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文檔簡介

1、標準偏差數(shù)學表達式:? S 標準偏差( %)?n- 試樣總數(shù)或測量次數(shù),一般n 值不應少于0 30個?i-物料中某成分得各次測量值,1n ;標準偏差得使用方法六個計算標準偏差得公式 1標準偏差得理論計算公式設對真值為得某量進行一組等精度測量, 其測得值為l1、l 、 . 令測得值與該量真值 X 之差為真差占, 則有 = l - X1i =2- Xnl- X我們定義標準偏差(也稱 標準差 ) 為(1)由于真值都就是不可知得, 因此真差占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實用價值。標準偏差 得常用估計 貝塞爾公式由于真值就是不可知得, 在實際應用中,我們常用n 次測量得算術(shù)平均值來代表真值。理論

2、上也證明,隨著測量次數(shù)得增多,算術(shù)平均值最接近真值,當時 , 算術(shù)平均值就就是真值。于就是我們用測得值l i 與算術(shù)平均值之差 剩余誤差 ( 也叫殘差) i 來代替真差 , 即設一組等精度測量值為l1 、 l 、 ln則通過數(shù)學推導可得真差與剩余誤差V 得關(guān)系為將上式代入式()有( 2)式( 2)就就是著名得貝塞爾公式(Bessel) 。它用于有限次測量次數(shù)時標準偏差得計算。由于當時,,可見貝塞爾公式與得定義式( 1 )就是完全一致得.應該指出 , 在 n 有限時 , 用貝塞爾公式所得到得就是標準偏差得一個估計值.它不就是總體標準偏差。因此,我們稱式 (2 )為標準偏差得常用估計。為了強調(diào)這一

3、點, 我們將 得估計值用 “S ”表示。于就是,將式 (2) 改寫為( 2)在求 S 時 ,為免去求算術(shù)平均值得麻煩, 經(jīng)數(shù)學推導(過程從略)有于就是,式 ( )可寫為(2 ”)按式 (2) 求 S 時,只需求出各測得值得平方與與各測得值之與得平方藝, 即可。標準偏差 得無偏估計數(shù)理統(tǒng)計中定義 2 為樣本方差數(shù)學上已經(jīng)證明 S 就是 總體方差得無偏估計。即在大量重復試驗中, S 圍繞 散布 , 它們2222之間沒有 系統(tǒng)誤差 .而式 ( )在有限時,S 并不就是總體標準偏差得無偏估計 , 也就就是說與 之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們,對于服從正態(tài)分布得正態(tài)總體,總體標準偏差 得無偏估計值為

4、(3 )令則即 S1與 S 僅相差一個系數(shù)就是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)得一個系數(shù),K , KK 值見表 .計算 K 時用到( n+ ) ( n)( ) 1由表 1 知 , 當 3 時 , 。因此 , 當 n3 時, 式( ) 與式( 2)之間得差異可略而不計。在 n=3 50 時 , 最宜用貝塞爾公式求標準偏差 .當 n 10 時, 由于 值得影響已不可忽略 , 宜用式 (3 ) , 求標準偏差 .這時再用貝塞爾公式顯然就是不妥得。標準偏差得最大似然估計將 得定義式 (1 )中得真值用算術(shù)平均值代替且當有限時就得到( 4)式( 4) 適用于n 50 時得情況 , 當 0 時 ,與( n-1) 對

5、計算結(jié)果得影響就很小了.2 、標準偏差 得 極差 估計由于以上幾個標準偏差得計算公式計算量較大,用, 而極差估計得方法則有運算簡便, 計算量小宜于現(xiàn)場采用得特點。不宜現(xiàn)場采極差用 R 表示。所謂極差就就是從正態(tài)總體中隨機抽取得個樣本測得值中得最大值與最小值之差。若對某量作次等精度測量測得l 1、,且它們服從正態(tài)分布,則R =l max - lmin概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標準偏差得計算公式為( 5)S3 稱為標準偏差 得無偏極差估計, d2 為與樣本個數(shù) n(測得值個數(shù) )有關(guān)得無偏極差系數(shù),其值見表 2由表 2 知,當 n1時,因此 ,標準偏差更粗略得估計值為( 5 )還可以瞧出 ,

6、 當 0 10時 ,因而又有( 5 )顯然,不需查表利用式(5) 與( 5”)了即可對標準偏差值作出快速估計,用以對用貝塞爾公式及其她公式得計算結(jié)果進行校核。應指出 ,式( 5) 得準確度 比用其她公式得準確度要低,但當 5 n1時 ,式 ()不僅大大提高了計算速度,而且還頗為準確。當 10 時 ,由于舍去數(shù)據(jù)信息較多, 因此誤差較大,為了提高準確度,這時應將測得值分成四個或五個一組, 先求出各組得極差R 、,再由各組極差求出極差平均值。極差平均值與總體標準偏差得關(guān)系為需指出,此時 d2 大小要用每組得數(shù)據(jù)個數(shù)n 而不就是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(= )去查表2。再則,分組時一定要按測得值得先后順序排列,

