2018第一輪復(fù)習(xí)-放縮法技巧全總結(jié)

1、放縮法在數(shù)列不等式中的應(yīng)用數(shù)列不等式是高考大綱在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題精神的重要體現(xiàn)，在高考試題中占有重要地位，在近幾年的高考試題中，多個(gè)省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數(shù)列不等式的求解常常用到放縮法，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在用放縮法處理此類問題時(shí)，普遍感到困難，找不到解題思路?，F(xiàn)就放縮法在數(shù)列不等式求解過程中常見的幾種應(yīng)用類型總結(jié)如下。1. 直接放縮，消項(xiàng)求解例1在數(shù)列中,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列. ,（）求及,由此猜測的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論;（）證明:.分析：（）數(shù)學(xué)歸納法。 （）本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積，可將其放縮為等差型兩項(xiàng)之積，通過裂項(xiàng)求和。（）略解（）n2時(shí)，由（）

2、知故，綜上，原不等式成立 點(diǎn)評(píng)： 數(shù)列和式不等式中，若數(shù)列的通項(xiàng)為分式型，可考慮對(duì)其分母進(jìn)行放縮，構(gòu)造等差型因式之積。再用裂項(xiàng)的方法求解。另外，熟悉一些常用的放縮方法，如：,例2設(shè)數(shù)列滿足其中為實(shí)數(shù)（）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；（）設(shè)，證明：;分析：（）數(shù)學(xué)歸納法證明（）結(jié)論可變形為，即不等式右邊為一等比數(shù)列通項(xiàng)形式，化歸思路為對(duì) 用放縮法構(gòu)造等比型遞推數(shù)列，即解：（）解略。（）設(shè) ，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng) 時(shí)， ,由（1）知，所以 且 點(diǎn)評(píng)：直接對(duì)多項(xiàng)式放大后，得到的是等比型遞推數(shù)列，再逐項(xiàng)遞推得到結(jié)論。通過放縮得到等比型遞推數(shù)列是求解數(shù)列不等式的另一個(gè)重要的類型。2. 利用基本不等式放

3、縮例3已知數(shù)列，記，求證：當(dāng)時(shí)，（）；（）；（）。分析：（）在的條件下，的等價(jià)形式為，要證，只需證即證，可用數(shù)學(xué)歸納法證明（）由 累加及可得（）和式通項(xiàng)的分母由 累乘得到的，條件中可有得到，但 的分子分母次數(shù)不同，可用基本不等式將其化為等比型遞推數(shù)列（）解略。（）解略。（）證明：由，得所以，于是，故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋渣c(diǎn)評(píng)：本題第三問，基本不等式的應(yīng)用使構(gòu)造等比型遞推數(shù)列成為可能，在公比時(shí)，等比數(shù)列的前 項(xiàng)和趨向于定值，即前項(xiàng)和有界，這為數(shù)列和式范圍的證明提供了思路。3. 利用數(shù)列的單調(diào)性放縮例4 數(shù)列為非負(fù)實(shí)數(shù)列，且滿足：，求證：分析：有時(shí)數(shù)列不等式的證明可以在數(shù)列單調(diào)性的前提下進(jìn)行放縮。證明

4、：若有某個(gè)，則，從而從起，數(shù)列單調(diào)遞增，和會(huì)隨n的增大而趨向于無窮，與矛盾，所以是單調(diào)遞減的數(shù)列，即，令由得，即由于故。點(diǎn)評(píng)：本題考慮了數(shù)列，的單調(diào)性，然后利用放縮法進(jìn)行證明。又如，例3的第三問也可用單調(diào)性證明：及，要證,只要證，即而所以問題得證4. 放縮法在數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)列不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題，數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方法。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，通常要利用放縮法對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，才能實(shí)現(xiàn)由時(shí)成立到時(shí)也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列不等式的求解過程中，通過放縮法的應(yīng)用，主要使數(shù)列不等式轉(zhuǎn)化為以下兩種類型：（1）可直接裂項(xiàng)的形式，再求和證明求解。（等差型）（2）等比型遞推數(shù)列，時(shí)，數(shù)列前項(xiàng)和有界。（等比型）數(shù)列不等式是一類綜合性較強(qiáng)的問題，我們可以利用上述思路對(duì)數(shù)列不等式進(jìn)行分析、求解。在解題過程中要充分挖掘題設(shè)條件信息，把條件合理