有限元分析的力學(xué)基礎(chǔ).ppt

1、第二章 有限元分析的力學(xué)基礎(chǔ),本章主要內(nèi)容,2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系 2.2彈性體的基本假設(shè) 2.3彈性力學(xué)的基本變量 2.4平面問(wèn)題的基本力學(xué)方程 2.5空間問(wèn)題的基本力學(xué)方程 2.6彈性問(wèn)題中的能量表達(dá) 2.7兩大類平面問(wèn)題,本章要點(diǎn),變形體的三大類基本變量 變形體的三大類基本方程及兩類邊界條件 彈性問(wèn)題中的能量表示 平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、剛體位移的特征及表達(dá) 應(yīng)力及應(yīng)變的分解,2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系,彈性力學(xué)：彈性力學(xué)也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機(jī)械設(shè)計(jì)中所提出的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題。 是固體力學(xué)的重要分支

2、，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力。 研究對(duì)象：包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。 彈性力學(xué)基本規(guī)律：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運(yùn)動(dòng)(或平衡)規(guī)律，它們有時(shí)被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來(lái)。,2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系,彈性力學(xué)同材料力學(xué)的比較 1、研究?jī)?nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。 2、研究的對(duì)象：材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件；彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與

3、殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。,2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系,彈性力學(xué)同材料力學(xué)的比較 3、研究的方法： 相同點(diǎn)：靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究； 不同點(diǎn)：材料力學(xué)： 對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面建立分析方程，引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)，因而得出的結(jié)果往往是近似的，不精確。 彈性力學(xué)： 對(duì)構(gòu)件采用無(wú)限小單元體來(lái)建立分析方程的，因而無(wú)須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，可以用彈性力學(xué)的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。,2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系,從幾何形狀復(fù)雜程度來(lái)考慮可以分為： 1）簡(jiǎn)單形

4、狀變形體材料力學(xué) 2）任意形狀變形體彈性力學(xué) 任意變形體是有限元方法處理的對(duì)象，因而，彈性力學(xué)中有關(guān)變量和方程的描述是有限元方法的重要基礎(chǔ)。 彈性力學(xué)的弱點(diǎn)：由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問(wèn)題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。,2.2 彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定,連續(xù)性：亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位 移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。 完全彈性：亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。

5、這樣，當(dāng)溫度不變時(shí)，物 體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力 ，與它過(guò)去的受力情況無(wú)關(guān)。服從虎克定律(應(yīng)力應(yīng)變成比例) 均勻性：也就是說(shuō)整個(gè)物體是由同一種材料組成的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常 數(shù)(彈性模量和泊松系數(shù))才不隨位置座標(biāo)而變。,各向同性：也就是說(shuō)物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。 物體的變形是微小的：亦即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來(lái)代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時(shí)

6、，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。,2.2 彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定,2.3彈性力學(xué)基本變量,基本變量,2.3彈性力學(xué)基本變量,外力：指其他物體對(duì)研究對(duì)象（彈性體）的作用力?？梢苑譃轶w積力和表面力 1、表面力：是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。 2、體力：是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。 均為矢量。 彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力（內(nèi)力）,2.3彈性力學(xué)基本變量,內(nèi)力：應(yīng)力 -外力(或溫度)的作用 內(nèi)力,設(shè)作用于 上的內(nèi)力為 , 則內(nèi)力的平均集度,即平均應(yīng)力,為 /,這個(gè)極限矢量S

7、,就是物體在截面mn上、P點(diǎn)的應(yīng)力。,應(yīng)力就是彈性體內(nèi)某一點(diǎn)作用于某截面單位面積上的內(nèi)力,2.3彈性力學(xué)基本變量,正應(yīng)力 剪應(yīng)力,每一個(gè)面上的應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力,正應(yīng)力下標(biāo)表示作用在垂直于軸的面上同時(shí)也沿著軸方向作用的,剪應(yīng)力加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。,2.3彈性力學(xué)基本變量,正面（外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向） 負(fù)面（外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向） 正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù) 負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù) 正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù),2.3彈性力學(xué)基本變量,剪應(yīng)