7、不能打亂或顛倒。標準偏差 得平均誤差估計平均誤差得定義為誤差理論給出()可以證明與得關(guān)系為(證明從略)于就是( B)由式( A) 與式( )得從而有式( 6)就就是佩特斯( C 、A 、 Pete s 、 1856) 公式。用該公式估計 值 , 由于 r ght| 不需平方 ,故計算較為簡便。 但該式得準確度不如貝塞爾公式。 該式使用條件與貝塞爾公式相似。標準偏差得應用實例 1對標稱值R =0、 160得以下 15 個數(shù)據(jù):、 m 得一塊粗糙度樣塊進行檢定,順次測5,1 、65, 、 60 , 1、 67 , 1、 52,1 、4 ,1、 72 ,1、 69 ,1、 7, 1、6 ,、 6,

8、、 0,、 64, 、 74 與 1、 63 m, 試求該樣塊 Rn 得平均值與標準偏差并判斷其合格否。解: 1) 先求平均值 )再求標準偏差S若用無偏極差估計公式式(5)計算,首先將測得得,15 個數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個,見表 3。表組號l_1l_ R1、 481 、651 、 601 、 671 、 5、 11、 461 、721 、 69 、 771 、 60 、 31、 561 、501 、 64 、 74、 63、 2因每組為5 個數(shù)據(jù),按 n=5 由表 2 查得故若按常用估計即貝塞爾公式式(2),則若按無偏估計公式即式(3)計算,因 =15 ,由表 1 查得 K =、 0

9、 8,則若按 最大似然估計公式即式 ()計算,則= 、 296(math m )若按平均誤差估計公式即式(),則現(xiàn)在用式(5)對以上計算進行校核可見以上算得得、S1、 2 、S3 與 S4 沒有粗大誤差。由以上計算結(jié)果可知0、 09296 0、 96 0、 0 790 、 0 7 0、 062即2 S 13S S S可見,最大似然估計值最小,常用估計值 S 稍大 , 無偏估計值 S 又大 , 平均誤差估計值S4 再大, 極差估計值S3 最大 .縱觀這幾個值,它們相當接近,最大差值僅為 0 、 01 24 m。從理論上講,用無偏估計值與常用估計比較合適, 在本例中,它們僅相差 0、 01 m。可

10、以相信 , 隨著得增大,S 、 1、 S3與之間得差別會越來越小。、 S就本例而言 , 無偏極差估計值 3 與無偏估計值 1 僅相差 0、008 m, 這說明無偏極差估計就是既可以保證一定準確度計算又簡便得一種好方法。 G102 9表面粗糙度比較樣塊 規(guī)定 Ra 得平均值對其標稱值得偏離不應超過+12 17%, 標準偏差應在標稱值得4 2% 之間 .已得本樣塊二產(chǎn) ,產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi), 故該樣塊合格。標準偏差與標準差得區(qū)別標準差 ( tandard De iati n)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)得距離(離均差 )得平均數(shù) ,它就是離差平方與平均后得方根。用表示。因此,標準差 也就是一種平均數(shù)。標準差就

11、是方差 得算術(shù)平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集得離散程度.平均數(shù)相同得,標準差未必相同.例如, A 、B 兩組各有6 位學生參加同一次語文測驗,A 組得分數(shù)為95 、8 、 7 、 65 、55 、45 , B 組得分數(shù)為73 、69 、 6、 67. 這兩組得平均數(shù)都就是70, 但 A 組得標準差為 1、 08 分, B 組得標準差為、16 分 ,說明 A 組學生之間得差距要比B 組學生之間得差距大得多 .標準偏差( Std ev , Sta d d viation )統(tǒng)計學 名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布得分散程度之標準,用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值得程度。標準偏差越小,這些值偏離平均值就越少 ,

12、反之亦然 .標準偏差得大小可通過標準偏差與平均值得倍率關(guān)系來衡量.有人經(jīng)?;煊镁礁`差(上二者并不就是一回事 .RM E)與標準差( StandardD v ation) ,實際1、均方根誤差均方根誤差為了說明樣本得離散程度。均方根誤差(root e n-s uare e ror )亦稱標準誤差, 其定義為 ,i1,2,。在有限測量次數(shù)中,均方根誤差常用下式表示 :,式中 ,n 為測量次數(shù) ;di 為一組測量值與平均值得偏差。如果誤差統(tǒng)計分布就是正態(tài)分布 ,那么隨機誤差落在土 以內(nèi)得概率為 8。?、標準差標準差就是方差得算術(shù)平方根。 ?標準差能反映一個數(shù)據(jù)集得離散程度。平均數(shù)相同得,標準差未

