《數(shù)學物理方法》第5章 解析延拓多值函數(shù)及其黎曼面

1、第5章 解析延拓 多值函數(shù)及其黎曼面,解析延拓是研究怎樣擴大解析函數(shù)定義域的問題。 引入黎曼面，把多值函數(shù)看作黎曼面上的單值解析函數(shù)，從而把單值解析函數(shù)的理論移植過來。,2,第1章曾把定義在實軸上的實函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等）通過將x改為z的替換，擴大成為復(fù)平面上的解析函數(shù)本章討論將一般的解析函數(shù)進行解析延拓的方法，并在此基礎(chǔ)上介紹G函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。 多值函數(shù)及其黎曼面是討論如何引入黎曼面，把多值函數(shù)看作黎曼面上的單值解析函數(shù)，從而把單值解析函數(shù)的理論移植過來。它的定義域也由一個z平面擴大為多葉的黎曼面在此基礎(chǔ)上，本章還介紹利用多值函數(shù)積分計算實變積分的方法,5.1 解析延拓 G函數(shù),本節(jié)

2、介紹解析延拓的概念； 分別利用泰勒級數(shù)和函數(shù)關(guān)系進行解析延拓； 結(jié)合G函數(shù)的解析延拓，討論G函數(shù)的一些常用性質(zhì)。,4,5.1.1 解析延拓的概念,若函數(shù)f1(z)和f2(z)分別在D1和D2內(nèi)解析，并且在D1與D2的重疊區(qū)域D12中有 f1(z) f2(z) (5.1.1) 則稱f2(z)為f1(z)在D2 中的解析延拓，稱f1(z) 為f2(z)在D1 中的解析延拓(圖5. 1).,解析函數(shù)與其定義域的組合D1, f1(z), D2, f2(z)稱為解析元素.,5,在D1與D2的重疊區(qū)域D12(D12D1),有f1(z) f2(z)這樣， 在D2中的解析延拓，從而將f1(z)的定義域擴大了。

3、 同樣，也稱f1(z)是f2(z)在D1中的解析延拓；只不過在本例中， D2已涵蓋了D1而已。這兩個解析元素分別記為,6,5.1.2 用泰勒級數(shù)進行解析延拓,1. 解析延拓的方法 現(xiàn)在用泰勒級數(shù)將D1, f1(z)解析延拓，顯然，不是所有函數(shù)都能像上例一樣通過求和得到函數(shù)的有限表達式，而是要一步一步延拓出去的。 為便于比較，仍采用剛才的例子 逐步進行解析延拓,7,首先，在D1,內(nèi)任取一點b1 = i/2，將f1(z)在b1點的鄰域展開為泰勒級數(shù),8,9,f2(z)和f1(z)分別是函數(shù),的泰勒展開式。因此，在兩者重疊的區(qū)域中必有f1(z) f2(z) 這樣，f2(z)就是f1(z)在D2的解析

4、延拓。,在D2內(nèi)任取一點b2，將f2(z)在b2點的鄰域展開為泰勒級數(shù),10,在D2內(nèi)任取一點b2，將f2(z)在b2點的鄰域展開為泰勒級數(shù),設(shè)級數(shù)收斂的區(qū)域為D3 ，在D2與D3重疊的區(qū)域f2(z) f3(z) ，這樣f3(z)就是f2(z)在D3的解析延拓 這樣不斷作下去，就得到一系列的解析元素Dn, fn(z)，其中n=2, 3， 一個解析元素D1, f1(z)的全部解析延拓的集合，稱為f1(z)所產(chǎn)生的完全解析函數(shù)F(z)。,11,F(z)的定義域是全部解析元素給出的定義域的總和，即,對于,這個例子，可以把f1(z)解析延拓到除z=1以外的全平面因為級數(shù)在z=1是發(fā)散的，在每一次解析延

