第八章-復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)(改)

1、.,第八章 復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ),.,8-1 引言,復(fù)合材料至少由兩種材料構(gòu)成，微觀性質(zhì)是不均勻的。,宏觀性能與微觀結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系？,.,平均值，等效性質(zhì)均勻材料,復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)就是在研究如何用一個(gè)均勻材料的響應(yīng)來代替非均勻復(fù)合材料的平均響應(yīng)。,前幾章中復(fù)合材料“模量”和“強(qiáng)度”的含義是什么？,.,復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)分析涉及兩個(gè)尺度：,宏觀的，平均意義的量,微觀的，涉及組分屬性和微結(jié)構(gòu)分布,模量、強(qiáng)度,組分的含量、形狀、結(jié)合狀態(tài)等,細(xì)觀力學(xué)建立二者之間的關(guān)聯(lián),.,8-2 有效模量理論,一、有效模量理論,1、宏觀均勻、代表性體積單元,復(fù)合材料中的增強(qiáng)體的幾何分布可以是規(guī)則的（如圖），也可以是不規(guī)則

2、的。,.,總體來看，復(fù)合材料是宏觀均勻的，因此研究其某些性能時(shí)，只須取其一代表性體積單元（representative volume element）來研究即可代表總體，見圖。,RVE的要求：,1、RVE的尺寸整體尺寸，則宏觀可看成一點(diǎn)；,2、RVE的尺寸纖維直徑；,3、RVE的纖維體積分?jǐn)?shù)=復(fù)合材料的纖維體積分?jǐn)?shù)。,.,纖維體積分?jǐn)?shù)：,纖維總體積；,復(fù)合材料體積,注意： 只有當(dāng)所討論問題的最小尺寸遠(yuǎn)大于代表性體積單元時(shí)，復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變等才有意義。,.,二、復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變及有效模量,（復(fù)合材料） （均勻等效體）,.,按體積平均，定義復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)椋?平均應(yīng)力,平均應(yīng)變,則等效

3、體的本構(gòu)方程（即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）為：,.,三、有效模量理論,1、邊界條件：（不能隨意?。?均勻應(yīng)變邊界條件：,均勻應(yīng)力邊界條件：,2、可證明的兩個(gè)特性：,在給定均勻應(yīng)變邊界下，有：,在給定均勻應(yīng)力邊界下，有：,證明可見復(fù)合材料力學(xué)（周履等）P223。,.,3、有效模量理論,1）給定均勻應(yīng)變邊界條件,而,其應(yīng)變能為：,.,此時(shí)，復(fù)合材料的應(yīng)變能也為：,2）給定均勻應(yīng)力邊界條件,而,.,3）有效模量的嚴(yán)格理論解,只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效彈性模量一致，并可由RVE的解向鄰近單元連續(xù)拓展到整體時(shí)，所得的有效彈性模量才是嚴(yán)格的理論解。,則只有滿足上述條件的復(fù)合材料的宏觀彈性模量才能通過體積平

4、均應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行計(jì)算；或按應(yīng)變能計(jì)算。,.,一、長纖維復(fù)合材料,8-3 有效模量的材料力學(xué)半經(jīng)驗(yàn)解法,（一）縱向有效模量,采用平面假設(shè)，在P力作用下，對RVE有：,（下標(biāo)f、m表示纖維和基體）,.,所以有,而,利用,稱為縱向有效模量的混合律。,.,（二）縱向泊松比,RVE的縱向應(yīng)變關(guān)系式：,（三）縱橫（面內(nèi)）剪切模量,在剪應(yīng)力作用下，RVE的剪應(yīng)變有如下關(guān)系：,.,（倒數(shù)混合律）,（四）橫向有效模量,設(shè),而由平均值關(guān)系有：,.,（倒數(shù)混合律）,（五）Halpin-Tsai方程,單向纖維增強(qiáng)的單層的五個(gè)有效模量分別由下式計(jì)算：,.,其中：,：纖維增強(qiáng)效果的一種度量參數(shù)，依賴于 相幾何和載荷條件。

5、,*,.,另外，*式還可以用于沿直線排列的短纖維增強(qiáng)單層的縱向和橫向有效模量的計(jì)算：,計(jì)算E1時(shí)，?。?計(jì)算E2時(shí)，?。?.,二、短纖維復(fù)合材料,（一）單向短纖維復(fù)合材料,1、修正復(fù)合法則（修正混合定律）,.,.,2、Halpin-Tsai方程,此時(shí)，對L取：,對T?。?.,（二）隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料,1、修正混合律：,2、基于halpin-Tsai的經(jīng)驗(yàn)公式：,.,8-4 有效模量的其他力學(xué)模型解,一、復(fù)合圓柱模型,.,.,可在復(fù)合圓柱模型上施加不同的均勻應(yīng)力邊界條件，利用彈性力學(xué)方法進(jìn)行求解而得到有效模量，結(jié)果為：,1、,2、,3、,（平面應(yīng)變體積模量）,.,4、,具體見復(fù)合材料力學(xué)（周

6、履等）P250-256！,.,二、Eshelby夾雜模型,1、Eshelby等效夾雜理論,同質(zhì)等效夾雜,：特征應(yīng)變,設(shè)整個(gè)系統(tǒng)在無窮遠(yuǎn)邊界處受均勻應(yīng)力邊界條件，如沒有夾雜，則D內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)?.,而實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變場還應(yīng)該加上由夾雜引起的擾動(dòng)應(yīng)力和擾動(dòng)應(yīng)變，即：,則夾雜中的應(yīng)力場可表示為,.,由Eshelby的研究得出擾動(dòng)應(yīng)變和特征應(yīng)變的關(guān)系為：,其中四階張量Sijkl稱為Eshelby張量，僅與基體的材料性能和夾雜物的形狀和尺寸有關(guān)。如果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力場是均勻的。關(guān)鍵在于如何求得特征應(yīng)變的值。利用等效夾雜理論有：,（*）,將（*）代入該式則可求得特征應(yīng)變，進(jìn)而求得夾雜

