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1、2010華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)下期末考試試卷及答案一填空題(每小題4分,共20分)1.函數(shù)在點的梯度為;2.函數(shù)的極值點是;3.假設(shè)L為圓的右半部分,則;4.設(shè),則 0 ,5.設(shè),都是方程的解,則方程的通解為二.(本題8分)計算三重積分,其中是由所圍成的閉球體解: 4 4三. (本題8分)證明:在點處連續(xù),與存在,但在 處不可微.證 ,故在點處連續(xù); 2又由定義, ; 2但不存在,故在 處不可微。 4四(本題8分)設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),試用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,將變換為下的表達(dá)式.解 2再由,分別對求導(dǎo)數(shù),得和解得,從而, 4所以= 2五(8分)計算,其中為 (1)圓周(按反時針方向);解:
2、,而且原點不在該圓域內(nèi)部,從而由格林公式,原式 4(2)閉曲線(按反時針方向)解:,原式 4六(8分)計算,是平面被圓柱面截出的有限部分解: ,原式 4 4七.(8分)計算曲面積分,其中為上半球面的上側(cè)解 取為平面上圓的下側(cè),記為與所圍的空間閉區(qū)域。由高斯公式,有 3 3又2所以,有八. (本題6分)求微分方程的通解.解:對照標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程 2 4九.(本題6分)求微分方程的通解.解:對應(yīng)齊次方程特征方程為 2非齊次項,與標(biāo)準(zhǔn)式比較得對比特征根,推得, 2從而代入方程得從而通解為 2十. (非化工類做)(本題6分)求冪級數(shù)的收斂域.解: 4當(dāng)時即為條件收斂,收斂域-2,2 2十一. (非化工類做)(本題7分)將函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù),并確定其成立區(qū)間解: 2 4 = 成立區(qū)間 (-1/2, 1/2) 1十二. (非化工類做)(本題7分)設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為將其展成傅里葉級數(shù).解: 1 2 2 () 2十. (化工類做) (本題6分)求微分方程的通解.解 由于, 所以原方程為全微分方程. 2 3于是, 原方程的通解為 1十一. (化工類做)(本題7分)1計算其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界解:可以分解為及 4 3十二. (化工類做
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