初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)講義

1、初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)講義第一講 和絕對(duì)值有關(guān)的問題一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：數(shù)二、 絕對(duì)值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。 也可以寫成： 說明：（）|a|0即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）|a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。三、 典型例題例1（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A-3a B 2ca C2a2b D b解：| a | + | a+b | + | c-

2、a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對(duì)值的問題時(shí)，往往需要脫去絕對(duì)值符號(hào)，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對(duì)值的符號(hào)時(shí)，必須先確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義脫去絕對(duì)值符號(hào)。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，完成化簡(jiǎn)。例2已知：，且， 那么的值（ C ）A是正數(shù)B是負(fù)數(shù)C是零D不能確定符號(hào)解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示： 所以 分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、

3、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡(jiǎn)鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識(shí)。例3（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8，求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得：， （1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x

4、= -6若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x0，y0，則 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x0，y0，y0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12例4（整體的思想）方程 的解的個(gè)數(shù)是（ D ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D無窮多個(gè)分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個(gè)整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。 例5（非負(fù)性）已知|ab2|與|a1|互為相互數(shù)，試求下式的值分析：利用絕對(duì)值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab

5、2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果同學(xué)們可以再深入思考， 如果題目變成求 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6（距離問題）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：_相等 .（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 分析：點(diǎn)B表示的數(shù)為1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置。那么點(diǎn)A呢？因?yàn)閤可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn)A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那

6、么，如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢？ 結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。當(dāng)x-1時(shí)，距離為-x-1, 當(dāng)-1x0，距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為 5 ，取得最小值時(shí)x的取值范圍為 -3x_2_.分析：即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與-3的差的絕對(duì)值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1 圖2 圖3圖2符合題意（4） 滿足的的取值范圍為 x-1 分析： 同理表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)x與-1之間的距離加上x與-

7、4之間的距離會(huì)大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時(shí)可以帶來方便。事實(shí)上， 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離。這是一個(gè)很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)解決了（3）、（4）這兩道難題。 四、 小結(jié)1理解絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對(duì)值的非負(fù)性2體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題一、知識(shí)鏈接1 “代數(shù)式”是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括

8、整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一。2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會(huì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)打下基礎(chǔ)。 二、典型例題例1若多項(xiàng)式的值與x無關(guān)，求的值.分析：多項(xiàng)式的值與x無關(guān)，即含x的項(xiàng)系數(shù)均為零因?yàn)樗?m=4將m=4代人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2x=-2時(shí)，代數(shù)式的值為8，求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值。分析： 因?yàn)楫?dāng)x=-2時(shí)， 得到，所以當(dāng)x=2時(shí)，=例3當(dāng)代數(shù)式的值為7時(shí),求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個(gè)代數(shù)式的系數(shù)由

9、 得 ，利用方程同解原理，得 整體代人，代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點(diǎn)問題，它的運(yùn)算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4 已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、減項(xiàng)） 例5（實(shí)際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會(huì)招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n

10、年的實(shí)際收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯(cuò)。例6三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則 的值是_ 。解：因?yàn)閍bc0，所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)。不妨設(shè)a0，c0則ab0，ac0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng)

11、b0，c0時(shí)，即x， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因?yàn)閤=1符合大前提x，所以此時(shí)方程的解是x=1當(dāng)5x-2=0時(shí)，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此時(shí)方程無解當(dāng)5x-20時(shí)，即x， 5x-2= -3，x= 因?yàn)閤=符合大前提x0時(shí)，即x1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因?yàn)閤=不符合大前提x1，所以此時(shí)方程無解當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此時(shí)方程無解 當(dāng)x-10時(shí)，即x1，1-x=-2x+1，x=0因?yàn)閤=0符合大前提xAD B.ACBD D. CD310. 如圖所示,L1,L2,L3交于點(diǎn)O,1=2,3:1=8:1,求4的度數(shù).( 方程思想)答案：36

12、11 如圖所示,已知ABCD,分別探索下列四個(gè)圖形中P與A,C的關(guān)系,請(qǐng)你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說明. (1) (2) (3) (4)（1）分析：過點(diǎn)P作PE/AB APE+A+C=360（2）P=A+C（3）P=C-A,（4）P=A-C12如圖，若AB/EF，C= 90，求x+y-z 度數(shù)。分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=9013已知：如圖， 求證：分析：法一法二：由AB/CD證明PAB=APC， 所以EAP=APF 所以AE/FP 所以第七講：平面直角坐標(biāo)系第八講：與三角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即：ABC中，a+bc,b

13、+ca,c+ab（兩點(diǎn)之間線段最短）由上式可變形得到： acb，bac，cba即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2 高由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 中線：連接三角形的頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段，稱為三角形的中線4 角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線與這個(gè)角對(duì)邊的交點(diǎn)和這個(gè)角的頂點(diǎn)之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是( ) A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a62小穎要制作一個(gè)三角形木架，現(xiàn)有兩根長(zhǎng)度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長(zhǎng)度是整數(shù)小穎有幾種選法？

14、可以是多少？分析：設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)度為x， 則3x（AB+AC）分析：因?yàn)?BD+ADAB、CD+ADAC 所以 BD+AD+ CD+AD AB+AC 因?yàn)锳D是BC邊上的中線，BD=CD 所以AD+BD（AB+AC）（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線？ （2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4如圖，在直角三角形ABC中，ACAB，AD是斜邊上的高，DEAC，DFAB，垂足分別為E、F，則圖中與C（C除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（ ） A5 B4 C3 D2 分析：5如圖，ABC中，A = 40，B = 72，CE平分ACB，CDAB于D， DF

