保角變換法求解定解問題.ppt

1、第十六章 保角變換法求解定解問題,在許多物理問題中（如電學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、流體力學(xué)和彈性力學(xué)等）經(jīng)常會遇到解平面場的拉普拉斯方程或泊松方程的問題盡管可用前幾章的理論方法如：分離變量法或格林函數(shù)法等來解決，但當(dāng)邊值問題中的邊界形狀變得十分復(fù)雜時(shí)，分離變量法和格林函數(shù)法卻顯得十分困難，甚至不能解決對于復(fù)雜的邊界形狀，拉普拉斯方程定解問題常采用保角變換法求解,保角變換法解定解問題的基本思想是：通過解析函數(shù)的變換（或映射，這部分知識在復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)學(xué)習(xí)過）將,平面上具有復(fù)雜邊界形狀的邊值問題變換為,平面上具有簡單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的 邊值問題，而后一問題的解易于求得于是再通過逆變換 就

2、求得了原始定解問題的解,這就是本章將要介紹的一種解決數(shù)學(xué)物理方程定解 問題中的解析法保角變換法，它是解決這類復(fù)雜邊 界的最有效方法它特別適合于分析平面場的問題， 例如靜電場的問題，由于這種求解復(fù)雜邊界的定解問 題具有較大的實(shí)用價(jià)值，所以有必要單獨(dú)以一章的內(nèi) 容進(jìn)行介紹復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)系統(tǒng)介紹了保角變換 理論，本章主要介紹利用保角變換法求解定解問 題。,16.1 保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關(guān)系,在復(fù)變函數(shù)論中我們已經(jīng)知道，由解析函數(shù),實(shí)現(xiàn)的從z平面到,平面的變換在,的點(diǎn)具有保,角性質(zhì)，因此這種變換稱為保角變換下面我們主要討論一一 對應(yīng)的保角變換，即假定,和它的反函數(shù)都是單值,函數(shù)；或者如果

3、它們之中有多值函數(shù)就規(guī)定取它的黎曼面的一 葉,定律16.1.1 如果將由,到,的保角變換看成為二元（實(shí)變）函數(shù),的變換由,到,的變量代換，則,平面上的邊界變成了,平面上的邊界我們能證明，如果,程，則經(jīng)過保角變換后得到的,滿足拉普拉斯方,也滿足拉普拉斯方程,【證明】 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有,(16.1.1),同理,(16.1.2),兩式相加得到,（16.1.3）,利用解析函數(shù),的C-R條件,(16.1.4),以及解析函數(shù)的實(shí)部和虛部分別滿足拉普拉斯方程的性質(zhì),(16.1.5),將式（16.1.4）和式（16.1.5）代入到式（16.1.3）化簡后得到,注意到上式已經(jīng)使用了：,對于保角變換,因而只

4、要,滿足拉普拉斯方程，則,）也滿足拉,普拉斯方程，即為,（16.1.6）,這樣我們就有結(jié)論：如果在,平面上給定了,的拉普拉斯方程邊值問題，,則利用保角變換,，可以將它轉(zhuǎn)化為,平面上,的拉普拉斯方程邊值問題,同理可以證明，在單葉解析函數(shù),變換下，泊松方程,(16.1.7a),仍然變?yōu)椴此煞匠?（16.1.7b）,由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度 發(fā)生了變化,同理可以證明，亥姆霍茲方程,(16.1.8a),經(jīng)變換后仍然變?yōu)楹ツ坊羝澐匠?(16.1.8b),容易注意到方程要比原先復(fù)雜，且,前的系數(shù)可,能不是常系數(shù),下面將舉例說明如何通過保角變換法來求解拉普拉斯方程,保角變換法的優(yōu)點(diǎn)不僅

5、在于拉普拉斯方程、泊松方程 等方程的類型在保角變換下保持不變，更重要的是，能將 復(fù)雜邊界問題變?yōu)楹唵芜吔鐔栴}，從而使問題得到解決,16.2保角變換法求解定解問題典型實(shí)例,例16.2.1 設(shè)有半無限平板,，在邊界,=0上，,處保持溫度,處保持溫度,= 0求平板上的穩(wěn)定溫度分布,【解】根據(jù)題意可得出定解問題,（16.2.1）,作如下的保角變換 （1）作分式線性變換,(16.2.2),可以驗(yàn)證，考慮實(shí)軸,的對應(yīng)關(guān)系：,圖16.1,(i)若,，則,，故,，即有,(ii)若,則,或,（a）首先討論,的情況,考慮到題給條件,則,故,（b）再考慮,的情況, 則,故,如圖16.1所示，,根據(jù)(16.2.1)式

6、中的邊界條件，對應(yīng)于,處溫度為,，故,平面的負(fù)實(shí)軸（即,）,溫度保持為,；而在,處有,，故,平面的正實(shí)軸溫度保持為零,（2）作變換,(16.2.3),把,平面的上半平面變成,平面上平行于實(shí)軸，寬為,的一個帶形區(qū)域，,平面的正實(shí)軸變換為,平面的實(shí)軸（正實(shí)軸輻角為零，故對應(yīng)于,），,平面的負(fù)實(shí)軸變換為,平面的平行于實(shí)軸的直線,故對應(yīng)于,）,（負(fù)實(shí)軸輻角為,于是，在變換,(16.2.4),之下，定解問題變換為,(16.2.5),在這種情況下，等溫線是與實(shí)軸,平行的直線,=常數(shù)，熱流線則是與虛軸平行的直線,=常數(shù)在(,)坐標(biāo)系中，由對稱性知拉普拉斯方程的解與,無關(guān)，因此，定解問題又簡化為,（16.2.

7、6）,方程的解是,考慮邊界條件即得到,（16.2.7）,回到,平面，則,例16.2.2 試求平面靜電場的電勢分布,，其中,（16.2.8）,(16.2.9),【解】,變換,使上半,平面變成,平面上的帶形域（圖16.2）,然的，類似于上面定解問題(16.2.6)的結(jié)果(16.2.7),則本 定解問題可歸結(jié)為,而在帶形域上的解是顯,(16.2.10),圖,而,所以,于是，作反變換便可求得所求問題的解為,進(jìn)一步討論： （1）同理可證,是下列定解問題的解,（說明：這里的,和下面的,不代表求導(dǎo)，是指彼此,不同的值）,(2) 同理可證,是下列定解問題的解,(3)可證,是下列定解問題的解：,其中,又可改寫成,（4）進(jìn)一步推廣,是下列定解問題的解,例 16.2.3 若把柱面充電到,試用保角變換法求解一半徑為,的無限長導(dǎo)體圓柱殼,內(nèi)的電場分布情況,【解】即求解定解問題,作如下的保角變換 (1) 作變換,把原圖象縮小為,倍即將任意的圓周變換為單位圓,(2)再作變換,把,變換為,，其邊界的變換是將下,半圓周對應(yīng)于負(fù)半實(shí)軸，上半圓周對應(yīng)于正半實(shí)軸,圖,（3）再作變換,把,平面的上半平面變成,平面上平行于實(shí)軸，寬為,的一個帶形區(qū)域，其邊界的,變換是將,平面的正半實(shí)軸變換為,平面的實(shí)軸，,平面的負(fù)半實(shí)軸變換為,平面的平行于實(shí)軸的直線,，如圖16.3,所以，在變換,之下，定解問題變