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1、第二章答案1. 計(jì)算下列函數(shù)關(guān)于的:注:, 解:(1) (2) (3)(4) 2. 令,試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式,并求。解:是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。3. 是區(qū)間上帶權(quán)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式族,其中,求。 解法一: 解法二:設(shè),則由4. 求,使積分取得最小值。解:題意即為在中求的最佳平方逼近多項(xiàng)式,故滿足法方程或者按下述方法:因?yàn)樯鲜椒謩e對(duì)求偏導(dǎo),并令其為零,有從而也有 ,5. 對(duì),定義 問它們是否構(gòu)成內(nèi)積?(1)推出,即為常數(shù),但不一定為0,故(1)不構(gòu)成內(nèi)積。(2)顯然內(nèi)積公理的1),2),3)均滿足,考察第四條 若,則必有反之,若,則且,由此可推得, 即內(nèi)積公理第四條滿足,故(2
2、)構(gòu)成內(nèi)積。6. 對(duì)權(quán)函數(shù),區(qū)間,試求首項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式。解: 7. 利用正交化方法求上帶權(quán)的前三個(gè)正交多項(xiàng)式。解:8. 判斷函數(shù)在上兩兩正交,并求一個(gè)三次多項(xiàng)式,使其在上與上述函數(shù)兩兩正交。解:(1), , 所以,在上兩兩正交。(2)設(shè)所求多項(xiàng)式為 9. 用最小二乘原理求矛盾方程組的最小二乘解。注:給定線性代數(shù)方程組,當(dāng)時(shí),稱其為超定方程組。求使得 取最小值。應(yīng)用微分學(xué)中多元函數(shù)求極值的方法可以證明為方程組 的解。稱為超定方程組的最小二乘解。解法一:由題意得:所以即是所求的最小二乘解。誤差平方和為 解法二:求,使誤差平方和為最小,令得方程組如下: 解方程組有: 10. 用最小二乘法求一
3、個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使它與下列數(shù)據(jù)相擬合,并估計(jì)平方誤差。 192531384419.032.349.073.397.8解:將=19,25,31,38,44分別代入,得 所以誤差11. 求形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合。123456781532052743664916568781176解:設(shè),兩邊取對(duì)數(shù)得令,則有 設(shè),于是得到正規(guī)方程組:其中, , 正規(guī)方程組化為:得=2.43689 =0.291211=2.43689所以=11.45 =0.291211=2.43689所以=11.45 1=0.29121112. 求函數(shù)在給定區(qū)間上對(duì)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式: 解:設(shè)(1)(2) 。 13. 上求關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式。解:Legendre是-1,1上的正交多項(xiàng)式 不懂取,=14. 求在上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解:15. 已知勒讓德多項(xiàng)式,試在二次多項(xiàng)式類中求一多項(xiàng)式,使其成為上的最佳平方逼近函數(shù)
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