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文檔簡介
1、放縮法在數(shù)列不等式中的應(yīng)用數(shù)列不等式是高考大綱在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題精神的重要體現(xiàn),在高考試題中占有重要地位,在近幾年的高考試題中,多個(gè)省份都有所考查,甚至作為壓軸題。而數(shù)列不等式的求解常常用到放縮法,筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在用放縮法處理此類問題時(shí),普遍感到困難,找不到解題思路?,F(xiàn)就放縮法在數(shù)列不等式求解過程中常見的幾種應(yīng)用類型總結(jié)如下。1. 直接放縮,消項(xiàng)求解例1在數(shù)列中,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列. ,()求及,由此猜測的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論;()證明:.分析:()數(shù)學(xué)歸納法。 ()本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積,可將其放縮為等差型兩項(xiàng)之積,通過裂項(xiàng)求和。()略解()n2時(shí),由()
2、知故,綜上,原不等式成立 點(diǎn)評(píng): 數(shù)列和式不等式中,若數(shù)列的通項(xiàng)為分式型,可考慮對(duì)其分母進(jìn)行放縮,構(gòu)造等差型因式之積。再用裂項(xiàng)的方法求解。另外,熟悉一些常用的放縮方法,如:,例2設(shè)數(shù)列滿足其中為實(shí)數(shù)()證明:對(duì)任意成立的充分必要條件是;()設(shè),證明:;分析:()數(shù)學(xué)歸納法證明()結(jié)論可變形為,即不等式右邊為一等比數(shù)列通項(xiàng)形式,化歸思路為對(duì) 用放縮法構(gòu)造等比型遞推數(shù)列,即解:()解略。()設(shè) ,當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,當(dāng) 時(shí), ,由(1)知,所以 且 點(diǎn)評(píng):直接對(duì)多項(xiàng)式放大后,得到的是等比型遞推數(shù)列,再逐項(xiàng)遞推得到結(jié)論。通過放縮得到等比型遞推數(shù)列是求解數(shù)列不等式的另一個(gè)重要的類型。2. 利用基本不等式放
3、縮例3已知數(shù)列,記,求證:當(dāng)時(shí),();();()。分析:()在的條件下,的等價(jià)形式為,要證,只需證即證,可用數(shù)學(xué)歸納法證明()由 累加及可得()和式通項(xiàng)的分母由 累乘得到的,條件中可有得到,但 的分子分母次數(shù)不同,可用基本不等式將其化為等比型遞推數(shù)列()解略。()解略。()證明:由,得所以,于是,故當(dāng)時(shí),又因?yàn)椋渣c(diǎn)評(píng):本題第三問,基本不等式的應(yīng)用使構(gòu)造等比型遞推數(shù)列成為可能,在公比時(shí),等比數(shù)列的前 項(xiàng)和趨向于定值,即前項(xiàng)和有界,這為數(shù)列和式范圍的證明提供了思路。3. 利用數(shù)列的單調(diào)性放縮例4 數(shù)列為非負(fù)實(shí)數(shù)列,且滿足:,求證:分析:有時(shí)數(shù)列不等式的證明可以在數(shù)列單調(diào)性的前提下進(jìn)行放縮。證明
4、:若有某個(gè),則,從而從起,數(shù)列單調(diào)遞增,和會(huì)隨n的增大而趨向于無窮,與矛盾,所以是單調(diào)遞減的數(shù)列,即,令由得,即由于故。點(diǎn)評(píng):本題考慮了數(shù)列,的單調(diào)性,然后利用放縮法進(jìn)行證明。又如,例3的第三問也可用單調(diào)性證明:及,要證,只要證,即而所以問題得證4. 放縮法在數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)列不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題,數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方法。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),通常要利用放縮法對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,才能實(shí)現(xiàn)由時(shí)成立到時(shí)也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析,我們發(fā)現(xiàn),在數(shù)列不等式的求解過程中,通過放縮法的應(yīng)用,主要使數(shù)列不等式轉(zhuǎn)化為以下兩種類型:(1)可直接裂項(xiàng)的形式,再求和證明求解。(等差型)(2)等比型遞推數(shù)列,時(shí),數(shù)列前項(xiàng)和有界。(等比型)數(shù)列不等式是一類綜合性較強(qiáng)的問題,我們可以利用上述思路對(duì)數(shù)列不等式進(jìn)行分析、求解。在解題過程中要充分挖掘題設(shè)條件信息,把條件合理
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