8、力互等定律：作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負(fù)號(hào)也相同)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。,不同的坐標(biāo)表示,應(yīng)力張量,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)變形狀的改變（形變）長(zhǎng)度的改變和角度的改變,應(yīng)變和位移,為了分析物體在其某一點(diǎn) P 的形變狀態(tài), 在這一點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸x , y , z 的正方向取三個(gè)微小的線段 PA, PB, PC。,2.3彈性力學(xué)基本變量,正應(yīng)變各線段的每單位長(zhǎng)度的伸縮,即單位伸縮或相對(duì)伸縮。以伸長(zhǎng)為正、縮短為負(fù),剪應(yīng)變各線段之間的直角的改變,用弧度表示。以直角減小為正、增大為負(fù)。,2.3彈性力學(xué)基本變量,位移就是位置的移動(dòng)。,物體內(nèi)任意一點(diǎn)的

9、位移,用它在x, y, z三軸上的投影 ， ， 來(lái)表示以正標(biāo)向?yàn)檎?一般而論, 彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量,都是隨著該點(diǎn)的位置而變的, 因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。,2.3彈性力學(xué)基本變量,位移與應(yīng)變的關(guān)系,2.3彈性力學(xué)基本變量,應(yīng)變位移,剛體位移,位移,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),strain-displacement relations.（幾何方程 柯西方程）,應(yīng)力分量的矩陣表示稱為應(yīng)力列陣或應(yīng)力向量。,彈性體在載荷作用下，將產(chǎn)生位移和變形，即彈性體位置的移動(dòng)和形狀的改變。彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移可由沿直角坐標(biāo)軸方向的3個(gè)位移分量 來(lái)表示。它的矩陣形式是：,稱作位移列陣或

10、位移向量。,基本方程 受外部作用的任意形狀變形體，在其微小體元dxdydz中，基于位移、應(yīng)變和應(yīng)力這三大類變量，可以建立以下三大類方程 平衡方程：外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系 幾何方程：描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系 物理方程：應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系,2.4平面問(wèn)題的基本力學(xué)方程,平衡方程：外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系 幾何方程：描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系 物理方程：應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系 邊界條件：,平面(二維)平衡方程,平面問(wèn)題的靜力學(xué)平衡,設(shè)微小正六面體,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺寸取一個(gè)單位長(zhǎng)度.,兩個(gè)對(duì)面存在微小差量,通過(guò)中心點(diǎn)C,平行與Z軸的直線為軸,列出平衡方程,上式兩邊除dxdy

11、,可得:,剪力互等關(guān)系,以X軸為投影軸,滿足平衡方程:,上式兩邊除dxdy,可得:,同理,平面(二維)幾何方程,經(jīng)過(guò)彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P,沿X軸和Y軸的方向取兩個(gè)微小長(zhǎng)度的線段PA=dx,PB=dy見圖,變形協(xié)調(diào)條件 它的物理意義是：材料在變形過(guò)程中應(yīng)該是整體連續(xù)的，不應(yīng)該出現(xiàn)“撕裂”和“重疊”現(xiàn)象發(fā)生。,寫成矩陣形式為,物理方程,E稱為楊氏模量反映材料對(duì)于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。,是泊松系數(shù)，描寫材料橫向收縮或膨脹的特性。,線應(yīng)變（相對(duì)伸長(zhǎng)或壓縮）,絕對(duì)伸長(zhǎng)（或壓縮）與原長(zhǎng)之比稱為相對(duì)伸長(zhǎng)（或壓縮）。公式：,其中：設(shè)想直桿橫截面是正方形每邊長(zhǎng)為 ,橫向形變后為 。,橫向形變和縱向形變之比為泊松

12、系數(shù)：,當(dāng) 時(shí)，為拉伸形變； 時(shí)，為壓縮形變，因而，它很好地反映形變程度。如直桿拉伸壓縮時(shí)，還產(chǎn)生橫 向形變，則對(duì)應(yīng)的應(yīng)變(或形變)為：,按照邊界情況，彈性力學(xué)問(wèn)題一般分為三類：,位移邊界問(wèn)題：在邊界面上全部給定位移，即全部是 Su 邊界,應(yīng)力邊界問(wèn)題：在邊界面上全部給定表面力，即全部是應(yīng)力邊界。這時(shí)，外力（包括體力和面力）應(yīng)是平衡力系。,混合邊界問(wèn)題：既有Su 邊界，又有應(yīng)力邊界。二者可以分別在邊界表面不同的區(qū)域上，或同一區(qū)域不同的方向上。,邊界條件,在 上彈性體的位移已知為 即有:,用矩陣形式表示是,彈性體V的全部邊界為S,一部分邊界上已知外力 稱為力的邊界條件，這部分邊界用 表示;另一部

