一階常微分方程的解法

1、一階常微分方程的解法摘要：常微分方程是微積分學(xué)的重要組成部分，廣泛用于具體問題的研究中，在整個數(shù)學(xué)中占有重要的地位。本文對一階常微分方程的解法作了簡要的總結(jié)，并舉例加以分析了變量可分離方程，線性微分方程，積分因子，恰當(dāng)微分方程，主要歸納了一階微分方程的初等解法，并以典型例題加以說明。關(guān)鍵詞：變量分離;積分因子;非齊次微分方程;常數(shù)變易法 Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the

2、 research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes th

3、e elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一階常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為積分問題, 能用這種方法求解的微分方程稱為可積方程. 本文通過對一階微分方程的初等解法的歸納與總結(jié)，以及對變量

4、分離，積分因子，微分方程等各類初等解法的簡要分析，同時結(jié)合例題把常微分方程的求解問題化為積分問題，進(jìn)行求解.2. 一般變量分離2.1 變量可分離方程形如 （1.1）或 （1.2）的方程，稱為變量可分離方程。分別稱（1.1）、（1.2）為顯式變量可分離方程和微分形式變量可分離方程1.(1) 顯式變量可分離方程的解法在方程（1.1）中，若，（1.1）變形為積分得 （1.3）此為（1.1）的解若，使，則也是（1.1）的解注：當(dāng)不包含于（1.3）時要特別補上解例1：求解方程解:當(dāng)時，方程的通積分為 ，即 即 .另外，方程還有解，不包含在通解中.(2) 微分形式變量可分離方程的解法方程 （1.2）是變量

5、可分離方程的微分形式表達(dá)式.這時，和在方程中的地位是“平等”的，即和都可以被認(rèn)為是自變量或函數(shù)1.在求常數(shù)解時，若，則為方程（1.2）的解.同樣，若，則也是方程（1.2）的解.當(dāng)時,用它除方程(1.2)兩端,分離變量,得上式兩端同時積分,得到方程(1.2)的通積分例2:求解方程解:首先,易見為方程的解.其次,當(dāng)時,分離變量得積分，得方程的通積分 （C0）或 （C0） 以上內(nèi)容歸納了變量可分離方程的解法,.有些方程雖然不是變量可分離方程,但是經(jīng)過變量變換之后,就能化成變量可分離方程,接下來歸納了兩類可化為變量可分離的方程及其解法.2.2可化為變量可分離方程(1) 第一類可化為變量可分離的方程:齊

6、次微分方程如果一階顯式方程 （1.4）的右端函數(shù)可以改寫為的函數(shù)，那么稱方程（1.4）為一階齊次微分方程,也可以寫為 (1.5)作變量變換 (1.6)于是，從而 (1.7)把（1.6），（1.7）代入（1.5）得 即 (1.8)方程（1.8）是一個變量可分離方程,當(dāng)時,分離變量并積分,得到它的通積分 (1.9)或即其中. 以代入,得到原方程(1.5)的通積分若存在常數(shù),使，則是(1.8)的解, 由,得是原方程（1.5）的解1例3：解方程解：將方程化為 ,令，代入上式得,即 易于看出,為這個方程的一個解,從而為原方程的一個解.當(dāng)時,分離變量得兩端積分后得或 將換成,并解出,便得到原方程的通解.(

7、2)第二類可化為變量可分離的方程形如 （2.1）的方程是第二類可化為變量可分離的方程1.其中均為常數(shù).分如下情況： .即 用變量代換即可化為可分離變量的微分方程令則是可分離變量的微分方程若不全為零，則代表平面上的兩條相交的直線有且只有唯一的交點,設(shè)為令，則上述方程變?yōu)閯t（1.7）變?yōu)闉榭煞蛛x變量的微分方程注：若，則為的情形例4：求方程.解：令,則，代入得到，有 ，所以，把u代入得到 。例5：求方程.解：由,得,令,有，代入得到，令， 有，代入得到， 化簡得到，有， 所以有故代入得到 3 常數(shù)變易法一階線性微分方程的一般形式 （2.2）其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù).當(dāng)時,即 （2.3）稱為一階

