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文檔簡介
1、,幾何與代數(shù),2010年國家級精品課程,教學內容和學時分配,第四章 n維向量,問題式預習及思考題,1. 線性相關和線性無關的充要條件分別有哪些?,2. 證明一組向量線性無關的常用方法有哪些?,3. 線性相關和線性無關還有哪些性質?,思考題,請證明滿足“各行和=各列和”的魔方集合也構成一個向量空間,再列舉出它的幾個子空間,即把和相等的限制再增強一些。,能否將魔方“和相等”的限制再增強嗎?,令R為行和,C為列和,D為對角線和,S為小方塊和,(1) 10維魔方空間U:R=C,令H為主對角線和,N為付對角線和(類似于行列式的對角線法則),R=C=H=N,(4) 泛對角方的向量空間B:,和為46.,魔方
2、空間的子空間,(2) 8維魔方空間Q:R=C=D,(3) Drer魔方空間D:R=C=D=S,能否將魔方“和相等”的限制再增強嗎?,令R為行和,C為列和,D為對角線和,S為小方塊和,(1) 10維魔方空間U:R=C,R=C=H=N,(4) 泛對角方的向量空間B:,魔方空間的子空間,(2) 8維魔方空間Q:R=C=D,(3) Drer魔方空間D:R=C=D=S,(5) 要求所有數(shù)都相等:,向量空間G = rI,rR, 其中I是一個全1的矩陣.,(6) 特別的,要求所有數(shù)都為0:,向量空間 O,O, G, B, D,魔方空間,維 數(shù),0, 1, 5, 7, Q, U, 8, 10,零向量可被任意一
3、組向量線性表示,例3,第四章 n維向量,4.1 n維向量空間, Ax = , 即x1A1+x2A2+xnAn = 必有零解,都有零解,與,的共同點:,的不同點:,(1)只有零解,,(2)還有非零解, r(e1, e2, e3)=3,, r(1, 2, 3)3,,零向量可被任意一組向量線性表示,例3,第四章 n維向量,4.1 n維向量空間, Ax = , 即x1A1+x2A2+xnAn = 必有零解,與,(1)只有零解,,(2)有非零解,線性相關.,存在一組不全為零的數(shù) y1, y2, y3, 使得,只有在 x1 = x2 = x3= 0 時才成立., r(e1, e2, e3)=3,, r(1
4、, 2, 3)3,, 能由向量組 I:1,s唯一的線性表示, r(A)=r(A,) = s, Ax = 有唯一解.,向量組的線性表示與線性相關的聯(lián)系, 能由向量組 I:1,s不唯一的線性表示, r(A)=r(A,) s, Ax = 有無窮多解., 能由向量組 I:1,s唯一的線性表示, Ax = 只有零解, 能由向量組 I:1,s不唯一的線性表示, Ax = 有非零解, r(A) s,1,s線性相關, r(A) = s,1,s線性無關,4.2 向量組的線性相關性,向量組1,s-1,s線性相關, 存在一組不全為零的數(shù)x1, x2, , xs, 使得 x11+x22+xs-1s-1+ xss=,一
5、. 線性相關與線性無關,第四章 n維向量,4.2 線性組的線性相關性,(ARns),=向量個數(shù), 能由向量組 I:1,s不唯一的線性表示, (1,s) x = Ax = 有非零解, r(A) s,(linearly dependent 則,例5. 判斷下列命題是否正確:,錯。只有零解,而不是有零解。,錯。如:,對。,時有,同理,任意,錯。兩組的組合系數(shù)不一定相同。,錯。 不一定是哪一個向量可由其余向量線性表示。,例6. 判斷下列命題是否正確:,(4) 若向量組 線性相關且s2,則s可由 線性表示.,(5) 若向量組 線性相關, 線性相 關, 則有不全為0的數(shù) 使 且,解:(4)是正確的。,其中 不全為0.,作業(yè)、問題式預習及思考題,1. 什么是向量組的極大無關組和秩?,2. 向量組等價關系下的不變量和最簡形是什么?,3. 向量組的秩有哪些性質?,二. (A) 1(2,3) 2(1,2,3) (B) 6,7,8,10,1
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