初中數(shù)學(xué)《最短路徑問題》典型題型復(fù)習(xí)

1、初中數(shù)學(xué)最短路徑問題典型題型知識點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對稱”，“線段的平移”?！帮嬹R問題”，“造橋選址問題”。考的較多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。一、兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)例：已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。解：連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P ，就是所求。（根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.）二、 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)例：圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站

2、應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短 解：只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使AC+BC最小作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對稱點(diǎn)A，然后連接AB，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn) 三、一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例：已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.解：分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對稱點(diǎn)A，A；連接A，A，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長最小ABMNE例：如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從

3、A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）解：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E， 2.連接AE交河對岸與點(diǎn)M, 則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最

4、短。CDABEa例：如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線 a 的對稱點(diǎn)點(diǎn)C,連接AC交直線a于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為建抽水站的位置。證明：在直線 a 上另外任取一點(diǎn)E，連接AE.CE.BE.BD,點(diǎn)B.C關(guān)于直線 a 對稱,點(diǎn)D.E在直線 a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB 所以抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn)D處，DAOB. .ENCM例：某班舉行晚會(huì)，桌子擺成

5、兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA的對稱點(diǎn)點(diǎn)D, 2. 作點(diǎn)C關(guān)于直線 OB的對稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短FAOBD CH例：如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。G作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)D關(guān)于直線 OB的對稱點(diǎn)點(diǎn)E,E 3.連接EF分別交直線

6、OA.OB于點(diǎn)G.H，則CG+GH+DH最短四、求圓上點(diǎn)，使這點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì)在此問題中可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。例:一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為9，最短距離為1，則圓的半徑為多少？（5或4）四、點(diǎn)在圓柱中可將其側(cè)面展開求出最短路程將圓柱側(cè)面展成長方形，圓柱體展開的底面周長是長方形的長，圓柱的高是長方形的寬可求出最短路程例：如圖所示，是一個(gè)圓柱體，ABCD是它的一個(gè)橫截面，AB=，BC=3，一只螞蟻，要從A點(diǎn)爬行到C點(diǎn)，那么，最近的路程長為（）A7BCD5分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果解：將圓柱體展開

7、，連接A、C，=4，BC=3，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AC=5 故選D五、在長方體（正方體）中，求最短路程1）將右側(cè)面展開與下底面在同一平面內(nèi)，求得其路程2）將前表面展開與上表面在同一平面內(nèi)，求得其路程3）將上表面展開與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，求得其路程了 然后進(jìn)行比較大小，即可得到最短路程.例：有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長為（）A5cmBcmC4cmD3cm分析：把此長方體的一面展開，在平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間線段最短利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離

8、在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得解：因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的路線（1）展開前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；（2）展開前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；（3）展開左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；所以最短路徑長為cm 例：如圖是一個(gè)長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內(nèi)壁的A處（長的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（）A4.8BC5D分析：先將圖形展開，再根

9、據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知解：有兩種展開方法：將長方體展開成如圖所示，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=；將長方體展開成如圖所示，連接A、B，則AB=5； 所以最短距離 5 例：有一棵9米高的大樹，樹下有一個(gè)1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹米之外才是安全的分析：根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形ABC，利用勾股定理解答解：如圖，BC即為大樹折斷處4m減去小孩的高1m，則BC=41=3m，AB=94=5m，在RtABC中，AC=4例：如圖，在一個(gè)長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米

10、的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是米（精確到0.01米）分析：解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是AB+2個(gè)正方形的寬，長為2+0.22=2.4米；寬為1米于是最短路徑為：=2.60米例：如圖，AB為O直徑，AB=2，OC為半徑，OCAB,D為AC三等分點(diǎn)，點(diǎn)P為OC上的動(dòng)點(diǎn)，求AP+PD的最小值。 分折：作D關(guān)于OC的對稱點(diǎn)D，于是有PA+PDAD,（當(dāng)且僅當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到Po處，等號成立，易求AD=。六、在圓錐中，可將其側(cè)面展開求出最短路程將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)同一平面內(nèi)的問題可求出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案例：如圖，一直圓錐的母線長為QA=

11、8，底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路線長是 （結(jié)果保留根式）小蟲爬行的最短路線的長是圓錐的展開圖的扇形的弧所對的弦長，根據(jù)題意可得出：2r=n.OA,/180則，n8180則22=，解得：n=90，由勾股定理求得它的弦長AA一、題中出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)題中只出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),可作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短,或三角形兩邊之和小于第三邊求出最值.例：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上一定點(diǎn)，且BE=10,CE=14,P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC最小值。分析：作E關(guān)于BD對稱點(diǎn)E，E在AB上，有PE+PC=PE+

12、PCEC易求EC=26。二、題中出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),應(yīng)作兩次定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn).利用兩點(diǎn)之間線段最短求出最值。例：如圖，在直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn), A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),當(dāng)四邊形ABCD周長最短時(shí),求 。分折:因AB長為定值,四邊形周長最短時(shí)有BC+CD+DA最短,作B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B,A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A,DA+DC+BC=DA+DC+BCBA(當(dāng)D,C運(yùn)動(dòng)到AB和x軸y軸的交點(diǎn)時(shí)等號成立),易求直線AB解折式y(tǒng)= +,C0(0,),D0(-,0),此時(shí)=- 三、題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)。在求解時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所

13、在直線的對稱點(diǎn),(2)同時(shí)要考慮點(diǎn)點(diǎn),點(diǎn)線,線線之間的最短問題.例：如圖，在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,E,F,P分別為AB,BC,AC上動(dòng)點(diǎn),求PE+PF最小值分折:作E關(guān)于AC所直線的對稱點(diǎn)E,于是有,PE+PF=PF+PEEF,又因?yàn)镋在AB上運(yùn)動(dòng),故當(dāng)EF和AD,BC垂直時(shí)，E0F最短,易求E0F=。例：如圖，AOB=45，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P ，PO=10，在AO，BO上有兩動(dòng)點(diǎn)Q，R，求PQR周長的最小值。 分折：作P關(guān)于OA，OB對稱點(diǎn)P1，P2 。于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2P1P2，由對稱性易知P1OP2為等腰RT,OP=OP1=OP2=10,P1P2=

14、 總之，在這一類動(dòng)點(diǎn)最值問題中,關(guān)鍵在于，我們善于作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，或動(dòng)點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)。這對于我們解決此類問題有事半功倍的作用。1、運(yùn)用軸對稱解決距離最短問題運(yùn)用軸對稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相同注意：利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時(shí)，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問2、利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)