7、內(nèi)外的彈性場。,.,2、單向短纖維復(fù)合材料的彈性性能預(yù)測,設(shè)沿1方向作用均勻應(yīng)力,因?yàn)椴牧蟽?nèi)部有：,表示平均值。,.,由Eshelby夾雜理論可得：,.,為基體材料的彈性張量；,為夾雜的彈性張量。,由此可得：,.,2、斜向纖維情況：,（方法同前）,然后利用坐標(biāo)變換求得,（為角的函數(shù)）,求有效模量，注意此時(shí)的模量為角的函數(shù)。,.,3、隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料：,對不同的角，按前述方法求得其,然后對其求對于得平均值：,在,作用下可求得,和,，進(jìn)而求得,和,。最后可得：,注意：上述計(jì)算均未計(jì)及纖維之間的互相作用。,.,由前面的分析可知,三、數(shù)值計(jì)算方法（有限元法）,；而,該積分的值可由FEM進(jìn)行數(shù)值計(jì)

8、算，即有：,p為離散的單元號，n為單元總數(shù)。,.,對復(fù)合材料有效性能的計(jì)算均需要建立一定的體積代表性單元，如：,單向短纖維復(fù)合材料的理想化模型,.,三維代表性體積單元,所有的計(jì)算都是基于上述代表性體積單元。對隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料的處理方法與前一致。,.,不同的方法得到的結(jié)果不同，見下表。,.,8-5 復(fù)合材料強(qiáng)度的細(xì)觀力學(xué)分析,8-5-1 長纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度材料力學(xué)分析,、縱向拉伸強(qiáng)度X,.,（*）,.,由圖c可見：,復(fù)合材料強(qiáng)度由基體控制,復(fù)合材料強(qiáng)度由纖維控制,3、當(dāng),時(shí)，,說明復(fù)合材料強(qiáng)度低于基體本身強(qiáng)度，纖維未增強(qiáng)。,.,說明復(fù)合材料強(qiáng)度高于基體本身強(qiáng)度，纖維增強(qiáng)。,復(fù)合材料的強(qiáng)度

9、總由纖維控制。,.,二、縱向壓縮強(qiáng)度,壓縮時(shí)可能的破壞形式：,因纖維屈曲而導(dǎo)致破壞；,因橫向界面拉裂而破壞；,基體和/或纖維剪切破壞；,纖維與基體壓壞；,纖維彎壞等等；,下面只介紹根據(jù)纖維屈曲理論得到的結(jié)果：,兩種模型：,a）橫向型（拉壓型）：“異向”屈 曲，基體橫向受拉壓作用；,.,b）剪切型：“同相”屈曲，基體受剪切作用。,（1）橫向型,可求得：,其中：l為纖維長度，h為纖維直徑，2c為纖維間距，m為屈曲時(shí)的半波數(shù)目。 由于m為一很大的數(shù)，可對上式進(jìn)行連續(xù)函數(shù)求解最小值，可得：,.,最后有：,.,（2）剪切型：,同理可得：,.,三、橫向拉伸強(qiáng)度,理論計(jì)算可得：,.,四、橫向壓縮強(qiáng)度,其破壞

10、原因?yàn)榛w剪切破壞，經(jīng)驗(yàn)公式為：,五、面內(nèi)剪切強(qiáng)度,.,8-5-2短纖維復(fù)合材料強(qiáng)度的細(xì)觀力學(xué)分析,一、單向短纖維復(fù)合材料,一般采用修正混合律公式進(jìn)行研究。,對長纖維復(fù)合材料應(yīng)力有：,對短纖維復(fù)合材料，由于必須計(jì)及纖維端部效應(yīng)，所以上式應(yīng)寫為：,其中,（需要知道纖維中的應(yīng)力分布）,.,由COX提出的剪切滯后理論，通過圖b的平衡有：,則,則纖維的應(yīng)力,沿z方向是,線性分布的,.,將能達(dá)到最大纖維應(yīng)力的最小纖維長度定義為 載荷傳遞長度,（d ：纖維直徑）,上式中,短纖維最大纖維應(yīng)力發(fā)生在纖維長度中點(diǎn)處,.,.,則,（臨界載荷傳遞長度）,臨界載荷傳遞長度是載荷傳遞長度的最大值。,.,又因?yàn)?.,此即

11、為長纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度公式。,.,其中,.,二、隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度模型,1、纖維長度隨機(jī)分布的單向短纖維復(fù)合材料,.,2、纖維位向隨機(jī)分布的短纖維復(fù)合材料,1）修正混合律：,.,2）統(tǒng)計(jì)積分法,由Tsai-Hill判據(jù)可得單向短纖維復(fù)合材料的偏軸拉伸強(qiáng)度為：,.,為橫向拉伸強(qiáng)度，等于,為剪切破壞強(qiáng)度，等于,.,即：,8-6 單層板熱、濕脹系數(shù)的預(yù)測,1、平衡方程：,.,2、幾何方程：,（平面假設(shè)）,3、物理方程：,對單層板：,對纖維：,對基體：,由上面各式可得：,.,則,.,為纖維與基體橫向應(yīng)變,二、橫向熱膨脹系數(shù)2的確定,由前圖有：,從細(xì)觀上看：,則有：,而：,可由前節(jié)所得。,.,進(jìn)而可得：,又因?yàn)?所以有：,.,三、縱向濕膨脹系數(shù)1的確定,由于濕度效應(yīng)與溫度效應(yīng)在宏觀上是類似的，故可以仿照1