8、線性齊次微分方程，當(dāng)，稱為一階線性非齊次微分方程.3.1齊次方程通解的解法：一般變量分離對分離變量，得兩邊同時積分，得即 則 3.2 非齊次方程通解的解法：常數(shù)變易法不難看出,（2.3）是（2.2）的特殊情形,兩者既有聯(lián)系又有差別,因此可以設(shè)想它們的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系而又有差別,現(xiàn)試圖利用方程的通解的形式去求出方程的通解,顯然,如果中恒保持為常數(shù),它們不可能是的解.可以設(shè)想在中將常數(shù)變易為的待定函數(shù),使它滿足方程,從而求出為此，令 （2.4）為方程（2.2）的解，其中待定，將（2.4）代入（2.2），得 即 從而 故，方程（2.2）的通解為注：一階非齊次微分方程的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解

9、與非齊次方程的一個特解之和4。例6：求解方 （2.5）解：方程（2.5）所對應(yīng)的齊次方程為 （2.6）其通解為,由常數(shù)變易法，令為方程（2.5）的通解，并代入（2.5）即， ，則方程（2.5）的通解為 .4恰當(dāng)微分方程若一階微分方程 （2.7）的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即則（2.7）為恰當(dāng)微分方程，其中，為某矩形區(qū)域上連續(xù)且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)1那么如何判定一個微分方程是否為恰當(dāng)微分方程呢，下面給出其判別方法若（2.7）為恰當(dāng)微分方程，則 （2.8） （2.9）對（2.8），（2.9）分別求關(guān)于，的偏導(dǎo)數(shù)，有，由，的連續(xù)性，可知故，此即為判定微分方程是否為恰當(dāng)微分方程的充要條件下面來討

10、論(2.7)的通解形式由(2.8)知是的可微函數(shù)，下面來求,使也滿足(2.9)由此知下證與無關(guān)即可所以左邊與無關(guān)積分得所以從而，原方程的通解為為任意常數(shù)例7:解：由題意得到，,由得到，原方程是一個恰當(dāng)方程；下面求一個，由，得，兩邊對y求偏導(dǎo)得到，得到，有，故，由，得到.5積分因子恰當(dāng)微分方程可以通過積分求出它的通解因此能否將一個非恰當(dāng)微分方程化為恰當(dāng)微分方程就有很大的意義積分因子就是為了解決這個問題引進(jìn)的概念如果存在連續(xù)可微函數(shù)，使得為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)，使 ，則稱為方程的積分因子； 積分因子不唯一2.函數(shù)為積分因子的充要條件是即 假設(shè)原方程存在只與有關(guān)的積分因子，則，則為原方程的積分

11、因子的充要條件是，即僅是關(guān)于的函數(shù)此時可求得原方程的一個積分因子為同樣有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是是僅為的函數(shù)，此時可求得方程(1.1)的一個積分因子為3.例8：求解方程解：這里方程不是恰當(dāng)?shù)?。因為只與有關(guān)，故方程有只與的積分因子以乘方程兩邊，得到或者寫成因而通解為6. 小結(jié)：一階常微分方程的初等解法是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為積分問題，其解的表達(dá)式由初等函數(shù)或超越函數(shù)表示，是常微分方程發(fā)展初期數(shù)學(xué)家的辛勤成果。對于一個給定的常微分方程,不僅要準(zhǔn)確判斷它屬于何種類型,還要注意學(xué)習(xí)的解題技巧,從中總結(jié)經(jīng)驗, ,對各種方法的推導(dǎo)進(jìn)行分析歸納,并根據(jù)方程特點,引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖儞Q,將方程換為能求解的類型.參考文獻(xiàn)：1東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程（第二版）M.北京：高等教育出版社，2005.4（2012.12重?。? 上海交通大學(xué)&集美大學(xué). 高等數(shù)學(xué)M.北京：科學(xué)出版社 2011-264-3053