13、必相同。標準差也被稱為標準偏差,或者實驗標準差.均方根值也稱作為效值,它得計算方法就是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為00V而占空比為0 、 5 得方波信號 ,如果按平均值計算,它得電壓只有50V ,而按均方根值計算則有 7、 7 V 。這就是為什么呢?舉一個例子,有一組1伏得電池組 ,每次供電 10 分鐘之后停 10分鐘, 也就就是說占空比為一半。如果這組電池帶動得就是10 電阻 ,供電得 0分鐘產(chǎn)生1 A 得電流與 1 00W 得功率 ,停電時電流與功率為零。那么在 20分鐘得一個周期內(nèi)其平均功率為00 ,這相當于 0 、71V得直流電向 10 電阻供電所產(chǎn)生得功率。而 0V 直流電壓

14、向 10 電阻供電只能產(chǎn)生得0W 得功率。對于電機與變壓器而言,只要均方根電流不超過額定電流,即使在一定時間內(nèi)過載,也不會燒壞。PMT 1、 0 抽油機電能圖測試儀對電流、電壓與功率得測試計算都就是按有效值進行得,不會因為電流電壓波形畸變而測不準。這一點對于測試變頻器拖動得電機特別有用.均方根誤差 為了說明樣本得離散程度。對于 N1, 、N ,設 N= (N1+ 、+Nm )/m ;則均方根誤差記作:? sqrt( ( (N 12 )+、 +( N m2) )( (m 1) )); ?比如兩組樣本:第一組有以下三個樣本:3 ,4, 5?第二組有一下三個樣本:2,4,6這兩組得平均值都就是,但就

15、是第一組得三個數(shù)值相對更靠近平均值,也就就是離散程度小, 均方差就就是表示這個得。同樣 ,方差、標準差 (方差開根 ,因為單位不統(tǒng)一)都就是表示數(shù)據(jù)得離散程度得。幾種典型平均值得求法?(1) 算術(shù)平均值這種平均值最常用。設x、 x2 、 、 x n 為各次得測量值 ,n 代表測量次數(shù),則算術(shù)平均值為?( 2 )均方根平均值()幾何平均值(4 )對數(shù)平均值 ?(5)加權(quán)平均值?相對標準方差得計算公式?準確度 : 測定值與真實值符合得程度 ?絕對誤差: 測量值 ( 或多次測定得平均值)與真(實 ) 值之差稱為絕對誤差,用表示 . ?相對誤差 : 絕對誤差與真值得比值稱為相對誤差。常用百分數(shù)表示。

16、? 絕對誤差可正可負 , 可以表明測量儀器得準確度,但不能反映誤差在測量值中所占比例 , 相對誤差反映測量誤差在測量結(jié)果中所占得比例,衡量相對誤差更有意義。 ? 例: 用刻度 0.5cm 得尺測量長度 , 可以讀準到。 1m,該尺測量得絕對誤差為 0。 cm;用刻度 1mm得尺測量長度,可以讀準到 0。1m,該尺測量得絕對誤差為。 mm。例 : 分析天平稱量誤差為 0、1mg, 減重法需稱 2 次, 可能得最大誤差為 0、2mg,為使稱量相對誤差小于、 1, 至少應稱量多少樣品?答:稱量樣品量應不小于02. ?真值 ( ): 真值就是客觀存在得,但任何測量都存在誤差, 故真值只能逼近而不可測知, 實際工作中,往往用“標準值”代替“真值 . 標準值 : 采用多種可靠得分析方法、由具有豐富經(jīng)驗得分析人員經(jīng)過反復多次測定得出得結(jié)果平均值 . ?精密度: 幾次平行測定結(jié)果相互接近得程度 . ? 各次測定結(jié)果越接近 , 精密度越高,用偏差衡量精密度。 ?偏差 : 單次測量值與樣本平均值之差 : ?平均偏差 : 各次測量偏差絕對值得平均值。相對平均偏差 : 平均偏差與平均值得比值 .標準偏差 : 各次測量偏差得平方與平均值再開方,比平均偏差更靈敏得反映較大偏差得存在 , 在統(tǒng)計學上更有意義。 ?相對標準偏差 ( 變異系數(shù))例:分析鐵礦石中鐵得質(zhì)量分數(shù),得到

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