和一個(gè)二重積分。從順序看：如果先做定積分，再做二重積分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步驟為：找及在xoy面投影域D。多D上一點(diǎn)（x,y）“穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步（定積分）；進(jìn)而按二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影域D上的二重積分，完成“后二”這一步。如果先做二重積分再做定積分，就是“截面法”，也即“先二后一”。步驟為：確定位于平面之間，即，過(guò)z作平行于xoy面的平面截，截面。區(qū)域的邊界曲面都是z的函數(shù)。計(jì)算區(qū)域上的二重積分，完成了“先二”這一步（二重積分）；進(jìn)而計(jì)算定積分，完成“后一

2、”這一步。當(dāng)被積函數(shù)f（z）僅為z的函數(shù)（與x,y無(wú)關(guān)），且的面積容易求出時(shí)，“截面法”尤為方便。為了簡(jiǎn)化積分的計(jì)算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算的問(wèn)題。可以按以下幾點(diǎn)考慮：將積分區(qū)域投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平面)（1） D是X型或Y型，可選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算（當(dāng)?shù)倪吔缜嬷杏休^多的平面時(shí)，常用直角坐標(biāo)系計(jì)算）（2） D是圓域（或其部分），且被積函數(shù)形如時(shí)，可選擇柱面坐標(biāo)系計(jì)算（當(dāng)為圓柱體或圓錐體時(shí)，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算）（3）是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如時(shí)，可選擇球面坐標(biāo)系計(jì)算以上是一般常見(jiàn)的三重積分的計(jì)算方法。對(duì)向其它坐標(biāo)面投影或不易作出的情形不贅述。三重積分的計(jì)算方法小結(jié)：1.對(duì)三重

3、積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。一般地，投影法（先一后二）：較直觀易掌握；截面法（先二后一）： 是在z處的截面，其邊界曲線方程易寫錯(cuò)，故較難一些。特殊地，對(duì)積分時(shí)，f(x,y,z)與x,y無(wú)關(guān)，可直接計(jì)算。因而中只要, 且f(x,y,z)僅含z時(shí)，選取“截面法”更佳。2.對(duì)坐標(biāo)系的選取，當(dāng)為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含z或時(shí)，可考慮用柱面坐標(biāo)計(jì)算。三重積分的計(jì)算方法例題：補(bǔ)例1：計(jì)算三重積分，其中為平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的閉區(qū)域。解1“投影法” 1.畫出及在xoy面投影域D. 2. “穿線”X型

4、D：3.計(jì)算 解2“截面法”1.畫出。2. 過(guò)點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截得。是兩直角邊為x,y的直角三角形，3.計(jì)算 補(bǔ)例2：計(jì)算，其中是和z=1圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”1.畫出及在xoy面投影域D. 由消去z，得即D： 2. “穿線”， X型 D： 3.計(jì)算注：可用柱坐標(biāo)計(jì)算。解2“截面法”1.畫出。 2. 過(guò)點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截得： 用柱坐標(biāo)計(jì)算 3.計(jì)算 補(bǔ)例3：化三重積分為三次積分，其中：所圍成的閉區(qū)域。解：1.畫出及在xoy面上的投影域D. 由 消去z，得即D： 2.“穿線” X型 D：3計(jì)算 注：當(dāng)為已知的解析式時(shí)可用柱坐標(biāo)計(jì)算。補(bǔ)例4：計(jì)算，其中為所圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”1.畫出及在xoy面投影域D， 用柱坐標(biāo)計(jì)算 由 化的邊界曲面方程為：z=6-r2，z=r2.解 D： 即“穿線” 3計(jì)算 。解2“截面法”1.畫出。如圖：由圍成。 2. 由z=r與z=2圍成； ，： ： 由z=2與z=圍成； ，：3.計(jì)算 = 注：被積函數(shù)z是柱坐標(biāo)中的第三個(gè)變量，不能用第二個(gè)坐標(biāo)r代換。補(bǔ)例5：計(jì)算，其中由不等式，所確定。解：用球坐標(biāo)計(jì)算。由得的邊界曲面的球坐標(biāo)方程：P，連結(jié)OP=，其與z軸正向的夾角為，OP=。P在xoy面的投影為，連結(jié)，其與x軸正向的夾角為。：，= =三重積分的計(jì)算方法練習(xí)1. 計(jì)算，其中是旋轉(zhuǎn)面與平面z=2