15、CE，求CDF的度數(shù)。分析：CED=40+34=74所以CDF=746一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四種不同的種子進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需要將這塊地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出四種劃分方案供選擇，畫圖說明。分析：7ABC中，ABC、ACB的平分線相交于點(diǎn)O。（1）若ABC = 40，ACB = 50，則BOC = 。（2）若ABC +ACB =116，則BOC = 。（3）若A = 76，則BOC = 。（4）若BOC = 120，則A = 。（5）你能找出A與BOC 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？8已知: BE, CE分別為 ABC 的外角 MBC, NCB的角平分線,求: E與A的關(guān)系 分析：E=90-A

16、9已知: BF為ABC的角平分線, CF為外角ACG的角平分線, 求: F與A的關(guān)系分析：F=A思考題：如圖：ABC與ACG的平分線交于F1；F1BC與F1CG的平分線交于F2；如此下去, F2BC與F2CG的平分線交于F3；探究Fn與A的關(guān)系（n為自然數(shù)） 第九講：與三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理（一）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180（二）三角形的外角性質(zhì)定理：1 三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和2 三角形的任意一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角（三）多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為 多邊形外角和定理：多邊形的外角和為360二、典型例題問題1：如何證明三角形的內(nèi)角和為1

17、80？ 1如圖,在ABC中,B=C,BAD=40,且ADE=AED,求CDE的度數(shù).分析：CDE=ADC-2 1=B+40-2 1=B+40-（1+C） 21=40 1=202如圖：在ABC中，CB，ADBC于D，AE平分BAC 求證：EAD（CB） 3已知：CE是ABC外角ACD的角平分線，CE交BA于E 求證：BACB分析：?jiǎn)栴}2：如何證明n邊形的內(nèi)角和為 4多邊形內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和是1350，求多邊形的邊數(shù)。5科技館為某機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照?qǐng)D4中的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（ ）A. 6米B. 8米 C. 12米D. 不能確定 第十講：二元一次方

18、程組一、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1、 二元一次方程的定義：經(jīng)過整理以后，方程只有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)都不為0，這樣的整式方程稱為二元一次方程。2、二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)式： 3、 一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)和的值，叫做這個(gè)方程的一個(gè)解。4、 二元一次方程組的定義：方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程都是一次方程，這樣的方程組稱為二元一次方程組。5、 二元一次方程組的解：使二元一次方程組的二個(gè)方程左右兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。二、典型例題1下列方程組中，不是二元一次方程組的是（C ） 2有這樣一道題目：判斷是否是方程組的解？小明的解答過程

19、是：將，代入方程，等式成立所以是方程組的解小穎的解答過程是：將，分別代入方程和中，得，所以不是方程組的解你認(rèn)為上面的解答過程哪個(gè)對(duì)？為什么？3若下列三個(gè)二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值應(yīng)是（ B ）A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1組成方程組，求出x、y，再代入y=kx-9求出k值。 解 得： 將代入y=kx-9，k=44解方程組方法一：（代入消元法）解：由（2），得 把（3）代入（1），得 把代入（3），得 方法二：（加減消元法）解：（2）2： 6m+4n-20=0 (3) (3)-(1)

20、: 7n=21 n=3 把代入（3），得 方法三：（整體代入法） 解：由（1）得：由（2）得： 把（4）代入（3），得 把代入（4），得 方法三：（整體代入法）解：由（1）得：由（2）代入（3），得把代入（2），得 5已知方程組的解是，則方程組的解是（ C ）A B C D6解：設(shè)，則原方程組可化為解得：7解方程組解：（參數(shù)法） 設(shè)。把代入（2），得：8解三元一次方程組三元一次方程組分析：轉(zhuǎn)化消元消元一元一次方程組二元一次方程組轉(zhuǎn)化解：由（）得：把（）分別代入（1）、（3）得，由（6）得 把（）代入（）得： 把代入（）得： 把代入（4）得： 9字母系數(shù)的二元一次方程組（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程組有

21、唯一的解 分析：（2）2：6x+2y=6 (3) (3)-(1): (6-a)x=5當(dāng)a6時(shí)，方程有唯一的解（1） 當(dāng)為何值時(shí)，方程組有無窮多解分析： （1）2：2x+4y=2 (3) (3)-(2): (4-m)y=0 4-m=0即m=4，有無窮多解10一副三角板按如圖方式擺放，且的度數(shù)比的度數(shù)大，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，則得到的方程組為A B C D11為了改善住房條件，小亮的父母考察了某小區(qū)的A、B兩套樓房，A套樓房在第3層樓，B套樓房在第5層樓，B套樓房的面積比A套樓房的面積大24平方米，兩套樓房的房?jī)r(jià)相同。第3層樓和第5層樓的房?jī)r(jià)分別是平均價(jià)的1.1倍和0.9倍。為了計(jì)算兩套樓房的面積，小亮設(shè)A套樓房的面積為x 平方米，B套樓房的面積為y平方米，根據(jù)以上信息列出下列方程組，其中正確的是（ ）A B C D12某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：購買香蕉數(shù)（千克）不超過20千克20千克以上但不超過40千克40千克以上每千克價(jià)格6元5元4元張強(qiáng)兩次共購買香蕉50千克（第