13、分邊界上彈性體的位移 已知，稱為幾何邊界條件與位移邊界條件，這部分邊界用 表示。這兩部分邊界構(gòu)成彈性體的全部邊界，即 :,幾何邊界條件,作用在任意平面上該點(diǎn)的應(yīng)力分量可以由下式表示為：,其中,2.5空間問(wèn)題的基本力學(xué)方程,平衡方程：外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系 幾何方程：描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系 物理方程：應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系 邊界條件：,平衡方程,X方向負(fù)面 X方向正面 Y方向負(fù)面 Y方向正面 Z方向負(fù)面 Z方向正面,X方向力平衡 化簡(jiǎn)得,Y方向力平衡 化簡(jiǎn)得,Z方向力平衡 化簡(jiǎn)得,如果這六個(gè)量在某點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀

14、態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。 一般說(shuō)來(lái)，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。 六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣來(lái)表示：,幾何方程,工程應(yīng)變,寫成矩陣形式為,幾何方程可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。反過(guò)來(lái)，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不完全確定；這是因?yàn)?，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，試命：,式中的u0, v0, w0, x, y, z是積分常數(shù)。,u0彈性體沿x方向的剛體移動(dòng) v0 彈性體沿y方向的剛體移動(dòng) w0 彈性體沿z方向的剛體移動(dòng) x 彈性體

15、繞x軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng) y 彈性體繞y軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng) z 彈性體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng),為了完全確定彈性體的位移，必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來(lái)確定這六個(gè)剛體位移。,變形協(xié)調(diào)條件,當(dāng)6個(gè)應(yīng)變分量滿足以上應(yīng)變協(xié)調(diào)方程時(shí)，就能保證得到單值連續(xù)的位移函數(shù)。,當(dāng)沿x軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均勻分布的正應(yīng)力時(shí)，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會(huì)引起角度的任何改變，而其在x方向的單位伸長(zhǎng)則可表以方程 彈性體在x方向的伸長(zhǎng)還伴隨有側(cè)向收縮，即在y和z方向的單位縮短可表示為： 方程既可用于簡(jiǎn)單拉伸，也可用于簡(jiǎn)單壓縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情況下的彈性模量和波桑系數(shù)相同。,應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系-虎克定律,物理方程,設(shè)

16、圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量可用前面兩式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個(gè)應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加，就得到合成應(yīng)變的分量。 單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù)E及所確定。兩個(gè)常數(shù)也可用來(lái)確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。,如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即得到：,正應(yīng)變與剪應(yīng)變是各自獨(dú)立的。因此，由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變，可用疊加法求得；即將六個(gè)關(guān)系式寫在一起，得彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律。,寫成矩陣形式為,邊界條件,XN,YN,ZN分別

17、為作用在某一任意平面上的沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量。對(duì)于已知應(yīng)力邊界條件的情況，相應(yīng)的應(yīng)力邊界條件為,二維問(wèn)題： 2個(gè)位移分量，3個(gè)應(yīng)力分量，3個(gè)應(yīng)變分量 2個(gè)平衡方程，3個(gè)幾何方程，3個(gè)物理方程 三維問(wèn)題： 3個(gè)位移分量，6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量 3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程 我們得到的變量和方程都是從任意變形體中所取出來(lái)的微單元體來(lái)建立的，因此無(wú)論對(duì)象的幾何形狀和邊界條件如何不同，其基本變量和基本方程是完全相同，不同之處在于邊界條件，所以求解的難度是如何處理邊界條件（幾何形狀）。,2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,能量分類 1）施加外力在可能位移上所作的功(即外力在彈性變形過(guò)程中所做的

18、功)。 2）變形體由于變形而存儲(chǔ)的能量(即由于變形而儲(chǔ)存于彈性體內(nèi)的能量)。,主要是研究泛函及其極值的求解方法 泛函 ：就是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù) ，簡(jiǎn)單地講 ， 泛函就是函數(shù)的函數(shù)。 彈性力學(xué)變分法中所研究的泛函 ， 就是彈性體的能量 ， 如形變勢(shì)能、外力勢(shì)能等。因此 ， 彈性力學(xué)中的變分法又稱為能量法。 取位移為基本未知函數(shù),2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,2.5.1外力功 施加外力在可能位移上所作的功，外力有兩種，包括作用在物體上的面力和體力，這些力被假設(shè)為與變形無(wú)關(guān)的不變力系（保守力），則外力功包括這兩部分力在可能位移上所作的功。,2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,2.5.2應(yīng)變能 以位移（或

