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1、第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念,一、平面點(diǎn)集 n 維空間 二、多元函數(shù)概念 三、多元函數(shù)的極限 四、多元函數(shù)的連續(xù)性 五、小結(jié) 練習(xí)題,(1)鄰域,一、多元函數(shù)的概念,(2)區(qū)域,例如,,即為開集,內(nèi)點(diǎn):,設(shè) E 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集,,P 是平面上的一個(gè)點(diǎn),如果存在點(diǎn) P 的某一鄰域,則稱為的內(nèi)點(diǎn),的內(nèi)點(diǎn)屬于,如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),,則稱為開集,邊界點(diǎn):,外點(diǎn):,如果存在 U( P ) , 使得,則稱點(diǎn)P 為 E 的外點(diǎn),連通集:,連通的開集稱為開區(qū)域,簡(jiǎn)稱區(qū)域,例如,,例如,,有界閉區(qū)域;,無界開區(qū)域,例如,,(3)聚點(diǎn),I: 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn);,說明:,如果對(duì)于任意的 0 , 點(diǎn) P 的去心鄰域
2、,內(nèi)總有 E 中的點(diǎn),則稱點(diǎn) P 是點(diǎn)集 E 的聚點(diǎn),II: 在 內(nèi),總有 E 的無窮多個(gè)點(diǎn);,III: 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E,例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于E,E中任何一點(diǎn)都是 E 的邊界點(diǎn),,又如,E 中的任何一點(diǎn)都是 E 的聚點(diǎn)。,思考題:邊界點(diǎn)是否一定是聚點(diǎn)?反之,聚點(diǎn)是否 一定是邊界點(diǎn)?,(4)n 維空間,當(dāng) n = 3 時(shí),( x , y , z ) 表示空間中的一個(gè)點(diǎn)或向量,表示空間中的全體點(diǎn)或全體向量。,因此,我們也稱,為,中的一個(gè)點(diǎn),或一個(gè) n 維向量。,定義線性運(yùn)算如下:,稱 ( x, y ) 為空間兩點(diǎn) x 和 y 之間的距離,設(shè),中兩點(diǎn)間的距離公式,
3、中變?cè)?x 的極限,如果,則稱變?cè)?x 趨于固定元 a , 記作,類似地,內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義,結(jié)論:,中鄰域、區(qū)域等概念,則稱 中的點(diǎn)集,為 中點(diǎn) a 的 鄰域。,二、多元函數(shù)的概念,f 稱為對(duì)應(yīng)規(guī)則或函數(shù),f ( x , y ) 稱為 f 在點(diǎn) ( x , y ) 處的函數(shù)值。,函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù) f 的值域,記作,函數(shù)與選用的記號(hào)無關(guān),如,則稱 f 是 D 上的二元函數(shù), 記為,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),n 元函數(shù)通常記為,或簡(jiǎn)記為,一元函數(shù)與多元函數(shù)的概念比較,一 元函數(shù) y = f (x):,二元函數(shù) y = f (x, y):,n 元函數(shù),例1
4、 求 的定義域,解,所求定義域?yàn)?二元函數(shù) 的圖形,(如下頁(yè)圖),當(dāng) P ( x, y ) 取遍 D 上一切點(diǎn)時(shí), 得到空間點(diǎn)集,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,例如,單值分支:,二、多元函數(shù)的極限,一元函數(shù)極限回顧:,如果在 的過程中,,f (x) 無限接近一個(gè)確定常數(shù) A ,就稱 A 是 f (x),當(dāng) 時(shí)的極限,記為,二元函數(shù)的極限:,如果在 的過程中,f (x, y ) 無限接近一個(gè)確定常數(shù) A ,就稱 A 是 f (x, y ),當(dāng) 時(shí)的極限,記為,都有,說明:,(2)二元函數(shù)的極限也叫二重極限,(3)二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似,(1)定義中 的方式比 的方式復(fù)雜的多,例2
5、 求證,證,當(dāng) 時(shí),,原結(jié)論成立,例3 求極限,解,其中,證,例4 證明 不存在,(2)取,此時(shí),仍不能確定極限是否存在,(1) P ( x , y ) 沿 x 軸趨于 ( 0 , 0 ),,此時(shí) y = 0 , x 0,例4 證明 不存在,證,(3)取,極限值隨 k 的不同而變化,,故極限不存在,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,不存在.,觀察,確定極限不存在的常用方法:,求二元函數(shù)的極限常用的方法:,(1)用定義驗(yàn)證其
6、存在或不存在;,(2)利用變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限, 再用一元函數(shù)中已有的方法;,(3)消去分子分母中極限為 0 的因子;,(4)利用極限運(yùn)算性質(zhì)(與一元函數(shù)相似);,(5)利用函數(shù)的連續(xù)性;,解:,例5:求極限,解:,例6:求極限,解:,例7:求極限,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,一元函數(shù)連續(xù)性回顧:,二元函數(shù)的連續(xù)性,如果函數(shù) f ( x, y ) 在 D 的每一點(diǎn)都連續(xù),,二元函數(shù)連續(xù)的三個(gè)要素,則稱函數(shù) f ( x, y ) 在 D 上連續(xù),,或者稱 f ( x, y ) 是 D 上的連續(xù)函數(shù)。,二元函數(shù)間斷的情形比一元函數(shù)要復(fù)雜的多,因?yàn)楫?dāng),f ( x , y ) 無定義,,所以在整個(gè)圓
7、周,f ( x , y ) 間斷。,例8 證明函數(shù),在(0,0)處連續(xù),解,取,故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).,例9 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性,解,取,其值隨k的不同而變化,,極限不存在,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù),定義3,如果函數(shù) f ( P ) 在 D 的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱 函數(shù) f ( P ) 在 D 上連續(xù),或者稱 f ( P ) 是 D 上的 連續(xù)函數(shù)。,n 元函數(shù)的連續(xù)性,(2)多元初等函數(shù):由常數(shù)及不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù),(3)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,定義區(qū)域是指包含在定義域
8、內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾點(diǎn)說明,(1)一切一元基本初等函數(shù),作為一個(gè)二元或二 元以上的多元函數(shù)時(shí),在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。,不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù),(4)利用多元函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算在其連續(xù)點(diǎn) 處的極限。,例,解,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù),在 D 上必定有界,且能取得它的最大值和最小值,即,(一)有界性及最大值和最小值定理,(2)至少存在兩點(diǎn),(1)存在正數(shù) M ,使得對(duì)于任意的點(diǎn) P D ,均有,(二)介值定理,在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)的多元函數(shù) f ( P ) , 必取得介于最小值 m 和最大值 M 之間的任何值。,即對(duì)任意的 c , m c M ,至少存在一點(diǎn) P D ,使得:,多元函數(shù)極限的概念,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),(注意趨近方式的任意性),四、小結(jié),多元函數(shù)的定義,習(xí)題91: 4(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(1), 8,第八章作業(yè),第一節(jié):多元函數(shù)的基本概念,答案:,思考題,思
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