5、拓過程中，Dn都不能包含z=1. 奇點z=1成為每一個Dn(n=2,3,)的邊界點并且從展開中心bn到z=1的距離就是fn(z)的收斂半徑，見圖5.2.,12,2. 并非所有函數(shù)都能解析延拓,例如函數(shù) 的定義域為|z|1，其收斂半徑R=1。 f1(z)在收斂圓周上密布著無限多奇點實際上，在 圓周|z|=1上，滿足的 點，也就是,均為奇點?，F(xiàn)在計算f1(z)在zn,k的取值，由,(5.1.9),13,(5.1.10)右邊第一項為有限值，第二項為,這說明所有zn,k均為f1(z)的奇點 其次，由式(5.1.9)可見，對于一個k值,n可以取0,1,2k-1的值(如取k=3，則n= 0,1,7)因為k

6、可取無限多個值，故奇點zn,k有無限多個，并且它們按照式(5.1.9)的規(guī)律稠密地分布在圓周|z|=1上，使得從任何方向都不能延拓出去,(5.1.11),14,5.1.3 用函數(shù)關(guān)系進行解析延拓G函數(shù),利用G函數(shù)的遞推公式, 對G函數(shù)進行解析延拓 l. G函數(shù)的定義與遞推公式 實變函數(shù)中G函數(shù)的定義是 x0 (5. 1. 12) 復(fù)變函數(shù)中G函數(shù)的定義是它的簡單推廣 Rez= x0 (5.1. 13) G函數(shù)的遞推公式為 G(z+1）zG(z） (5.1.14),15,G函數(shù)的遞推公式為,G(z+1）zG(z） (5.1.14) 證明 現(xiàn)在通過分部積分來證明 可用洛必達法則證明，而 tze-t

7、|t=0 = 0 是顯然的,16,2. 用G函數(shù)的遞推公式進行解析延拓,的定義域為Rez 0，稱為D1 。這樣， D1, f1(z)亦即Rez0, G(z) 構(gòu)成了一個解析元素 現(xiàn)在由它出發(fā)，通過解析延拓，得到第二個解析元素由式(5.1.14)得 此式成立的條件是Re(z+1) 0(即Rez -1)，以及z0。,17,由此定義,f2(z)的定義域D2, 即為Rez -1及z0。因為D1 與D2重疊的區(qū)域D12 (即D1 )中f1(z) f2(z) ，故f2(z)是f1(z) 在D2 的解析延拓. 這樣便得到第二個解析元素,18,繼續(xù)作下去，由式(5.1.14)還可得 G(z+2) = (z+1

8、)G(z+1) = (z+1)zG(z)，由此得,此式成立的條件是Re(z+2)0(即 Rez -2)，z0及z-1。 由此定義,19,繼續(xù)作下去，便得到 D4, f4(z) ，D5, f5(z) ,f3(z)的定義域D3, 即為Rez -2及z0及z-1 因為在D2與D3重疊的區(qū)域D23 (即D2)中f2(z)=f3(z) ，故f3(z)是f2(z) 在D3 的解析延拓.這樣便得到第三個解析元素 D3, f3(z),20,這些解析元素的全體構(gòu)成一個完全的解析函數(shù),它的定義域就是這些函數(shù)的定義域的總和，即除z = 0,-1,-2, 以外的全平面。,(5.1.17),21,3. G函數(shù)的常用公式

9、,由定義出發(fā)，容易得到G函數(shù)的一些常用公式,22,式中(2n-1) !(2n-1)(2n-3)31， 符號! 讀作“間階乘” 當n為0及負整數(shù)時，定義 可以證明： n0,- 1,-2, (5.1.22),23,證明,24,作業(yè)- 5.1 第105頁,5.2 多值函數(shù)及其黎曼面,本節(jié)介紹根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)這兩種多值函數(shù)主要討論函數(shù)的多值性與單值分支、支點，確定函數(shù)在任一點函數(shù)值的方法，以及黎曼面的概念最后，討論多值函數(shù)的積分,26,5.2.1 根式函數(shù),1.多值性與單值分支 最簡單的根式函數(shù)是冪函數(shù) 為了說明它的多值性，令z=reij,由于復(fù)平面上每一點都對應(yīng)著無限多個輻角 j=argz+2kp