19、應(yīng)變）為基本變量所表達(dá)的變形能叫做應(yīng)變能（strain energy）。它也包括兩部分 1）對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能 2）對(duì)應(yīng)于剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的應(yīng)變能,2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,1.單向拉伸桿,外力做功,彈性體應(yīng)變能,單位體積應(yīng)變能應(yīng)變能密度,靜加載是線性的，沒有動(dòng)能與熱能的變化,2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能，另外兩個(gè)方向上的計(jì)算類似。,對(duì)應(yīng)于剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的應(yīng)變能（其它兩個(gè)剪應(yīng)力類似）,2.受均勻剪應(yīng)力時(shí),應(yīng)變能密度,3.受復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),最終彈性應(yīng)變能與變形過(guò)程無(wú)關(guān)，只取決于變形的最終狀態(tài)。,2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,在平面問(wèn)題中, 。 在平面應(yīng)力問(wèn)題中還

20、有 ; 在平面應(yīng)變問(wèn)題中 , 還有 。因此, 在兩種平面問(wèn)題中, 彈性體的形變勢(shì)能密度的表達(dá)式都簡(jiǎn)化為,應(yīng)變能密度,2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,在一般的平面問(wèn)題中, 彈性體各部分的受力并非均勻, 各個(gè)應(yīng)力分量和形變分量都是坐標(biāo) x 和 y 的函數(shù), 因而形變勢(shì)能密度U l 一般也是坐標(biāo) x 和 y 的函數(shù)。 為了得出整個(gè)彈性體具有的形變勢(shì)能 U, 必須將形變勢(shì)能密度 u 在整個(gè)彈性體內(nèi)積分。和以前一樣, 為了簡(jiǎn)便, 在 z 方向取一個(gè)單位長(zhǎng)度。這樣就得到( 在平面區(qū)域 A 內(nèi) ),2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,空間問(wèn)題的能力密度,考慮初始應(yīng)力及應(yīng)變,從而得系統(tǒng)勢(shì)能,*

21、負(fù)號(hào)表示外力勢(shì)能為負(fù)值,圖表示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)寫力矩平衡方程： 圖表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖： 綜合可得： 即： 上式是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。,2.5彈性問(wèn)題中的能量表示,虛功原理,進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和 這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力

22、在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。 在圖a中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位?，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢姡@個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來(lái)說(shuō)就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,虛功原理應(yīng)用范圍,必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來(lái)講，它必須是在位移過(guò)程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來(lái)講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束

23、力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖中的反力 由于支點(diǎn)C沒有位移，故 所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖中的 和 是在位移過(guò)程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。,虛功原理與虛功方程,虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對(duì)于零。 虛功原理用公式表示為： 這就是虛功方程，其中P和 相應(yīng)的代表力和虛位移。,虛功原理-用于彈性體的情況,虛功方程是按剛體的情況得出的，

24、即假設(shè)圖的杠桿是絕對(duì)剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即： W = T - U ；內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過(guò)程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - U = 0 外力虛功 T = 內(nèi)力虛功 U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。,虛功原理-用于彈性體的情況

25、,虛應(yīng)變能,虛應(yīng)變分量,外力虛功,內(nèi)力虛功即應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的的虛功，也稱虛應(yīng)變能,外力虛功即作用于彈性體上的外力在虛位移上做的功,由于虛位移是微小的，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生過(guò)程中外力保持 為常量，則上式的變分符號(hào)可提到積分號(hào)外。,最小勢(shì)能原理,在有限元的理論中，最小勢(shì)能原理是在所有滿足給定邊界條件的位移時(shí)，滿足平衡微分方程的位移使得勢(shì)能取得最小值。,最小勢(shì)能原理就是說(shuō)當(dāng)一個(gè)體系的勢(shì)能最小時(shí)，系統(tǒng)會(huì)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。或者說(shuō)在所有幾何可能位移中，真實(shí)位移使得總勢(shì)能取最小值,最小勢(shì)能原理： 表明在滿足位移邊界條件的所有可能位移中，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體的勢(shì)能最小。即對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，實(shí)際發(fā)生的位移使彈

