數(shù)學(xué)實驗課件：第五章隨機數(shù)應(yīng)用

1、隨機數(shù)應(yīng)用實驗,隨機數(shù)與統(tǒng)計直方圖 相遇問題與保險問題 平面多邊形填充圖 積分計算蒙特卡羅方法, ,均勻分布隨機數(shù),0,1內(nèi)均勻隨機數(shù)產(chǎn)生方法: rand( ) rand(m,n )產(chǎn)生mn個均勻隨機數(shù).,引例1. 觀察1000 個隨機數(shù)在0,0.5,0.5,1分布情況,function F=myrand(n) if nargin=0,n=1000;end X=rand(1,n); Index=find(X0.5); f1=length(Index);F=f1,n-f1;,第一次實驗: 490 510,第二次實驗: 497 503,第三次實驗: 508 492,第四次實驗: 511 489,統(tǒng)

2、計直方圖,其中,data是需要處理的數(shù)據(jù)塊, 繪圖原理:利用data中最小數(shù)和最大數(shù)構(gòu)成一區(qū)間,將區(qū)間等分為n個小區(qū)間，統(tǒng)計落入每個小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。以數(shù)據(jù)量為高度繪小矩形，形成直方圖。如果省略參數(shù)n，MATLAB將n的默認(rèn)值取為10。 直方圖也可以用于統(tǒng)計計算 N=hist(data，n) 計算結(jié)果N是n個數(shù)的一維數(shù)組，分別表示data中各個小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。這種方式只計算而不繪圖。,直方圖繪圖方法: hist(data，n),N5 = 1969 2010 2018 1999 2004,例5.1 統(tǒng)計10000個均勻隨機數(shù)在五個小區(qū)間的分布 。,data=rand(10000,1); figur

3、e(1),hist(data,5) N5=hist(data,5) figure(2),bar(N5,r),即觀察10000 個隨機數(shù)在 0,0.2,0.2,0.4, 0.4,0.6, 0.6,0.8,0.8,1 分布情況,引例2. 觀察1000個平面隨機點在單位正方形內(nèi)的分布情況,P(x,y)的坐標(biāo)均是0,1上均勻隨機數(shù),function F=myrand2(n) if nargin=0,n=1000;end P=rand(n,2);x=P(:,1);y=P(:,2); I1=find(x=0.5 bar3(F,c),ans = 244 233 259 264,引例3. 實驗觀察10個14之

4、間隨機數(shù)情況 1+3*rand(12,1),一般區(qū)間a，b上的均勻隨機數(shù) 產(chǎn)生方法 R=a+(b-a)*rand,均勻分布隨機變量 X U(0 , 24), Y U(0 , 24) 如果甲船到達(dá)碼頭后停留2小時,乙船到達(dá)碼頭后停留 1小時.問兩船相遇的概率有多大？,例5.2 相遇問題: 甲、乙兩船在24小時內(nèi)獨立地隨機到 達(dá)碼頭. 設(shè)兩船到達(dá)碼頭時刻分別為 X 和 Y,function F=shipmeet(N) if nargin=0,N=2000;end P=24*rand(2,N); X=P(1,:);Y= P(2,:); I=find(X=Y F=(length(I)+length(J

5、)/N,F = 0.1185,例5.5 有一千名以上的小學(xué)生參加保險公司的平安保險,參加保險的小學(xué)生每人一年交保險費50元.若一年內(nèi)出現(xiàn)意外事故,保險公司賠付一萬元。統(tǒng)計表明，每年一千名小學(xué)生中平均有兩名學(xué)生出事故。模擬保險公司獲利的數(shù)據(jù),分析：小學(xué)生出意外事故的概率為p=0.002，由于對出事故的小學(xué)生，保險公司一次性賠付一萬元。一年中保險公司賠付費不超過總的保險收費則會獲利，每年保險公司所獲利潤為總保險收費減去總的賠付費。 模擬八年中每年出事故的小學(xué)生人數(shù),以及八年中保險公司獲利的數(shù)據(jù)。,function puples,profits=safely(N) p=0.002;join=50;p

6、ay=10000; all=join*N X=rand(N,8);puples=; for k=1:8 Xk=X(:,k); Ik=find(Xk=p);pk=length(Ik); puples=puples,pk; end Pays=pay*puples;profits=all-Pays;,p1,p2=safely(1500) p1 = 3 7 1 1 2 1 2 2 P2=45000 5000 65000 65000 55000 ,x1=0:.01:1;y1=sqrt(x1); x2=1:-.01:0;y2=x2.2; fill(x1,x2,y1,y2,r),平面多邊形填充圖方法 fil

7、l( ),y1=-1:.1:2;y2=2:-.1:-1; x11=y1.*y1;x22=y2+2; fill(x11,x22,y1,y2,r),x1=-1:0.1:1; y1=x1.2.(1/3); x2=1:-0.1:-1; y2=2-x2.2; fill(x1,x2,y1,y2,c),y =x2 , x = y 2 所圍區(qū)域,y= x 2 與 y2 = x 所圍區(qū)域,y =2 x2 ,y3 = x2 所圍區(qū)域,例5.13計算兩條拋物線 y =x2 ，x = y 2 所圍圖形的面積.,蒙特卡羅方法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基于“隨機統(tǒng)計”的計算方法。方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原

8、子彈的“曼哈頓計劃”。,在正方形區(qū)域D內(nèi)投入N個點，統(tǒng)計坐標(biāo)滿足,的點P(x，y)的數(shù)目M。面積近似計算公式為：S=M/N,data=rand(1000,2); x=data(:,1);y=data(:,2); II=find(y=x.2); M=length(II); S=M/1000,S = 0.3276,例5.14計算二重積分,其中D為 y= x 2 與 y2 = x 所圍區(qū)域。,分析：由于D的邊界曲線交點為：(1，1)，(4，2)，被積函數(shù)在求積區(qū)域內(nèi)的最大值為16。積分值是一個三維圖形所圍體積，該三維圖形位于立方體區(qū)域,(x，y，z) |0 x 4，1 y 2，0 z 16 ,該立方

9、體區(qū)域的體積為192,function V=mlab514(N) data=rand(N,3); x=4*data(:,1); y=-1+3*data(:,2); z=16*data(:,3); II=find(x=y.2,蒙特卡羅方法: 7.1040 8.4480 8.0640 8.2560,符號結(jié)果：7.5857,給定曲線 y =2 x2 和 y3 = x2， 用定積分計算兩曲線圍成平面 區(qū)域面積,顯然曲線的交點為：P1( 1，1 )、P2( 1，1 ) .平面區(qū)域位于矩形區(qū)域內(nèi),(x，y) | 1 x 1， 0 y 2,該矩形區(qū)域的面積為4,function V=mlab31(N) data=rand(N,2); x=-1+