10、=j0+2kp, k=0,1,2,這表明，z平面上的一個點，對應(yīng)著w平面上的兩個點，即w(z)是一個多值函數(shù),27,當k0,2,4,時， (5. 2.3) 當k1,3,5,時，,式(5.2.3)與式(5.2.4)的w0與w1稱為w= 的兩個單值分支。在每一個分支中，w是 z 的一個單值函數(shù)。,28,為了把多值函數(shù)變?yōu)閱沃岛瘮?shù)，就要了解：這兩個分支有什么關(guān)系？ z 如何取值才會讓w從一個分支變到另一個分支？ 研究表明，這與多值函數(shù)的支點有關(guān)。,29,2.支點,我們知道，當z值連續(xù)變化時，在復(fù)平面可以用一條曲線來描述z的變化過程。 對于每一個特定的多值函數(shù)，都存在一些特殊的點，當z環(huán)繞該點轉(zhuǎn)一圈回

11、到原處時，w(z)的值將由一個單值分支變到另一個單值分支，這些特殊的點就稱為多值函數(shù)的支點。 容易看出，z=0 及 z= 是 的支點。,30,當z從z0=r eij0出發(fā)，圍繞原點轉(zhuǎn)一圈回到出發(fā)點，它的輻角就由j0變?yōu)閖0+2p =j1，相應(yīng)的函數(shù)值就由w0 (z0 )變?yōu)閣1 (z1)，即由一個單值分支變到另一個單值分支這表明，z=0是 的支點，如圖5.3所示。,31,當z從z0=reij0出發(fā)，但不繞原點轉(zhuǎn)圈(圖5.4), 當z回到出發(fā)點時z的輻角值開始增加，到達A點后減少，到達B點后又增加，當z點回到出發(fā)點時，輻角值又回到初始值j0。這樣，函數(shù)值始終在同一個單值分支中變化，不會變化到另一

12、單值分支中去。,32,為了考察無窮遠點的情況，只要令 當 t 繞 t = 0 轉(zhuǎn)一圈回到出發(fā)點時，w值不會還原。由支點的定義可見，z=是 的另一個支點 上述的討論表明，根式函數(shù)的多值性來源于輻角的多值性,33,函數(shù)多值性的出現(xiàn)，使得對于同一點 z，函數(shù)值不唯一，因而函數(shù)不解析； 顯然，前面建立的積分理論、級數(shù)理論和留數(shù)理論也就不能運用；必須設(shè)法把多值函數(shù)的各個分支分開； 這樣，對于每一個單值分支來說，就能應(yīng)用前面的理論了。,34,3. 作割線將各單值分支分開,將各個單值分支分開的方法，就是在根式函數(shù)的兩個支點之間作割線，并規(guī)定：z在連續(xù)變化的過程中不能跨越割線 從z=0出發(fā)，沿x軸的正向作一條

13、割線至z=,則無論z點在平面上怎樣連續(xù)變化，它都不可能環(huán)繞z=0或z=轉(zhuǎn)一圈。,因而z的輻角變化范圍必在2p范圍之內(nèi)，z的取值，也必在一個單值分支之內(nèi)。 從z=0到z=的割線的作法是任意的，不一定是直線，但最簡單、最方便的仍是直線,35,割線作出之后，還要規(guī)定割線上岸z的輻角值,如果我們采用圖5.5的切割方式，則可規(guī)定相應(yīng)的兩個分支分別為 (1)規(guī)定割線上岸z的輻角值為j0 =0, j0的變化范圍是0j0 2p , 對應(yīng)的單值分支是 (2)規(guī)定割線上岸z的輻角值為j1 = 2p ，j1的變化范圍2p j1 4p,對應(yīng)的單值分支是,36,【例5.2.1】試指出 的單值分支及支點的位置,解 令z-