26、性體總勢(shì)能取極小值。顯然，最小勢(shì)能原理與虛功原理完全等價(jià)。,虛功原理的矩陣表示,i點(diǎn)外力分量 j點(diǎn)外力分量 外力分量用 表示；引起的應(yīng)力分量用 表示,虛功原理的矩陣表示,假設(shè)發(fā)生了虛位移 虛位移分量為 用 表示；引起的虛應(yīng)變分量用 表示,虛功原理的矩陣表示,在虛位移發(fā)生時(shí)，外力在虛位移上的虛功是： 式中 是 的轉(zhuǎn)置矩陣。 同樣，在虛位移發(fā)生時(shí)，在彈性體單位體積內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是： 因此，在整個(gè)彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是： 根據(jù)虛功原理得到： 這就是彈性變形體的虛功方程，它通過(guò)虛位移和虛應(yīng)變表明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系。這是以后推導(dǎo)有限元方程的基礎(chǔ)。,2.6應(yīng)用實(shí)例,1. 離散化,2.

27、 位移函數(shù),2. 位移函數(shù),A, l,i,j,（單元內(nèi)位移線性分布）,2.6應(yīng)用實(shí)例,77,3. 單元?jiǎng)偠染仃嚪匠?A 虛功原理,外力虛功,虛應(yīng)變能,應(yīng)變,應(yīng)力,2.6應(yīng)用實(shí)例,單元?jiǎng)偠染仃?單元的剛度方程,單元?jiǎng)偠染仃?Element,Element,2.6應(yīng)用實(shí)例,79,B 最小勢(shì)能定理,外力虛功,虛應(yīng)變能,2.6應(yīng)用實(shí)例,由勢(shì)能變分原理（勢(shì)能最小原理）得,勢(shì)能變分，整理得平衡方程,2.6應(yīng)用實(shí)例,4 整體分析 整體分析就是建立整個(gè)離散結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(diǎn)位移與外力之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)未知節(jié)點(diǎn)位移的求解,1）整體平衡方程,整體剛度方程可基于勢(shì)能變分原理建立，也可根據(jù)節(jié)點(diǎn)的靜力平衡來(lái)實(shí)現(xiàn)（即每個(gè)節(jié)點(diǎn)靜力

28、平衡）。,節(jié)點(diǎn)i的平衡為,三個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)自由度，即,（A）擴(kuò)充單元?jiǎng)偠确匠谭?2.6應(yīng)用實(shí)例,整體剛度方程,2.6應(yīng)用實(shí)例,（B）“對(duì)號(hào)入座”法 （方便編程）,2.6應(yīng)用實(shí)例,5. 引入邊界條件求解,邊界條件,支反力,2.6應(yīng)用實(shí)例,結(jié)構(gòu)離散 單元分析 整體分析,2.7基本步驟為三大步驟,1、結(jié)構(gòu)離散:就是用假想的線或面將連續(xù)物體分割成有限個(gè)單元組成的集合體且單元之間僅在節(jié)點(diǎn)處連接，單元之間的作用僅由節(jié)點(diǎn)傳遞。（基本要求） 注意的問(wèn)題 單元：滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域 節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元間的連接點(diǎn) 節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元間通過(guò)節(jié)點(diǎn)的相互作用力 節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載,2.7基本步驟為

29、三大步驟,2單元分析:1），選擇插值（位移）函數(shù)；2），構(gòu)造位移函數(shù)。 插值函數(shù)：用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場(chǎng)）的近似函數(shù)。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點(diǎn)物理量值插值構(gòu)成，故稱為插值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則該函數(shù)稱為位移函數(shù)。 選擇位移函數(shù)的一般原則 位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）； 所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。,2.7基本步驟為三大步驟,位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式形式，在單元內(nèi)選適當(dāng)階次的多項(xiàng)式可得到與真實(shí)解接近的近似解,構(gòu)造位移函數(shù)：如平面問(wèn)題位移函數(shù)的一般形式為 1.多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)越多，則逼近真實(shí)位移的精度越高，項(xiàng)數(shù)的多少由單元的自由度數(shù)

