高一數學不等式解法經典例題

1、典型例題一例1 解不等式：（1）；（2）分析：如果多項式可分解為個一次式的積，則一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況解：（1）原不等式可化為把方程的三個根順次標上數軸然后從右上開始畫線順次經過三個根，其解集如下圖的陰影部分原不等式解集為（2）原不等式等價于原不等式解集為說明：用“穿根法”解不等式時應注意：各一次項中的系數必為正；對于偶次或奇次重根可轉化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下圖典型例題二例2 解下列分式不等式：（1）； （2）分析：當分式不等式化為時，要注意它的等價變形（1）解：原不等式等價于用“穿根法”原不等式解集

2、為。（2）解法一：原不等式等價于 原不等式解集為。解法二：原不等式等價于用“穿根法”原不等式解集為典型例題三例3 解不等式分析：解此題的關鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據絕對值的意義二是根據絕對值的性質：或，因此本題有如下兩種解法解法一：原不等式即或故原不等式的解集為解法二：原不等式等價于 即 典型例題四例4 解不等式分析：這是一個分式不等式，其左邊是兩個關于二次式的商，由商的符號法則，它等價于下列兩個不等式組：或所以，原不等式的解集是上面兩個不等式級的解集的并集也可用數軸標根法求解解法一：原不等式等價下面兩個不等式級的并集：或或或或或原不等式解集是解法二：原不等式化為畫數

3、軸，找因式根，分區(qū)間，定符號符號原不等式解集是說明：解法一要注意求兩個等價不等式組的解集是求每組兩個不等式的交集，再求兩組的解的并集，否則會產生誤解解法二中，“定符號”是關鍵當每個因式的系數為正值時，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負相間；也可以先決定含的區(qū)間符號，其他各區(qū)間正負相間在解題時要正確運用典型例題五例5 解不等式分析：不等式左右兩邊都是含有的代數式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解解：移項整理，將原不等式化為由恒成立，知原不等式等價于解之，得原不等式的解集為說明：此題易出現去分母得的錯誤解法避免誤解的方法是移項使一邊為再解另外，在解題過程中，對出現的二項式要注意其是否有實根

4、，以便分析不等式是否有解，從而使求解過程科學合理典型例題六例6 設，解關于的不等式分析：進行分類討論求解解：當時，因一定成立，故原不等式的解集為當時，原不等式化為；當時，解得；當時，解得當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為說明：解不等式時，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因為當時，原不等式化為，此時不等式的解集為，所以解題時應分與兩種情況來討論在解出的兩根為，后，認為，這也是易出現的錯誤之處這時也應分情況來討論：當時，；當時，典型例題七例7 解關于的不等式分析：先按無理不等式的解法化為兩個不等式組，然后分類討論求解解：原不等式或由，得：由判別式，故不等式的解是當時，不等式

5、組(1)的解是，不等式組(2)的解是當時，不等式組(1)無解，(2)的解是綜上可知，當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是說明：本題分類討論標準“，”是依據“已知及(1)中，(2)中，”確定的解含有參數的不等式是不等式問題中的難點，也是近幾年高考的熱點一般地，分類討論標準（解不等式）大多數情況下依“不等式組中的各不等式的解所對應的區(qū)間的端點”去確定本題易誤把原不等式等價于不等式糾正錯誤的辦法是熟練掌握無理不等式基本類型的解法典型例題八例8 解不等式分析：先去掉絕對值號，再找它的等價組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可解答：去掉絕對值號得，原不等式等價于不等式組原不等式的解集為說明：

6、解含絕對值的不等式，關鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，然后把不等式等價轉化為不等式組，變成求不等式組的解典型例題九例9 解關于的不等式分析：不等式中含有字母，故需分類討論但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論解：原不等式可化為(1)當（即或）時，不等式的解集為：；(2)當（即）時，不等式的解集為：；(3)當（即或1）時，不等式的解集為：說明：對參數進行的討論，是根據解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數加以分類、討論比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，因此不等式的解就是小于小根或大

7、于大根但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，三種情況典型例題十例10 已知不等式的解集是求不等式的解集分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定系數的正負，然后求出方程的兩根即可解之解：(解法1)由題可判斷出，是方程的兩根，又的解集是，說明而，即，即又，的解集為(解法2)由題意可判斷出，是方程的兩根，又的解集是，說明而，對方程兩邊同除以得令，該方程即為，它的兩根為，方程的兩根為，不等式的解集是說明：(1)萬變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項系數的正負，求出相應的方程的根；(2)結合使用韋達定理，本題中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系數，的關系也用，表示出來；(3)注意解

8、法2中用“變換”的方法求方程的根典型例題十二例12 若不等式的解為，求、的值分析：不等式本身比較復雜，要先對不等式進行同解變形，再根據解集列出關于、式子解：，原不等式化為依題意， 說明：解有關一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項系數的符號，結合韋達定理來解典型例題十三例13 不等式的解集為，求與的值分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，的兩根為，解法一：設的兩根為，由韋達定理得：由題意：，此時滿足，解法二：構造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應為同解不等式，故需滿足：，說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關系，同時還考查逆向思維的能力

9、對有關字母抽象問題，同學往往掌握得不好典型例題十四例14 解關于的不等式分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因為含有字母系數，所以還考查分類思想解：分以下情況討論(1)當時，原不等式變?yōu)椋海?2)當時，原不等式變?yōu)椋寒敃r，式變?yōu)椋坏仁降慕鉃榛虍敃r，式變?yōu)?，當時，此時的解為當時，此時的解為說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關鍵是要找到分類的標準，就本題來說有三級分類：分類應做到使所給參數的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項系數變?yōu)檎龜翟偾蠼獾湫屠}十五例15 解不等式分析：無理不等式轉化為有理不等式，要注意平方的條件和根