14、 a = rei(j0+2kp) ，則 不難看出，w(z)有兩個單值分支： 支點的位置由z- a = 0及z- a = 確定，亦即z=a 及 z=。,37,【例5.2.2】試指出w= (z-a) (z+b)的單值分支及支點的位置，其中a,b為正實數(shù)。,38,從上題的討論易見，只要考察z = a,-b,這三點是否支點？可選擇一條僅包圍它們?nèi)咧坏幕芈罚寊沿回路轉(zhuǎn)一圈，看w會不會從一個單值分支變到另一個單值分支來判斷。 為確定起見，設(shè)出發(fā)點的w(z)值處于w0分支，即,39,(1)選擇回路C1,考察z=a點是否為支點(圖5. 6). z點沿C1轉(zhuǎn)一圈后， 即w值處于另一分支， 故z-a為支點,

15、40,(2) 選擇回路C2, 考察z=-b點是否為支點. z點沿C2轉(zhuǎn)一圈后，,即w值仍處于原來分支，即z=不是支點,即w值處于另一分支，故z=-b為支點,41,4確定函數(shù)在任一點函數(shù)值的方法,方法一 作割線，通過給定割線上岸的輻角值或某一點的函數(shù)值來選定單值分支，從而確定w(z) 方法二 不作割線，給定出發(fā)點z0的函數(shù)值w(z0)，以及由z0點運動到z點的路徑，以確定w(z),42,【例5.2.3】 試根據(jù)下述條件計算w(-1)的值,(l) 作割線(圖5.7)并規(guī)定割線上岸的點z0有 argz00, arg(1-z0)0 (2) 不作割線, 規(guī)定 argw(z0)=0 求 z分別沿路徑C1和

16、C2(圖5.8)從z0移動到z-1點時，w(-l)的取值。 解 w(z) =|w(z)| eiargw(z) 的模與輻角分別為圖5.7,43,w(z) =|w(z)| eiargw(z),將后兩式相減，并利用題設(shè)argw(z0)=0，即有,44,上式的方括號表示，當z由z0 移動到-1點時, z及(1- z)的 輻角的改變量之和。 (1)作割線如圖5.7并規(guī)定argw (z0)=0的條件下，此時從z0出發(fā)還可沿C逆和C順兩條路徑到達z = -1點。盡管沿兩條路徑求得的Dargz, Darg (1- z)以及argw(-1)不同，但w(-1)具有確定值，即,45,46,代入w(-1)=|w(-1

17、)|eiarg(-1) , 均得相同的函數(shù)值,還應(yīng)注意，在計算Dargz及Darg (1-z)時要么均按C逆路徑算，要么均按C順路徑算，兩者不能取不同路徑,47,(2) 不作割線, 從z分別沿C1和C2從z0移動到z= -1。如圖5.8所示,(5.2.13),為便于觀察，習題5. 2. 2將證明, 可用Darg (z-1) |z由z0到-1，代替Darg (1-z) |z由z0到-1 沿路徑C1的情形，有,48,這表明，如果不作割線 w(-1)的值 將取決于 由 z0到 z = -1的路徑 w(-1)既可取第一分支的值，也可取另一分支的值。,49,習題 5.2.2 試以圖5.8中路徑C2為例，

18、證明,Darg(1-z)| z沿C2由z0到-1= Darg(z-1)|z沿C2由z0到-1,解 當z沿路徑C2 從z0到 -1的過程中，復(fù)矢量1-z與z-1輻角的變化分別如下圖5.22(a),50,不妨將1-z的起點沿復(fù)矢的方向移到z=1, 把z=1作為轉(zhuǎn)動的軸心. 易見1-z 順時針轉(zhuǎn)過j角 圖(b)中z0-1沿x軸負向. 當z從z0移動到z(即z0-1轉(zhuǎn)到z-1)時，z-1順時針轉(zhuǎn)過j角， z-1的輻角也減少; 這證明了,Darg(1-z)| z沿C2由z0到-1= Darg(z-1)|z沿C2由z0到-1,51,5. w = 的黎曼面,上面的討論表明：根式函數(shù)w= 是一個多值函數(shù)，z平