30、決定。 2多項(xiàng)式選取應(yīng)由低階到高階，盡量選擇完全多項(xiàng)式以提高單元精度。 3.選取多項(xiàng)式時(shí)，還應(yīng)使所選取的多項(xiàng)式具有坐標(biāo)的對(duì)稱性，即按Pascal（帕斯卡）三角形來(lái)選擇,2.7基本步驟為三大步驟,位移函數(shù)構(gòu)造方法： 1.廣義坐標(biāo)法： 2插值函數(shù)法：即將位移函數(shù)表示為各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與已知插值基函數(shù)積的和,2.7基本步驟為三大步驟,3）單元特性分析：?jiǎn)卧匦苑治龅幕救蝿?wù)就是建立單元的平衡方程，也稱為剛度方程。在選擇了單元類型和相應(yīng)的位移函數(shù)后，即可按彈性力學(xué)的幾何方程、物理方程導(dǎo)出單元應(yīng)變與應(yīng)力的表達(dá)式，最后利用虛位移原理或最小勢(shì)能原理或直接法或加權(quán)殘值法建立單元的平衡方程，即單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移間

31、的關(guān)系。,2.7基本步驟為三大步驟,2.7基本步驟為三大步驟,2.7基本步驟為三大步驟,3. 整體分析,整體分析的基本任務(wù)包括建立整體平衡方程，引入邊界條件，完成整體方程求解。,整體平衡方程的建立有多種方法，可基于能量原理（勢(shì)能變分或虛位移原理）推導(dǎo)，也可基于節(jié)點(diǎn)力平衡得到。,在引入邊界條件之前，整體平衡方程是奇異的，這意味著整體方程是不可解的。,方程求解包括邊界條件引入和數(shù)值計(jì)算，一旦利用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求出未知的節(jié)點(diǎn)位移，則可按前述的應(yīng)力應(yīng)變公式計(jì)算出各個(gè)單元的應(yīng)變、應(yīng)力等物理量,剛度由使其產(chǎn)生單位變形所需的外力值來(lái)量度，剛度是指零件在載荷作用下抵抗彈性變形的能力。 單元的剛度矩陣：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠?/p>

32、矩陣反應(yīng)的是單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系； 總剛度矩陣反應(yīng)的是整體的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系；剛度矩陣將總體坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移與整個(gè)結(jié)構(gòu)的總體力聯(lián)系在一起。,補(bǔ)充實(shí)例（剛度矩陣的理解）,單元?jiǎng)偠染仃囆袛?shù)等于位移向量的分量個(gè)數(shù)，列數(shù)等于為位移的列向量的分量個(gè)數(shù)，由于兩者相等所以單剛是個(gè)方陣。 結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣即結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣，每1個(gè)元素的物理意義就是當(dāng)其所在列對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移分量等于單位位移（其余結(jié)點(diǎn)位移分量為0）時(shí)，其所在行對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力的數(shù)值。 表示由于第j個(gè)自由度的單位位移dj在第i個(gè)自由度需要的力,補(bǔ)充實(shí)例（剛度矩陣的理解）,3.2.5 單元的剛度矩陣的性質(zhì) a. 單元?jiǎng)偠染仃噧H與單元的

33、幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、單元長(zhǎng)度l、單元的彈性模量E有關(guān)。 b. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱陣。在單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)角線兩側(cè)對(duì)稱位置上的兩個(gè)元素?cái)?shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。 c. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)奇異陣。 d. 單元?jiǎng)偠染仃嚳梢苑謮K矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。,整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對(duì)角線上的子塊 ，稱為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結(jié)點(diǎn)i的各相關(guān)單元的主子塊擴(kuò)展之后疊加求得，即 b. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為單元e的相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為該單元e相應(yīng)的副子塊，即 。 c. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為零子塊

34、，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有關(guān)。 e. 為對(duì)稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因?yàn)榻⒄w剛度矩陣時(shí)沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。,g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域的寬度與結(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)，非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖a。在包括對(duì)角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個(gè)數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。 最大半帶寬等于相鄰結(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值加 1 與結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)的乘積，結(jié)點(diǎn)號(hào)差越大半帶寬也就越大。計(jì)算機(jī)以半帶寬方式存儲(chǔ)，見圖b。半帶寬越窄，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運(yùn)算次數(shù)。其效果對(duì)大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。 圖 整體剛度矩陣存儲(chǔ)方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點(diǎn)位移求出，進(jìn)而求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場(chǎng)。,(a) 帶狀分布規(guī)律,(b) 帶狀存儲(chǔ),約束處理及求解,約束處理的必要性 建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 時(shí)，并未考慮支承條件（約束），也就是說(shuō)，將原始結(jié)構(gòu)處理成一個(gè)自由懸空的、存在