19、面上的一個點對應(yīng)著w平面上的兩個點，分別由式(5.2.3)與式(5.2.4)給出,如果把輻角為02p的一葉z平面與輻角為2p4p的一葉z平面看成是不相重合的，并設(shè)想z平面就由這兩葉平面組成：,52,兩葉的原點重合且沿正實軸剪開，第一葉的下岸與第二葉的上岸(j=2p)粘合在一起，第二葉的下岸與第一葉的上岸(j=0) 粘合在一起，如圖5.9所示這種由一兩葉組成的z平面就稱為w= 在的黎曼面,53,當自圖5.9變量z在黎曼面上變化時，第一葉上的z值對應(yīng)于w0分支，第二葉上的z值對應(yīng)于w1分支，一個z值對應(yīng)一個w值，這樣 w= 就成為單值函數(shù)了 但是支點：z=0,仍然是w= 的奇點由于在支點的鄰域內(nèi)各

20、個分支不能分開，但函數(shù)f(z)可導(dǎo)要求 的值與z趨于z0的方式無關(guān)，故在支點處函數(shù)不解析,54,5.2.2 對數(shù)函數(shù),1. 對數(shù)函數(shù)的定義及多值性 對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù) w lnz (5.2.16) 其多值性也來源于輻角的多值性令 z = reij = rei(j0+2kp)，0j02p ， k=0， 1， 2， 則有 wu+ivlnr+i(j0+2kp) (5.2.17),55,2. 支點,由于z環(huán)繞z=0或 轉(zhuǎn)一周時，argz改變2p, lnz改變i2p,故z=0,是對數(shù)函數(shù)的支點。,56,3.作割線,從x=0 沿正實軸作一割線至 z= ，見圖5.10(a)規(guī)定 2kp argz2(

21、k+1)p 則得w= lnz的第k分支函數(shù)w= ( lnz)k的值域為帶形區(qū)域，如圖5. 10(b)所示,57,【5. 2. 4】割線如圖5.11，求函數(shù) w(z)=-ln(1-z2)在z=3和z=3i的值 已知w(0)=0.,解 首先將z(z)的實部和虛部分開 w(z)ln(1-z2)ln(1+z)+ln(1-z) ln|1+ z| + iarg(1+ z) + ln|1- z| + iarg(1- z) ln|1-z2| + iarg(1+z)+arg(1-z) 即有 Rew(z)ln|1-z2|, Imw(z)arg(1+z)+arg(1-z) (5.2.18) 題設(shè)條件w(0)=0 給

22、出 Rew(0)Imw(0)=0 (5. 2.19),58,(1)求w(3)的值 分別求w(3)的實部與虛部如下,解 首先將z(z)的實部 和虛部分開 Rew(3)ln|1-32|=ln8, Imw(3) Imw(0) +DImw(z)|由0到3 = D arg(1+z)+ D arg(1-z) |由0到3 =0+p=p w(3) Rew(3) + iImw(3) =ln8+ip,59,(2)求w(3i)的值。同理分別求w(3i)的實部與虛部如下,Rew(3i) ln|1-(3i)2 |ln10 Imw(3i)Imw( 0)+DImw(z) |由0到3i Darg(1+z)+Darg(1-z)

23、 |由0到3i =j+(2p-j)=2p w(3) Rew(3) + iImw(3) =ln8+ip 式中j為實軸與-1至3i連線的夾角(圖5.11). w(3i)Rew(3i)十iImw(3i) ln10 i2p,60,5.對數(shù)函數(shù)w= lnz的黎曼面(圖5.12),對數(shù)函數(shù)的支點在z=0及z=，取正實軸為割線，當j0取值在 2kp jk 2(k+1)p 范圍內(nèi)時，wk取值在第k分支： wk (lnz) k ln|z|+i(j0+2kp) 0 j0 2p ，k=0, 1, 2, ,顯然，對數(shù)函數(shù)的黎曼面有無限多葉，在圖5.12中畫出了M1,M0, M-1,M-2 (對應(yīng)k=1,0,-1,-2 )這四葉的情形,61,62,5.2.3 多值函數(shù)的積分,為了計算比較復(fù)雜的實變積分，有時要利用多值函數(shù)的積分但在計算積分前，要作割線分出單值分支,63,64